印度与阿拉伯的数学

受《九章算术》或中国其它算书的影响。

施里德哈勒(Sridhara,9世纪):《计算概要》,日用数学著作。印度古代和中世纪最伟大的数学家和天文学家数学著作：《莉拉沃蒂》（Līlāvatī）和《算法本源》

代表印度古代数学最高水平的著作天文著作：《天球》和《天文系统之冠》《莉拉沃蒂》共有13章：第一章给出算学中的名词术语；第二章是关于整数、分数的代数运算，包括加、减、乘、除、平方、开平方、立方、开立方等；第三章论各种计算法则和技巧；第四章关于利率等方面的应用题；第五章数列计算问题，主要是等差数列和等比数列；第六章关于平面图形的度量计算；第七至十章关于立体几何的度量计算；第十一章为测量问题；第十二章是一些代数问题，包括不定方程；第十三章是一些组合问题。该书很多数学问题用歌谣的形式给出。（四）婆什迦罗《算法本源》主要是算术和代数著作。什迦罗对不定方程有特别的兴趣，除对“库塔卡”问题外，他把婆罗摩笈多关于佩尔方程的特殊解法改造成一般性的解法。对ax

2+1=y2

，婆什迦罗首先选择适当的整数k，找出ax2+k=y2的一组特解(

,

)，即a

2+k=

2，另外再找一个整数m，使（1，m）是ax2+（m2-a）=y2的一组特解，使用“瑟马萨”组合，得到满足ax2+k(m2-a）=y2,即最后根据“库塔卡”方法，可以找到m使k

m

+

,并且使

m2-a

最小。计算则（

1

，

1）是方程ax

2+k1=y2的解。用

1

，

1，k1代替

，

，k，重复做上面的演算，若干次后就得到ax2+p=y2的特解（其中p=1，

2，

4），再根据婆罗摩笈多的方法得到ax

2+1=y2的无穷个解。

婆什迦罗能够熟练地使用诸如和差与半角等三角公式，在解二次方程中能够认识并广泛使用无理数，讨论了形如和的无理数的平方根。

阿拉伯帝国的兴起

阿拉伯的代数

阿拉伯的三角学与几何学

阿拉伯国家指以阿拉伯民族为主体的国家，大多分布在亚洲西部和北非一带，一般使用阿拉伯语，信奉伊斯兰教。然而“阿拉伯数学”并非指阿拉伯国家的数学，而是指8-15世纪阿拉伯帝国统治下的中亚西亚地区的数学，包括穆斯林、希腊人、波斯人和基督徒等所写的阿拉伯文数学著作。4.2

阿拉伯数学阿拉伯帝国的兴起

公元629年（唐贞观三年），伊斯兰教创始人穆罕默德攻取麦加，两年后统一阿拉伯半岛。接着他和继承者以“右手拿可兰经，左手拿刀”通过武力迅速扩张，不久即建立了横跨欧、亚、非三洲的大食帝国，成为中东地区的政治、经济、文化中心。早期这些阿拉伯的游牧民族文化落后，有许多是目不识丁，可是就在穆罕默德的伊斯兰教《圣训》中明确的教导（“要寻求学问，即使它远在中国”）下，阿拉伯人对别的种族和教派是宽大的，并容许异教徒自由活动，因此许多希腊人、波斯人、印度人、犹太人和基督徒的学者和他们合作建立起伊斯兰的文明及文化。帝国是以哈里发为最高执政者，他兼有军、政、教三权。先后出现了奥米雅王朝（迁都于大马士革，公元661年—750年）和阿拔斯王朝（迁都于巴格达，公元750年—1055年），到755年阿拉伯帝国分裂为两个独立王国，东部王国以巴格达为首都，西部王国以西班牙的哥尔多华（Cordova）为首都。

