数学的本质与奥秘考试答案

一、单项选择题〔题数：50，共

50.0

分〕1函数ƒ(x)=x-arctanx的单调性为〔〕。1.0

分A、在(-∞，∞)内单调递增B、在(-∞,∞)内单调递减C、在(-∞,∞)内先增后减D、不确定正确答案：A

我的答案：A2以下关于函数连续不正确的选项是〔〕。1.0

分A、函数 在点 连续 在点 有定义， 存在，且 = B、函数 在点 连续 C、函数 在点 连续 D、假设,那么一定在点 点连续正确答案：D

我的答案：D3以下关于集合的势的说法正确的选项是〔〕。1.0

分A、不存在势最大的集合B、全体实数的势为 C、实数集的势与有理数集的势相等D、一个集合的势总是等于它的幂集的势正确答案：A

我的答案：A4以下哪个表达了压缩映射的思想？〔〕1.0

分A、搅动咖啡B、显微成像C、压缩文件D、合影拍照正确答案：D

我的答案：D5设

为奇函数，

存在且为-2，那么

=〔〕。1.0

分A、10B、5C、-10D、-5正确答案：C

我的答案：C6求函数

的极值。〔〕1.0

分A、为极大值B、为极小值C、为极大值D、为极小值正确答案：A

我的答案：A7求积分

=？1.0

分A、1B、-1C、2D、-2正确答案：B

我的答案：B8求极限

=〔〕。1.0

分A、0B、1C、2D、3正确答案：A

我的答案：A9设

，那么

=？〔〕1.0

分A、B、+CC、D、都不正确正确答案：A

我的答案：A10求微分方程

的形如

的解？〔〕1.0

分A、B、C、， D、以上都错误正确答案：C

我的答案：C11设

，以下不等式正确的选项是〔〕。1.0

分A、B、C、D、正确答案：A

我的答案：A12微积分的创立主要奉献者？〔〕1.0

分A、欧多克里斯和阿基米德B、牛顿和莱布尼兹C、柯西D、笛卡尔正确答案：B

我的答案：B13求不定积分

？()0.0

分A、B、C、D、正确答案：A

我的答案：B14设幂级数

在

处收敛，那么此级数在

处？1.0

分A、条件收敛B、绝对收敛C、发散D、不确定正确答案：B

我的答案：B15当

时，

是几阶无穷小？〔〕0.0

分A、1B、2C、3D、4正确答案：C

我的答案：B16求不定积分

？〔〕0.0

分A、B、C、D、正确答案：A

我的答案：B17设函数ƒ(x)=|x(1-x)|，那么〔〕。1.0

分A、x=0是ƒ(x)的极值点，但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点B、x=0不是ƒ(x)的极值点，但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点C、x=0是ƒ(x)的极值点，且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点D、x=0不是ƒ(x)的极值点，(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点正确答案：C

我的答案：C18以下集合与自然数集不对等的是？〔〕1.0

分A、奇数集B、偶数集C、有理数集D、实数集正确答案：D

我的答案：D19函数

在

上连续，那么它的Fourier级数用复形式表达就是

,问其中Fourier系数

的表达式是？1.0

分A、B、C、D、正确答案：A

我的答案：A20函数

在区间_____上连续？1.0

分A、B、C、D、正确答案：B

我的答案：B21设

，

，那么

〔〕。1.0

分A、B、C、D、正确答案：C

我的答案：C22谁写了《几何原本杂论》？〔〕1.0

分A、杨辉B、徐光启C、祖冲之D、张丘正确答案：B

我的答案：B23以下关于有理数，无理数，实数的之间的关系说法正确的选项是？〔〕1.0

分A、有理数，无理数都与实数对等B、有理数与实数对等，无理数与实数不对等C、无理数与实数对等，有理数与实数不对等D、有理数，无理数都与实数不对等正确答案：C

我的答案：C24求椭圆

绕

轴旋转所得旋转体的体积？1.0

分A、B、C、D、正确答案：C

我的答案：C25求函数

〔

〕的导数。〔〕0.0

分A、B、C、D、正确答案：A

我的答案：C26一个圆柱体，初始圆柱半径是柱高的两倍，随后，圆柱半径以2厘米/秒的速度减小，同时柱高以4厘米/秒的速度增高，直至柱高变为圆柱半径的两倍，在此期间圆柱的体积？〔〕1.0

分A、单调增加B、单调减少C、先增后减D、先减后增正确答案：C

我的答案：C27方程

正根的情况，下面说法正确的选项是〔〕。1.0

分A、至少一个正根B、只有一个正根C、没有正根D、不确定正确答案：B

我的答案：B28求无穷积分

=？〔〕1.0

分A、B、C、D、正确答案：B

我的答案：B29以一平面截半径为R的球，截体高为h，求被截局部的体积?1.0

分A、B、C、D、正确答案：A

我的答案：A30求函数极限

。〔〕0.0

分A、1B、C、D、2正确答案：C

我的答案：A31求由内摆线(星形线)

