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1第四章复级数§4-1复数项级数和幂级数§4-2Taylor级数§4-3

Laurent级数2§4-1复数项级数和幂级数一、复数列的收敛性及其判别法二、复数项级数的收敛性及其判别法三、幂级数及其收敛半径四Δ、幂级数的运算性质3一、复数项级数复数列即有序的复数集称收敛于，若记作1.

复数列4复数列收敛与实数列收敛的关系定理此定理说明:

可将复数列的收敛性转化为判别两个实数列的收敛性.

复数列的充要条件是收敛于a51.复数项级数表达式称为复数项级数.前n

项的和称为级数的前n

项部分和.2.

复数项级数的收敛性及其判别法设为一复数列，62.级数收敛与发散的概念说明：与实数项级数相同,判别复数项级数敛散性的基本方法是:73.复数项级数与实数项级数收敛的关系证因定理2说明复数项级数的收敛问题两个实数项级数的收敛问题8级数收敛的必要条件（定理3）

9非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.如果

收敛,那末称级数

为绝对收敛.类似于实数级数，引入绝对收敛概念10绝对收敛级数的性质(定理4)

且有不等式成立.11而解

是否收敛？例1数列12例2故原级数收敛,且为绝对收敛.因为所以由正项级数的比值判别法知:解13故原级数收敛.所以原级数非绝对收敛.例3解141.幂级数的概念称为复变函数项级数。

称为该级数前n项的部分和.级数前n项的和三.幂级数及其收敛半径15称为该级数在区域D上的和函数.如果级数在D内处处收敛,那末它的和一定16例求幂级数的收敛范围与和函数.17函数项级数的特殊情形或这种级数称为幂级数.182.幂级数的敛散性Abel(阿贝尔)定理如果级数在收敛,那末对的级数必绝对收敛,如果在级数发散,那末对满足的级数必发散.满足19收敛半径的计算方法方法1（比值法）那末收敛半径即即20方法2（根值法）那末收敛半径即即21解例试求幂级数的收敛半径.224.幂级数的运算性质23定理4

设幂级数的收敛半径为则在收敛圆内解析.(1)它的和函数(2)(3)24例把函数表成形如的幂级数,其中是不相等的复常数.解把函数写成如下的形式:代数变形,使其分母中出现凑出25级数收敛,且其和为26N.Abel简介1802.8.5生于挪威；1829.4.6在挪威去世。1821秋进入大学；1822发表了函数方程和积分方程两篇论文；1823考虑五次方程求通解；1824将小册子自费出版；1825

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