线性代数第四讲矩阵的概念及其加减乘运算

关于线性代数第四讲矩阵的概念及其加减乘运算

由

m

n个数

aij(i

1,2,

,m；j

1,2,

,n)排成的一个

m行

n列的矩形表称为一个

m

n矩阵一矩阵的定义：a11

a12

a1n

a21

a22

a2nam1

am2

amnAm

n=记作只能用[]或(),不能用{}第四讲矩阵的概念及其运算第2页,共49页，2024年2月25日，星期天1零矩阵一部分特殊矩阵所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，记为O例如

若矩阵A的行数与列数都等于n，则称A为n阶矩阵，或称为n阶方阵2方阵例如第3页,共49页，2024年2月25日，星期天也可以用小写黑体字母

3行矩阵与列矩阵：只有一行的矩阵称为行矩阵只有一列的矩阵称为列矩阵例如表示第4页,共49页，2024年2月25日，星期天a110

00a22

0

00

ann=4对角矩阵：如下形式的n阶矩阵称为对角矩阵记为

=diag(a11,a22,

,ann)例如第5页,共49页，2024年2月25日，星期天数量矩阵是特殊的对角矩阵a11=a22=

=anna0

00a

0

00

aA=如下形式的n

阶矩阵称为数量矩阵5数量矩阵例如第6页,共49页，2024年2月25日，星期天

如下形式的n阶矩阵称为单位矩阵,记为

I

或E

10

001

0

00

1I=6单位矩阵：单位矩阵是特殊的数量矩阵：a11=a22=

=ann=a=1例如第7页,共49页，2024年2月25日，星期天b11b21

bn10b22

bn2

00

bnnB=A=a11a12

a1n

0a22

a2n

00

ann

如下形式的n

阶矩阵称为上三角形矩阵7三角形矩阵：

如下形式的n

阶矩阵称为下三角形矩阵例如第8页,共49页，2024年2月25日，星期天

如果n阶矩阵A满足

AT=A

(即aij=aji),则称A为对称矩阵A=a11a12

a1na12

a22

a2n

a1n

a2n

ann8对称矩阵：例如

2358386

38674249762710第9页,共49页，2024年2月25日，星期天二矩阵的运算(三)矩阵的转置(四)方阵的行列式(一)矩阵的加法,减法(二)矩阵的乘法(五)几种特殊矩阵第10页,共49页，2024年2月25日，星期天(一)矩阵的加法,减法（1）同型矩阵:（2）同型矩阵才能相加减二矩阵行相同，列相同例A=23456B=86253为同型矩阵A=2394568B=86253不同型（3）加法与减法法则:同型矩阵对应元素相加减第11页,共49页，2024年2月25日，星期天矩阵加法和减法定义:a11

a12

a1n

a21

a22

a2nam1

am2

amnA=b11

b12

b1n

b21

b22

b2nbm1bm2

bmnB=A±B=a11±b11a12±b12…a1n±b1na21±b21a22±b22…a2n±b2n………am1±bm1am2±bm2…amn±bmn

设A与B为两个m

n矩阵第12页,共49页，2024年2月25日，星期天

例1设求A+B=?解1+52+63+74+8681012第13页,共49页，2024年2月25日，星期天a11

a12

a1n

a21

a22

a2nam1

am2

amnA=给定矩阵规定ka11

ka12

ka1n

ka21

ka22

ka2nkam1

kam2

kamnkA=(二)矩阵的数乘实数k遍乘A的所有元素第14页,共49页，2024年2月25日，星期天第15页,共49页，2024年2月25日，星期天准备：矩阵乘积有意义的条件