绕x轴旋转所成的旋转体的体积?1.0

分A、B、C、D、正确答案：A

我的答案：A32定义在区间[0，1]上的连续函数空间是几维的？〔〕1.0

分A、1维B、2维C、11维D、无穷维正确答案：D

我的答案：D33谁首先计算出了抛物线所围弓形区域的面积？〔〕1.0

分A、牛顿B、莱布尼兹C、阿基米德D、欧几里得正确答案：C

我的答案：C34求函数x在区间[0,1]上的定积分。〔〕1.0

分A、1B、2C、1/2D、1/4正确答案：C

我的答案：C35求不定积分

？〔〕0.0

分A、B、C、D、正确答案：A

我的答案：B36什么可以解决相对论和量子力学之间矛盾？〔〕1.0

分A、质子理论B、中子理论C、夸克理论D、弦理论正确答案：D

我的答案：D37微分思想与积分思想谁出现得更早些？〔〕1.0

分A、微分B、积分C、同时出现D、不确定正确答案：B

我的答案：B38求反常积分

=？1.0

分A、B、C、D、正确答案：B

我的答案：B39一长为28m,质量为20kg的均匀链条被悬挂于一建筑物的顶部，问需要做多大的功才能把这一链条全部拉上建筑物的顶部？〔〕1.0

分A、2700(J)B、2744(J)C、2800(J)D、2844(J)正确答案：B

我的答案：B40方程

在

上是否有实根？1.0

分A、没有B、至少有1个C、至少有3个D、不确定正确答案：B

我的答案：B41求心形线ρ=α(1+cosφ)的周长。〔〕1.0

分A、αB、3αC、6αD、8α正确答案：D

我的答案：D42多项式

在

上有几个零点？〔〕1.0

分A、1B、0C、2D、3正确答案：B

我的答案：B43设曲线

在点

处的切线与

轴的交点为

，那么

〔〕。1.0

分A、B、1C、2D、正确答案：D

我的答案：D44以下数列收敛的的是〔〕。1.0

分A、B、C、D、正确答案：D

我的答案：D45求函数

的麦克劳林公式。〔〕1.0

分A、B、C、D、正确答案：B

我的答案：B46求阿基米德螺线

上从

到

一段的弧长？〔〕1.0

分A、B、C、D、正确答案：A

我的答案：A47对任意

，不等式

成立吗？〔〕1.0

分A、成立B、不成立C、视情况而定D、无法证明正确答案：A

我的答案：A48现代通常用什么方法来记巨大或巨小的数？1.0

分A、十进制B、二进制C、六十进制D、科学记数法正确答案：D

我的答案：D49从中国古代割圆术中可以看出什么数学思想的萌芽？〔〕1.0

分A、极限B、微分C、集合论D、拓扑正确答案：A

我的答案：A50以下数列发散的是〔〕。0.0

分A、B、C、D、正确答案：A

我的答案：C二、判断题〔题数：50，共

50.0

分〕1微积分的根本思想是极限。〔〕1.0

分正确答案：

√

我的答案：

√2麦克劳林公式是泰勒公式在x=0展开时的特殊情形。〔〕1.0

分正确答案：

√

我的答案：

√3曲线切线的斜率和非均匀运动的速度属于微分学问题。〔〕1.0

分正确答案：

√

我的答案：

√4在赤道为地球做一个箍，紧紧箍住地球，如果将这一个箍加长1m，一只小老鼠不可以通过。〔〕1.0

分正确答案：

×

我的答案：

×5函数的和的不定积分等于各个函数不定积分的和。〔〕1.0

分正确答案：

√

我的答案：

√6设函数

在

可导，取定

，在区间

上用拉格朗日中值定理，有

，使得

，这里的

是

的函数。〔〕1.0

分正确答案：

×

我的答案：

×7算式

。0.0

分正确答案：

×

我的答案：

√8常数零是无穷小。〔〕1.0

分正确答案：

√

我的答案：

√9收敛的数列的极限是唯一的。〔〕1.0

分正确答案：

√

我的答案：

√10微元分析法的思想主要包含两个方面:一是以直代曲，二是舍弃高阶无穷小量方法，即用“不变代变”思想。〔〕1.0

分正确答案：

√

我的答案：

√11至今为止，诺贝尔经济学奖总共颁给了50位经济学家。〔〕1.0

分正确答案：

×

我的答案：

×12数学是素质教育中最重要的载体。〔〕1.0

分正确答案：

√

我的答案：

√13数列极限总是存在的。〔〕1.0

分正确答案：

×

我的答案：

×14用一元函数的定积分可以计算旋转体的体积。〔〕1.0

