广东省深圳市盐田高级中学2025-2026学年高三上学期12月末测试数学试题（含答案）

PAGE2026届深圳市盐田高级中学高三年级数学12月末测试卷命题人：葛**审题人：李*一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，集合，则（）A． B． C． D．2．角终边上一点的坐标为，则的值为（）A． B． C． D．3．已知点在平面α内，点在α外，且α的一个法向量，则点P到平面α的距离为（）A． B． C． D．4．下列说法正确的是（）A．垂直于同一直线的两条直线相互平行B．垂直于同一平面的两个平面相互平行C．直线l的方向向量垂直于面α的法向量，则D．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直5．已知两圆和恰有三条公切线，则点所在的轨迹方程为()A. B. C. D.6．将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．若在上单调递增，则的取值范围为（）A． B． C． D．7．已知数列满足，，，则下列说法正确的是()A.B.C.D.8．已知函数在处取得极大值，则a的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知，则下列等式一定正确的是（）A． B． C． D．10．已知函数，则下列说法正确的是()A.函数的定义域为B.函数的值域为RC.函数的最小正周期为D.函数的单调递减区间是，11．正方体的边长为2，O为底面ABCD的中心，P是正方形BCC1B1内（不包含正方形的四边）的动点，则下列说法正确的是（）A．OP，BC一定是异面直线B．当P在线段BC1上移动时，的最小值为C．当P是正方形BCC1B1的中心时，OP与AB所成角为D．当OP与平面BCC1B1所成角为定值（非直角）时，P的运动轨迹是两段圆弧三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．数列的前n项和为Sn，若，则.13．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则A=.14．已知实数满足：，，，则的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知数列满足，且对任意的，都有.(1)设，求数列的通项公式；(2)数列，表示不超过x的最大整数，求的前340项和T340．16．（15分）在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.(1)求角B的值；(2)若，求的取值范围．17．（15分）已知函数，(1)讨论的单调性；(2)当时，恒成立，求a的取值范围．18．（17分）已知椭圆与椭圆，则称，为“共轭”椭圆.(1)求证：“共轭”椭圆，的交点共圆；(2)若(1)中圆的半径为，请给出离心率为的“共轭”椭圆，的方程；(3)若“共轭”椭圆的离心率为，直线与“共轭”椭圆，的交点分别为A，B和C，D，设，且存在t使得有解，求实数m的取值范围.19．（17分）如图，在平面四边形ABCD中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿AC翻折至，形成三棱雉，其中S为动点．(1)证明：；(2)若，三棱雉的各个顶点都在球O的球面上，判断球心O的位置，并求出球心O到平面SAC的距离；(3)求平面SAC与平面SBC夹角余弦值的最小值．2026届深圳市盐田高级中学高三年级数学12月末测试卷数学参考答案1、【答案】C【详解】由题意，，.故选：C2．【答案】D【详解】因为角终边上一点的坐标为，则，根据三角函数的定义可知：，.利用两角差的正弦公式可知：.故选：D3．【答案】B【详解】由点，，得，所以点P到平面α的距离为.4．【答案】D【详解】正方体同一顶点的三条棱两两垂直，则垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错误；若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，两直线可以相交，也可以成为异面直线，故B错误；正方体的前面和侧面都垂直于底面，这两个平面不平行，C错误对D：利用反证法简单证明如下：若两个平面垂直，假设一个平面α内与它们的交线l不垂直的直线l1与另一个平面β垂直．