阿拉伯人所征服的叙利亚、埃及、美索不达美亚、伊朗、印度等都是世界文化发达较早的地区，这些文化遗产大多数被阿拉伯人接受并保存下来。例如他们占领了印度就把印度学者请到巴格达传播印度文化。公元773年，印度天文学家将印度的天文学及数学书籍译成阿拉伯文。印度的数字及记数法也在这时候传入阿拉伯。阿拉伯的几个哈里发都重视教育及注意培养科学人材。在阿拉伯西班牙,教育十分普及,几乎每一个人都会写字，学者极受尊重。大学教育更是发达，科尔多华、赛维利亚、托勒多、马拉加和格拉那达等城，都有规模庞大的综合性大学，是当时西方学术教育中心都市。教学科目有算术、几何、物理、天文、生物、医学、哲学、法学、伦理学等。建立学术研究机构，图书馆和天文台。阿尔-马蒙时代的“智慧宫”是继亚历山大博物馆以后世界上最大的学术研究机构。在各地建立的清真寺一般都设有图书馆和学校。巴格达、色拉子（Shiraz）、莫夫、科尔多华都有独立的图书馆。在穆斯林西班牙就有70座公共图书馆，藏有从各地搜集来的珍贵书籍。就以哈干姆二世时来说吧！科尔多华的图书馆藏书达60多万册。

政府组织人力从事古希腊文化遗产的整理和翻译工作。在“智慧宫”与花拉子米同时的著名翻译家就有11位。在翻译中有的被校订,有的被增补,还有的被注释,从而使大量的古代文化遗产获得新生。被翻译的古典著作中包括欧几里得、阿基米德、阿波罗尼斯、梅耐劳斯、海伦、托勒密和丢番图等著名学者的数学和天文著作。

8世纪末，印度数学家及天文学家婆罗摩笈多的著作也被译成了阿拉伯文。后来,印度的数学知识不断地传入了伊斯兰各国。古希腊人的原著，也主要通过阿拉伯人的译述而传入西欧和中欧的。西方正是通过这些译本才了解古希腊文化遗产。而且有些古希腊著作，还有阿拉伯文译本流传下来。

花拉子米(约783~850):《还原与对消计算概要》(al-Kitābal-mukhta

sarfīhisābal-jabr

wa‘l-muqābala,约820年前后)简称《代数学》

“Al-jabr”:还原移项;“a‘l-muqābala”:对消.传入欧洲后，到十四世纪“Al-jabr”演变为拉丁语“Algebra”，也就成了今天的英文“Algebra”。

(i)用代数方式处理线性方程组和二次方程；

(ii)第一次给出一元二次方程一般代数解法及几何证明

(iii)引进移项、合并同类项等代数运算

《代数学》首先指出，该书的数学问题都是由根（x）、平方（x2）和数（常数）这三者组成。

阿拉伯的代数学(一）花拉子米《代数学》

分六章叙述6种类型的一、二次方程求解问题。第一章讨论ax2=bx

型方程；第二章讨论ax2=b

型方程；第三章讨论一次方程ax=b；第四、五、六章是关于三项二次方程求解问题，分别讨论三种类型的二次方程：

x2+px=q,x2+q=px,x2=px+q,都给出了相应的求根公式。这六种方程的系数都是正数，可统一为以下一般形式——

明确指出,二次方程可能有两个正根,也可能有负根,但他不取负根与零根。之后，花拉子米又以几何方式证明上述各种解法的合理性。如对方程

x2+21=10x

求解过程的证明如下：图1图2花拉子米分两种情形讨论。

(1)当x<5时，以x为边作正方形ABCD，延长BC至L，使BL=5，再延长BL至P，使LP=5，同样，延长AD至E，使AE=5，再延长至H，使EH=5；以EH为边长作正方形EHGF，以LF为边长作正方形LFMN,（如上图）x2+px+q=0，花拉子米相当于获得一般的求根公式:(2)当x>5时，以x为边作正方形ABCD，在边BC上截取BL=5，延长LC至G，使LG=5，以LG为边长作正方形LGNF，以LC为边长作正方形EFMD，(如图2),记矩形FLCM、MCGN、EFMD、DMNP的面积分别为a、b、c、d，由图形可知，x2+b+d=10x,这样b+d=21。那么，

LC=FM=2，故

花拉子米指出:任何二次方程都可以通过“还原”与“对消”（即移项与合并同类项）的步骤化成他所讨论的六种类型方程。若记矩形DCLE、ELPH、LFMN、MNPG的面积分别为a、b、c、d，由图形可知，x2+a+b=10x,这样a+b=21。由于a=(5

x)x=d,于是c=52

b

d=52

21，即那么,LC=FM=2,故

于是c=52

b

d=5221，即由于a=c+d=5(x

5)，《印度计算法》:（Algoritmidenumero

indorum）系统介绍印度数码和十进制记数法，以及相应的计算方法。拉丁文译本在欧洲传播，为欧洲近代数学的发生提供了科学基础。该书在欧洲传播后，“Algoritmi”也演变为“Algorithm”。

