《圆周角和圆心角的关系》第二课时

圆周角和圆心角的关系(2)知识回忆圆周角定义：顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.圆周角定理：乙甲仅从射门角度大小考虑，谁相对于球门的角度更好？ABCDO丙ABCD同弧所对圆周角之间的关系O问题：判断图中和的大小关系？

探究∵∠ACB=∠AOB∠ADB=∠AOB∴

∠ACB=∠ADB结论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.ABCDO12345678

找出图中四对相等的圆周角．

找一找在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等吗？为什么？因为，在同圆或等圆中，如果圆周角相等，那么它所对的圆心角也相等，因此它所对的弧也相等．在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等．

思考1.如图，AB是O的直径，你能求的度数吗？ABCO半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径结论：AB是直径⊙⊙2.如图，如果圆周角，那么弦AB是O的直径吗？

深入探索圆周角定理的推论：推论1

同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.推论2半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.

归纳用心想一想观察图①，∠ABC，∠ADC和∠AEC各是什么角？它们有什么共同的特征？它们的大小有什么关系？为什么？BAECDO答：∠ABC，∠ADC和∠AEC都是圆周角。根据圆周角定理，∠ABC，∠ADC，∠AEC都等于圆心角∠AOC的一半。所以这三个角是相等的。由此你得到什么结论？这三个角是相等的。理由是：图①它们的共同特征是：它们都对着ACBAECDO结论是：在同圆中，同弧所对的圆周角相等。如果把上面的同弧改成等弧，结论成立吗？答：成立。因为等弧所对的圆心角相等，而一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，所以这些圆周角也相等。对于等圆,情况也一样.因此,我们可以得到：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。问题：假设将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论成立吗？请同学们互相议一议。答：结论不成立。请看图。AB12问题解答1、圆周角定理的推论1：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。2、圆周角定理的推论2：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。用于找相等的角用于找相等的弧用于判断某个圆周角是否是直角用于判断某条线是否过圆心例：如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？ABCOD解：连接AD∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°

即AD⊥BC又∵AC=AB∴BD=CD

化心动为行动分析：由于AB是⊙O的直径，故连接AD。由直径所对的圆周角是直角，可得AD⊥BC.又因为△ABC中，AC=AB，所以由等腰三角形的三线合一，可证得BD=CD。

教材题变形，拓展延伸船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁。〔1〕当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？〔2〕当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？分析：这是一个有实际背景的问题。由题意可知：“危险角∠ACB”实际上就是圆周角。船P与两个灯塔的夹角为∠α，P有可能在⊙O外，P有可能在⊙O内.当∠α＞∠C时，船位于暗礁区域内；当∠α＜∠C时，船位于暗礁区域外。因此,我们可以分情况讨论.解：〔1〕当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域内〔即⊙O内〕。理由是：连接BE.

假设船在⊙O上，那么有∠α=∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O外，那么有∠α＜∠AEB，即∠α＜∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O外。因此，船只能位于⊙O内。〔1〕当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？〔2〕当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？解：〔2〕当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域外〔即⊙O外〕。理由是：假设船在⊙O上，那么有∠α=∠C，这与∠α＜∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O内，那么有∠α＞∠AEB，即∠α＞∠C，这与∠α＜∠C矛盾，所以船不可能在⊙O内。因此，船只能位于⊙O外。大胆尝试，练一练1.为什么有些电影院的坐位排列〔横排〕呈圆弧形？说一说这种设计的合理性。答：有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等。2.如图，哪个角与∠BAC相等？ABCD答：∠BDC=∠BAC。3.如图,△ABC内接于⊙O，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D,且AB2=AP·AD.〔1〕求证：AB=AC;〔2〕如果∠ABC=60°，⊙O的半径为1，且P为AC的中点，求AD的长？〔1〕证明：连接BP∵AB2=AP·AD∵∠BAP=∠DAB∴△BAP～△DAB∴∠APB=∠ABD∵∠APB=∠ACB∴AB=AC∵∠ABD=∠ACB〔2〕解：∵AB=AC又∵∠ABC=60°∴△ABC是等边三角形∵∠BAC=60°∵P为AC的中点∴∠BAP=∠BAC+∠PAC=90°∴BP是直径∴BP=2，AP=1∴AB2=BP2-AP2=3∵AB2=AP·AD∴32=1×AD∴AD=3.1.判断题：〔1〕同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等.〔〕〔2〕90°的角所对的弦是直径.〔〕〔3〕同弦所对的圆周角相等.〔〕√XXOABC

课堂练习D2.填空题:(1)如下图,∠BAC=,∠DAC=.DABC∠DBC∠BDC●OACB(2)如下图,⊙O的直径AB=10cm,C为⊙O上一点,∠BAC=30°,那么BC=cm5