不是任意二矩阵乘积AB都有意义（2）二矩阵乘积AB有意义的条件是：

左边的矩阵A的列数与右边的矩阵B的行数相等即Am×sBt×n有意义的条件是s=t且Am×sBs×n=Cm×n（三）矩阵的乘法

第16页,共49页，2024年2月25日，星期天例34572225A=B=(1)则AB无意义

585722952764C=D=(2)则CD有意义，且CD是2×3的矩阵第17页,共49页，2024年2月25日，星期天设A是一个m

s矩阵，B是一个s

n矩阵AB=b11

b12

b1j

…

b1n

b21

b22

b2j

…

b2nbs1

bs2

bsj

…

bsn矩阵的乘法定义

a11

a12

a1s

a21

a22

a2sai1

ai2

ais

am1

am2

amsc11

c12

c1n

c21

c22

c2ncm1

cm2

cmnm×n=cij

(i

1,2,

,m；j

1,2,

,n)其中ai1b1j

ai2b2j

aisbsjcij=A的第

i行与

B的第

j列的乘积第18页,共49页，2024年2月25日，星期天B=求AB及BAA=

，

例1设231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-783×3第19页,共49页，2024年2月25日，星期天231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-33×3B=求AB及BAA=

，

例1设231-2311-2-32-10解：第20页,共49页，2024年2月25日，星期天231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-353×3B=求AB及BAA=

，

例1设231-2311-2-32-10解：第21页,共49页，2024年2月25日，星期天231-2311-2-32-10BA==4-983231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-352×2B=求AB及BAA=

，

例1设231-2311-2-32-10注意一:矩阵乘法一般不满足交换律即AB

BA第22页,共49页，2024年2月25日，星期天1110例2设A=

，B=

，求AB及BA2110

解11102110AB=3110=21101110BA=3110=如果AB=BA，则称矩阵A与矩阵B可交换显然AB=BA可交换阵:第23页,共49页，2024年2月25日，星期天例3设A=

，4-2-21B=

，求AB及BA4

2-6-3AB=4-2-214

2-6-3

解：-32

-16168=BA=4-2-214

2-6-30

000=2×22×2注意二:AB=OA=OorB=O第24页,共49页，2024年2月25日，星期天例4设A=

，5000求A2

解0000=2×2注意三:A2=OA=OA2=50005000第25页,共49页，2024年2月25日，星期天矩阵乘法一般不满足消去律例5

设A=203,B=004,C=100求AC=?BC=?解=2×21100=2×21100注意四:AC=BCA=B第26页,共49页，2024年2月25日，星期天例6线性方程组可用矩阵乘法表示a11x1+a12x2+

+a1nxn

=b1a21x1+a22x2+

+a2nxn

=b2am1x1+am2x2+

+amnxn=bm

x1x2

xn

a11

a12

a1n

a21

a22

a2nam1

am2

amnb1b2

bm

=系数阵例如:2x1+5x2+7x3+9x4=5x1-3x2+7x3+x4=33x1-x2+x3+x4=10

579-3713-111x1x2x3x4=5310第27页,共49页，2024年2月25日，星期天

(1)AB

BA

(3)AB=OA=O或B=O

/

(2)AC=BCA=B

/

矩阵乘法总结:矩阵乘法性质除下列几条外其余和数乘法性质相同

(4)A2=OA=O

/

乘法一般不满足交换律乘法一般不满足消去律,如果C可逆,则A=B第28页,共49页，2024年2月25日，星期天例7

设矩阵A,B均为n阶方阵,证明证明(1)(2)(3)(1)第29页,共49页，2024年2月25日，星期天4方阵的幂：对于方阵A及自然数k

记Ak=A

A

A(k个A相乘)只有方阵才能自乘规定性质：(1)ArAs=Ar+s(2)(Ar)s=Ars注:一般(AB)k≠AkBk但如果AB=BA,则(AB)k=AkBk第30页,共49页，2024年2月25日，星期天例8设求(1)(2)(3)解n个第31页,共49页，2024年2月25日，星期天

如下形式的n阶矩阵称为单位矩阵,记为

In或

I10

001

0

00

1I=单位矩阵性质对于n阶矩阵A，规定

A0=IImAm

n=Am

n=1

Am

nAm

nIn=Am

n

=1

Am

n单位阵与任意矩阵相乘(只要有意义)结果不变第32页,共49页，2024年2月25日，星期天练习：

1,计算下列矩阵：解：(1)