艾布·卡米勒:（AbuKamil，约850~930）“埃及的计算家”继承了花拉子米的数学工作为。

《计算技巧珍本》：许多数学问题也采自于花拉子米的书

《论五边形和十边形》：包括几何和代数两方面的内容，关于四次方程解法和处理无理系数二次方程是其主要特色。

(二）奥马

海亚姆与三次方程

奥马·海亚姆（OmarKhayyam，1048?~1131）：11世纪最著名且最富成就的数学家、天文学家和诗人。《还原与对消问题的论证》(简称《代数学》):

开平方、开立方算法该书对代数学发展的最杰出贡献是用圆锥曲线解三次方程。

门奈赫莫斯(Menaechmus,约BC360)为解决倍立方体问题而发现了圆锥曲线，它与三次方程x3=2a2相联系。阿基米德在考虑：平面截球，使所截得的两部分体积比为定值的问题时，导致三次方程：x2(a

x)=bc2。他利用两条圆锥曲线y(a

x)=ab和ax2=c2y的交点来求解。阿基米德的传统启发了阿拉伯数学家。海亚姆将不高于三次的代数方程分为25类(系数为正数),其中14类三次方程,对每类三次方程给出相应一种几何解法,例如解x3+ax=b,首先将其化为x3+c2x=c2d,(这里c2=a,c2d=b,按照希腊人的数学传统:a、b是线段,c2为正方形,c2d为长方体),方程x3+c2x=c2d的解就是抛物线x2

=cy与半圆y2=x(d

x)交点的横坐标x.他首先画出正焦弦为c的抛物线,再画出直径为d的半圆(如下图),过它们的交点作垂线PS，则QS长度就是方程的解.

QxS

d

x

RP高次方程的数值解法：纳西尔·丁(Nasir-Eddin,1201~1274)和阿尔·卡西（Al-Kashī,?~1429）都给出了开高次方的一般性算法。阿尔·卡西：撒马尔罕天文台负责人

《算术之钥》：给出用于开方的二项式系数表，与11世纪中国贾宪的“开方作法本源图”十分相似，所介绍的两种造表方法之一，与杨辉算书所录贾宪“增乘方法求廉草”完全一致.《算术之钥》中还有“契丹算法”（即盈不足术,当时的历史学家称中国为契丹al-Khataayn）和“百鸡问题”，后来传入欧洲。高精度三角函数表的编造海拜什·哈西卜(Al-Hasīb,764?~870?)

制定间隔为15‘的60进制正弦表，还编制了间隔为1

的正切表。艾布·瓦法

(Abū'l-Wafā,940~997?)

编制出间隔为10‘的正弦表和正余弦表引入正割、余割比鲁尼

(Al-Bīrūnī,973~1050)

利用二次插值法制定了正弦、正切函数表。马拉盖天文台阿拉伯的三角学与几何学

阿尔·巴塔尼(al-Battānī,858?~929)

《天文论著》,又名《星的科学》

对希腊三角学加以系统化创立了系统的三角学术语，如正弦、余弦、正切余切。

发现了一些等价于下列公式的三角函数关系式：

巴塔尼（

858?-929）以及球面三角形的余弦定理：cosa=cosb

cosc+sinb

sinc

cosA.

艾布·瓦法

《天文学大全》

继承并发展了托勒玫的《大汇编》

编制精细的三角函数表证明了与两角和、差、倍角和半角的正弦公式等价的关于弦的一些定理,证明了平面和球面三角形的正弦定理。比鲁尼

(Al-Bīrūnī,973~1050)146余部著作

《马苏德规律》：在三角学方面有一些创造性的工作正弦公式、和差化积公式、倍角公式和半角公式。给出一种测量地球半径的方法,首先用边长带有刻度的正方形ABCD(如图4.4a)测出一座山高(其中)，再于山顶T处悬一直径SP可以转动的圆环MPNS,从山顶T观测地平线上一点I，测得俯角