课堂练习1、足球赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻。当甲带球到A点时，乙随后冲到B点，如图,此时甲是自己射门好，还是将球回传给乙，让乙射门好呢？为什么？(不考虑其他因素)甲乙ABMN

应用拓展〔2006•山西〕如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻．当他带球冲到A点时，同伴乙已经助攻冲到B点．有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．仅从射门角度考虑，应选择第二种射门方式．考点：圆周角定理．分析：此题实际是求∠A和∠B度数的大小；可设AP与⊙O的交点为C，连接QC，由圆周角定理可得∠PCQ=∠B；由于∠PCQ是△ACQ的外角，显然∠PCQ即∠B的度数要大于∠A；因此从射门角度考虑，在B点射门时，射门的角度更大，更有利于进球．解答：解：设AP与圆的交点是C，连接CQ；

那么∠PCQ＞∠A；

由圆周角定理知：∠PCQ=∠B；

所以∠B＞∠A；

因此选择第二种射门方式更好．点评：此题实际上是比较两个角的大小，角度越大，射中率越高．综合考查了圆周角定理和三角形外角的性质．1、足球赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻。当甲带球到A点时，乙随后冲到B点，如图,此时甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好呢？为什么？(不考虑其他因素)MNABC解：连接NC，由圆周角性质∠MBN＝∠MCN因此，让乙射门好.又由三角形外角性质∠MCN＞∠A∴∠MBN＞∠AMN甲C乙D2.当甲带球到C点时，乙冲到了D点，如下图,此时甲是自己直接射门好，还是将球传给乙，让乙射门好呢？为什么？(不考虑其他因素)

应用拓展MNCDOE2.当甲带球到C点时，乙冲到了D点，如图,此时甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好呢？为什么？(不考虑其他因素)延长NC交圆O于点E，连接ME，由圆周角性质∠MDN＝∠MEN因此，让甲射门好.解：又由三角形外角性质∠MCN＞∠MEN∴∠MCN＞∠MDN3.请你帮助用直角曲尺检查半圆形的工件，哪个是合格的？为什么？不合格合格不合格

生活中的数学答：图〔2〕是半圆形。理由是：90°的圆周角所对的弦是直径。1.如图，以⊙O的半径OA为直径作⊙O1,⊙O的弦AD交⊙O1于C,那么(1)OC与AD的位置关系是;

(2)OC与BD的位置关系是;(3)假设OC=2cm,那么BD=cmOC垂直平分AD平行4CDO1ABO

知识深化2.如图,△ABC的顶点均在⊙O上,AB=4,∠C=30°,求⊙O的直径.

●OACBE

能力提高∵BF是⊙O的直径∴∠BAF=90°在Rt△ABF中，∠F=30°∴BF=2AB又∵AB=4∴BF=8即⊙O直径为8解:过B作直径BF交⊙O于点F,连接AFF●ODABCNME3.如图⊙O中,D、E分别是AB和AC的中点,DE分别交AB和AC于点M、N.求证:△AMN是等腰三角形.⌒⌒

能力提高证明:∵D,E分别是AB和AC的中点⌒⌒∴AD=BD，AE=CE∴∠DAB=∠AED,∠ADE=∠EAC∵∠AMN=∠DAB+∠ADM∴∠AMN=∠ANM即△AMN是等腰三角形⌒⌒⌒⌒∠ANM=∠AED+∠EAC知识总结1.【圆周角的定义】顶点在圆上，两边都与圆相交，这样的角叫圆周角。2.【圆周角的性质】

〔3〕在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等；〔2〕一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半；〔1〕半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°〔直角〕．90°的圆周角所对的弦是圆的直径目标回忆〔你完成了吗？〕1.要理解圆周角定理的推论。2.构造直径所对的圆周角是圆中的常用方法。3.要多观察图形，善于识别圆周角与圆心角，构造同弧所对的圆周角也是常用方法之一。4.圆周角定理建立了圆心角与圆周角的关系，而同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间又存在等量关系，因此，圆中的角〔圆周角和圆心角〕、弦、弧等的相等关系可以互相转化。但转化过程中要注意以圆心角、弧为桥梁。如由弦相等只能得弧或圆心角相等，不能直接得圆周角相等。1、本节课我们学习了哪些知识？本课小结圆周角定理的两个推论引辅助线的方法：〔1〕构造直径上的圆周角.〔2〕构造同弧或等弧所对的圆周角.2、本节课我们学习了哪些方法？

作业:1.〔2001•常州〕：如图，⊙O的弦AD、BC互相垂直，垂足为E，∠BAD=∠α，∠CAD=∠β，且siaα=3/5，cosβ=1/3，AC=2．求〔1〕EC的长；

〔2〕AD的长。提示：连接DC，△ABE△EDC〔可利用相交弦定理〕

S2.我们知道：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，一条弧所