分正确答案：

√

我的答案：

√15并非一切型0/0,∞/∞未定式都可以用洛必达法那么来求极限。()1.0

分正确答案：

√

我的答案：

√16微分方程的通解包含了微分方程的一切解。〔〕1.0

分正确答案：

×

我的答案：

×17Fourier的工作迫使对函数概念作一修改，即函数可以分段表示。〔〕1.0

分正确答案：

√

我的答案：

√18在微积分创立的初期，牛顿和莱布尼兹都没能解释清楚无穷小量和零的区别。〔〕1.0

分正确答案：

√

我的答案：

√19如果ƒ(x)在x=0的邻域内有n阶连续的导数并且可以表达为n阶多项式带余项的形式，那么该表达式唯一。〔〕1.0

分正确答案：

√

我的答案：

√20幂级数与其逐项求导后的级数及逐项积分后的级数具有相同的收敛半径，但未必具有相同的收敛区间。〔〕1.0

分正确答案：

√

我的答案：

√21研究函数时，通过手工描绘函数图像能形象了解函数的主要特征，是数学研究的常用手法的。〔〕1.0

分正确答案：

√

我的答案：

√22由洛必达法那么知假设极限

不存在，那么极限

也不存在。〔〕1.0

分正确答案：

×

我的答案：

×23海王星的发现是人们通过牛顿运动定理和万有引力定理导出常微分方程研究天王星的运行的轨道异常后发现的。〔〕1.0

分正确答案：

√

我的答案：

√24函数的关键几何特征包括函数的周期性，奇偶性，连续性，单调性，凹凸性等。〔〕1.0

分正确答案：

√

我的答案：

√25阿基米德利用“逼近法”算出球面积、球体积、抛物线、椭圆面积。〔〕1.0

分正确答案：

√

我的答案：

√26天王星被称为“笔尖上发现的行星”。〔〕1.0

分正确答案：

×

我的答案：

×27圆的面积，曲线切线的斜率，非均匀运动的速度，这些问题都可归结为和式的极限。〔〕1.0

分正确答案：

×

我的答案：

×28函数ƒ(x)当x趋于0时以A为极限，那么A唯一。〔〕1.0

分正确答案：

√

我的答案：

√29费马为微积分的严格化做出了极大的奉献。〔〕1.0

分正确答案：

×

我的答案：

×30函数在点处可导的充分必要条件在该点处左，右导数存在且不相等。〔〕1.0

分正确答案：

×

我的答案：

×31希尔伯特认为一些悖论是自然语言表达语义内容造成的。为了克服悖论之苦，他希望可以发现一个形式系统，在其中每一个数学真理都可翻译成一个定理，反过来，每一个定理都可翻译成一个数学真理。这样的系统称完全的。〔〕1.0

分正确答案：

√

我的答案：

√32导数在几何上表示在点处割线的斜率。〔〕1.0

分正确答案：

×

我的答案：

×33微积分初见端倪于十七世纪。〔〕1.0

分正确答案：

√

我的答案：

√34穷竭法的思想源于欧多克索斯。〔〕1.0

分正确答案：

√

我的答案：

√35希尔伯特旅馆的故事展现了无穷与有限的差异。〔〕1.0

分正确答案：

√

我的答案：

√36有限维赋范线性空间中的有界无穷集合必有收敛子列。〔〕1.0

分正确答案：

√

我的答案：

√37如果可导函数ƒ(x)在区间I上单调，那么其导函数ƒ′(x)也单调。1.0

分正确答案：

×

我的答案：

×38初等数学本质上只考虑直边形的面积。〔〕1.0

分正确答案：

√

我的答案：

√39微元分析法是处理诸如面积，体积，功等一类具有可加性问题的重要思想方法。〔〕1.0

分正确答案：

√

我的答案：

√40积分

1.0

分正确答案：

×

我的答案：

×41积分0.0

分正确答案：

√

我的答案：

×42如果在的邻域内有阶连续的导数并且可以表达为，那么该表达式不唯一。〔〕1.0

分正确答案：

×

我的答案：

×43阿基米德应用穷竭法得到弓形区域的面积。〔〕1.0

分正确答案：

√

我的答案：

√44设由连续曲线及直线所围成的曲边形绕轴旋转一周得到的旋转体的外表积为。1.0

分正确答案：

×

我的答案：

×451822年Fourier发表了他的名著《热的解析理论》。〔〕1.0

分正确答案：

√

我的答案：

√46当在有界区间上存在多个瑕点时，在上的反常积分可以按常见的方式处理：例如，设是区间上的连续函数，点都是瑕点，那么可以任