OTI=

，由于，，得到，从而算出地球半径。，，比鲁尼算得1

子午线长为106.4-124.2公里。TGCEBDAFMSTPNHIOG图4.4a图4.4b阿尔·卡西计算sin1

的值：首先求出sin72和sin60的值,以求sin12=sin(7260

)的值,再用半角公式求sin3的值,由三倍角公式得出sin3=3sin1

4sin31，即sin1是三次方程sin3=3x

4x3的解，阿尔·卡西用牛顿迭代法：，（x1=sin3）求出sin1的近似值。纳西尔·丁

《伊儿汗天文表》(1271):测算出岁差51″/每年

《天文宝库》

对托勒玫的宇宙体系加以评注，并提出新的宇宙模型

《论完全四边形》

脱离天文学的系统的三角学专著，系统阐述了平面三角学，明确给出正弦定理。讨论球面完全四边形，对球面三角形进行分类，指出球面直角三角形的6种边角关系(C为直角)：cosc=cosa

cosb;cosc=ctgA

ctgB;cosA=cosa

sinB;cosA=tgb

ctgC;sinb=sincsinB;sinb=tga

ctgB.

讨论了解平面和球面斜三角形的一些方法，引入极三角形的概念以解斜三角形。指出在球面三角形中，由三边可以求三角，反之，由三角可以求三边，这是球面三角与平面三角的一个重要标志。与阿拉伯人的代数成就和三角学成就相比，他们的几何学工作显得薄弱，阿拉伯人在几何方面的工作主要是对希腊几何的翻译与保存，并传给了欧洲。他们主要受欧几里得、阿基米德、阿波罗尼乌斯、海伦和托勒玫等人的影响，希腊几何学对阿拉伯数学的严格性产生一定的作用。他们曾经对《几何原本》作过评注，其中第五公设引起了他们的注意，不少人试图证明这条公设，如焦赫里(ai-Jawhari，约830)、著名学者塔比·伊本·库拉(Thabit

ibn

Qurra,约826~901)、伊本·海塞姆(Ibnal-Haytham,965~1040?)、奥马·海亚姆以及纳西尔·丁等人。阿拉伯人关于第五公设的这种兴趣与尝试，诱发了后世欧洲学者在这方面的兴趣，对非欧几何的诞生有一定的影响。补充：中国和印度阿拉伯的数学交流丝绸之路中国与阿拉伯世界的数学交流中国与印度的数学交流丝绸之路

“丝绸之路”是古代横贯欧亚大陆的交通大动脉，发自中国中原地区，通过西域的漫长道路而达欧洲。一般认为是由西汉的张骞(qiān

)首先开辟的。

公元前177年，匈奴在冒顿单于统治下，向分布在阴山以西的月氏人进攻，驱赶他们向西边迁徙到天山以北的地方。月氏民族西迁的消息，一直到公元前138年,才传到汉武帝刘彻。汉武帝于是派张骞出使西域.联络西部民族如大月氏、乌孙等，联合汉朝发起对匈奴的东西夹击。张骞带了100个随从离开长安，一进入河西走廊，就被匈奴抓走，关了10年才逃出匈奴，到了大宛(yuān

)、康居和大月氏（伊朗东北部）。张骞在大月氏停留了一年之后，就从西域南道回中国，在回中国的路上又被匈奴扣留一年，后来乘匈奴内乱逃回中国，他在西域的时间前后13年，出发时一百多人，回来只剩下两人。罗马帝政时期从奥古斯都（公元前27年—公元14年）执政开始，罗马帝国征服了整个地中海,帝国的东部边界沿着幼发拉底河上游和亚美尼亚、安息国接壤。那时中国的商队，从敦煌或新疆出发，经常到美索不达米亚及叙利亚去做买卖。中国人也把罗马叫着“大秦”，意思是“极西的国家”。