因为，且平面的交线，故可得，5．答案：C解析：由两圆的标准方程分别为和，得圆心分别为和，半径分别为1和3，又两圆恰有三条公切线，所以两圆外切，所以，则，即，故选：C6．【答案】D【分析】根据平移规则可得的解析式，再由正弦函数的单调性得出对应不等式可得结果．【详解】由题可得，因为，所以当时，，且，因为在单调递增，所以，又，解得.7．答案：D解析：因为，且，，故，，，，，，，，所以，，，，，，，，所以数列都，是以6为一个周期的周期数列.又，则，A项错误；因为，，所以，B项错误；因为，所以，C项错误；因为，所以，D项正确.8．【答案】C【详解】由题设，则，可得或，当时，当或时，则在和上递增，当时，则在上递减，此时在处取得极小值，不符；当时，当或时，则在和上递增，当时，则在上递减，此时在处取得极大值，符合；综上，.9．【答案】BCD【详解】依题意，，即，则且，故C正确；对于A，错误；对于B，，正确；对于D，，正确．故选：BCD10．答案：BC解析：易知.对于A项，由题意得则定义域为且且，A项错误；对于B项，的值域为R，B项正确；对于C项，最小正周期为，C项正确；对于D项，由函数图象可知的单调递减区间是，D项错误.故选：BC.11．【答案】AB【详解】对于A选项，因为P是正方形内（不包含正方形的四边）的动点，即，所以由异面直线判定定理知，故A正确；对于B选项：将正三角形与等腰直角三角形展开到同一平面内得到四边形，则线段即为的最小值，在中，由余弦定理知：故，对于C选项，易知，所以OP与AB所成角为，故C错误；对于D选项：取BC中点O1，那么平面那么即为OP和平面所成角，那么为定值，又为定值，故为定值，所以点P在以为圆心以为半径的圆上，由于半径大小不定，点P是正方形为（不包含正方形的四边）的动点可能是一段圆弧或二段圆弧，故D错误12．【答案】384【详解】①，②，两式相减得，故，令中得，，所以.故答案为：38413．【答案】【详解】因为，由正弦定理得，所以即，所以或（舍去），即，又因为，则，解得.故答案为：14．【答案】【详解】作出圆与直线，由题意，，都在圆上，且，又由，所以，即为等腰三角形，表示A和B到直线的距离和，由图可知，只有当A、B都在直线l的左侧，距离之和才会取得最大值．取A、B的中点G，过G作，垂足为，则，因为为等腰三角形，G为AB的中点，，则G在圆上运动，故G到直线距离的最大值为圆心O到直线的距离+半径，的最大值为.15．（13分）【详解】(1)由可得，又，所以，即是以3为公差的等差数列，又，，得，，所以，解得，故，所以.(2)由(1)可得，，，又所以，所以.16．（15分）【详解】(1)因为，由正弦定理边化角可得，所以，又，，又B为锐角，则；(2)由正弦定理，，，所以，=，因为在锐角三角形中，得，所以，则，所以的取值范围为.17．【详解】(1)因为，所以.若，则在上恒成立，所以函数在上单调递增；若，由；由.所以函数在上单调递减，在上单调递增．综上：当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增．(2)当时，.当时，上式恒成立，即；当时，.设，，则.设，则在上恒成立，即在上单调递增，又，所以在上恒成立.所以由，由.所以在上单调递减，在上单调递增.所以.所以.综上可知：a的取值范围为：.18．(17分)解析：（1）证明：联立曲线，的方程，有，则，所以曲线，的交点共圆.（2）由（1）可知，而椭圆的离心率为，则有，，解得，，则曲线，曲线（3）因为，则设曲线，曲线，，，，，直线l与曲线的方程联立得，即，由题意得，所以，则，.直线l与曲线的方程联立得，即，由题意得，所以，则，.，即.若有解，即有解.令，由对勾函数的性质可得：的单调递减区间为，单调递增区间为函数在处取得最小值，故，即m的取值范围为.19．（17分）【详解】(1)取AC的中点E，连接SE，BE，因为，，且AC的中点为E，所以，又，平面SBE，故平面SBE，由于平面SBE，故.(2)当时，由，则，取BS的中点O，连接OA，OC．故O到A，B，C，S四点的距离相等，故O为三棱锥外接球的球心，因为，，故，，，设S到平面ABC的距离为h1，B到平面SAC的距离为h2，由等体积法可得，而，由于，故，所以，从而，故O到平