2

0

1

1

1=

0

1

1

1

0

1

1

1=

0

1

1

2

3

0

1

1

1=

0

1

1

2

0

1

1

1=

0

1

1

3

n

0

1

1

1=

0

1

1

n

(2)

a

0

0

0

0

c

0

b

0

2

a

0

0

0

0

c

0

b

0

a

0

0

0

0

c

0

b

0=

a2

0

0

0

0

c2

0

b2

0=

a

0

0

0

0

c

0

b

0

n

an

0

0

0

0

cn

0

bn

0=

n

0

1

1

1

(1)

(2)

a

0

0

0

0

c

0

b

0

n，第33页,共49页，2024年2月25日，星期天2计算

4561）A=123B=A×B=1×11×4+2×5+3×6=[32]=3212-242）A=3210B=A×B=1×13×1+2×2+1×(-2)+0×4=[5]=5第34页,共49页，2024年2月25日，星期天3第35页,共49页，2024年2月25日，星期天将矩阵A的同号数的行换为同号数的列得到的矩阵称为A的转置矩阵，记为AT或A

a11a21…am1

a12a22…am2

a1na2n…amn

…………

A=a11a12…a1n

a21a22…a2n

am1am2…amn

…………

AT

=（四）矩阵的转置第1行变为第1列，第2行变为第2列,…第m行变为第m列第36页,共49页，2024年2月25日，星期天(4)(AB)T=BTAT

(A1A2A3….An)T=(An)T(An-1)T….(A2)T(A1)T转置矩阵有下列性质(1)(AT)T=A

(2)(A+B)T=AT+BT

(3)(kA)T=kAT

注意矩阵的次序第37页,共49页，2024年2月25日，星期天例113-3-171911A=

5-3-193B=(AB)T==BTAT

579-3713-1111395-3-13则第38页,共49页，2024年2月25日，星期天

如果n阶矩阵A满足

AT=A

(即aij=aji),则称A为对称矩阵A=a11a12

a1na12

a22

a2n

a1n

a2n

ann对称矩阵性质(1)kA为对称阵性质设A,B为对称阵,则(2)A+B与A-B为对称阵注AB未必是对称阵-1

0

1-1

1

1

1

1例如A=B=是对称阵，但-1

0

1-1

1

1

1

1-1-1

0

0=不是对称矩阵AB=第39页,共49页，2024年2月25日，星期天

例2

设A与B是两个n阶对称矩阵证明：AB对称AB=BA证明(1)充分性所以AB

对称(2)必要性第40页,共49页，2024年2月25日，星期天

例3

设A为对称矩阵,且A2=0证明A=0证明A=AT=a11a12

a1na21

a22

a2n

an1an2

ann设A2=AAT=a11a12

a1na21

a22

a2n

an1an2

anna11a21

an1a12

a22

an2

a1n

a2n

ann=0

所以A=0注意乘积对角线上元素第41页,共49页，2024年2月25日，星期天

n阶矩阵A的元素按原来排列的形式构成的n阶行列式称为矩阵A的行列式,记为|A|或detAa11a21…an1

a12a22…an2

a1na2n…ann

…………

A=，

|A|=a11a21…an1

a12a22…an2

a1na2n…ann

…………

detA

=例1A=

234

|A|=detA=234=-2（五）方阵的行列式第42页,共49页，2024年2月25日，星期天方阵的行列式具有的运算律：

(1)|AB|=|A|·|B|显然k个A=|A|

k方阵积的行列式=行列式的积第43页,共49页，2024年2月25日，星期天(2)|lA|

ln|A|n为方阵的阶数例1则|lA|==l3

l3|A|例2(1)设矩阵A为八阶矩阵l8

|A|(2)设矩阵A为十阶矩阵|lA|

l10|A||lA|

第44页,共49页，2024年2月25日，星期天例3

设A=(aij)为三阶矩阵，若已知|A|=-2,求||A|A|解：||A|A|==(-2)3|A|=(-2)3(-2)=16|-2A|提问：设矩阵A为三阶矩阵，且|A|=m，问|-mA|=?答：-m4(3)|AT|

|A|第45页,共49页，2024年2月25日，星期天例4

设

A=254

-4-53134B=C=求

(1)|ATB2C|

解(1)|ATB2C|=|

AT

|.|

B2|