公元97年，在西域经营的班超，派了叫甘英的使者，带着礼物，去寻找到罗马的路径，甘英从现在新疆库车西南的托和鼐出发，顺利地穿过中亚、西亚的广大地区，来到安息的西界，准备渡海，经海路到红海去。可是波斯船长却欺骗了他,告诉他这条海路难走，遇上好风，也要三个月才行。风信不利，也有走到二年才到。要带到三年的口粮才能对付。在大海上航行，使人容易得到思乡病，常常因而死亡。这些话使到甘英不能到达大秦,甘英出使大秦失败而回。二十余年后,罗马的魔术师经海路辗转到印度，缅甸，后由西南陆道来到洛阳献艺。大秦到了公元166年，正式遣使，从东南海路前来中国。从汉到唐的一千多年间，“丝绸之路”虽几经中断，但基本上是畅通的，沿着这条道路保持着大规模的经济贸易交往，而伴之而来的是科技文化的交流。西汉形势图丝绸之路示意图

唐时中国的陶瓷制造术、炼丹术和硝等药物传入阿拉伯，而阿拉伯的煤油、菠菜、葱也在这时传入中国，以后成为中国人常用的蔬菜。在唐时一些阿拉伯人来唐居住或经商或留学，有些甚至取得唐籍，在政府入任为官。例如大食人李彦升，在公元847年被岭南节度使卢钧举荐入京，由宣宗特准参加科举考试,次年考取进士。晚唐时，阿拉伯、波斯人侨居中国,并参加科举中榜者不少。回教在贞观年间（公元627—649年）已传入中国。据明朝何乔远的《回回家言》记载,麦地那国有穆罕默德圣人，其门徒有大贤四人，唐武德中来朝，遂传教中国，“一贤传教广州、二贤传教扬州、三贤四贤传教泉州。”唐朝形势图

12世纪末崛起了蒙古草原地区的游牧民族，在成吉思汗的率领下，由公元1219年到1225年,组成一支大军向里海以北的地区西征。这支部队配备有汉族和西辽的先进军事技术装备，所向无敌。

1235—1244年,成吉思汗的孙子拔都又率蒙军进行第二次西征，攻克钦察郡，平俄罗斯,破波兰，败匈牙利，前锋直抵威尼斯。

1253—1260年，成吉思汗的孙子蒙哥派旭烈兀第三次西征，席卷了美索不达米亚。中国首先接触希腊科学的人是蒙哥。

蒙哥派旭烈兀西征时，命令他把中亚著名科学家纳速拉丁·徒思（Nasired-dinal-tusi公元1201—1274年）带回中国。但是，蒙哥派旭烈兀进入波斯以后并没将徒思送回中国，而是带他继续西征巴格达，不久又回到波斯。

1258—1259年，旭烈兀在徒思的建议下在马拉加城建立了一座规模很大的天文台，徒思担任台长。这座天文台中有大规模的天文仪器设备，而且参加其中工作的，西有伊斯兰统治下的西班牙天文学家，东有来自中国的天文学家。

事实上，阿拉伯人来中国学文化，也有中国人到阿拉伯国家去研究。元朝形势图中国与印度的数学交流

自从公元前1世纪初,佛教通过西域开始传入中国之后，中国同印度、西域之间的交通日益发展，东来西去的僧人日益增多。中印天文数学交流

印度与中国交通甚早．相传汉明帝时中国就派遣蔡镕到西域寻求佛法。三国时有印度僧人来华。隋唐时期交往渐多。八世纪以后，水路交通更为便利，中印来往更频。当时两国各种学术，应互有传授，算学也不例外。

印度算学，除吠陀时期外，诸家撰述，俱在祖冲之《缀术》后，与中国古算相同之术，如勾股、圆周率、弧团术、开立圆术、求一术等，皆与希腊算学迥异，可为印度算学取法中算之证。又印度算学，类皆因题立术，鲜事证明，数与量无显明之界限，算法可通于数者，即可应用于量，皆与中算相似。中国数码的产生以及0号的使用，具体时间不可考证，应该与八、九世纪的中印文化交流有关．隋唐时期及之后，随着中印文化交流的加深，中印数学交流更为广泛。中国数学对印度数学的影响：位置制数码；四则运算；分数；三项法（今有术）；弓形面积与球体积；联立一次方程组；负数；勾股问题；圆周率；重差术；一次同余式；不定方程问题；开方法等。印度数学对中国数学的影响：数码；圆弧的量法等中国与阿拉伯世界的数学交流中阿文化交流概述

阿拉伯帝国与中国的科学与文化交流在帝国建立之前的很长时间就已经存在了。以伊斯兰文