2021版高中全程复习方略配套课件：应用举例

2024/3/312021版高中全程复习方略配套课件：应用举例2024/3/312021版高中全程复习方略配套课件：应用举1三年8考高考指数:★★★能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.三年8考高考指数:★★★21.对解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题的考查是高考考查的重点.2.在选择题、填空题、解答题中都可能考查，多属中低档题.1.对解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题的考查是高考31.实际问题中有关概念(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①).铅垂线水平线视线视线仰角俯角①1.实际问题中有关概念铅垂线水平线视线视线仰角俯角①4(2)方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②).(3)方向角相对于某一正方向的水平角(如图③)①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向.②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向.③南偏西等其他方向角类似.北南西东B②东北目标北偏东③(2)方位角北南西东B②东北目标北偏东③5(4)坡度(ⅰ)定义:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．(ⅱ)坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡比)(4)坡度6(5)视角观测点与观测目标两端点的连线所成的夹角叫做视角(如图).(5)视角7【即时应用】(1)思考:仰角、俯角、方位角有什么区别？提示:三者的参照不同．仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的.(2)思考:如何用方位角、方向角确定一点的位置？提示:利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置.【即时应用】8(3)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的__________方向.【解析】由已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°.∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°.答案：北偏西10°(3)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观92.解三角形应用题的一般步骤(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系.(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型.(3)选择正弦定理或余弦定理求解.(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求.2.解三角形应用题的一般步骤10【即时应用】(1)已知A、B两地的距离为10km,B、C两地的距离为20km,现测得∠ABC=120°，则A、C两地的距离为______km.(2)如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10米，则旗杆的高度为________米.【即时应用】11【解析】(1)如图所示，由余弦定理可得：AC2=100+400-2×10×20×cos120°=700，∴AC=10(km).【解析】(1)如图所示，12(2)设旗杆高为h米，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为点C，则在△ABC中，AB＝10，∠CAB＝45°，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°，由正弦定理，得，故h＝30米.答案：(1)10(2)30(2)设旗杆高为h米，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端13测量距离的问题【方法点睛】求距离问题的注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.测量距离的问题14【例1】(1)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则这条河的宽度为______.(2)隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边选取相距km的C、D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A、B、C、D在同一平面内)，则两目标A、B之间的距离为________.【例1】(1)如图，为了测量河的宽度，15【解题指南】(1)作出高线可直接应用直角三角形的边角关系求得；(2)确定好三角形利用正弦定理和余弦定理解三角形求得.【规范解答】(1)如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB于D点，则CD为所求宽度，在△ABC中，∵∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，∴∠ACB＝75°，∴AC＝AB＝120m.在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝120sin30°＝60(m)，因此这条河宽为60m.答案：60m 【解题指南】(1)作出高线可直接应用直角三角形的边角关系求得16(2)如图所示，在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°，∴AC＝CD＝.在△BDC中，∠CBD＝180°－45°－75°＝60°.由正弦定理可得(2)如图所示，在△ACD中，17在△ABC中，由余弦定理可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA，∴∴AB＝(km).即两目标A、B间的距离为km.答案：km 在△ABC中，由余弦定理可得18【互动探究】若将本例(2)中A、B两点放到河的两岸,一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，则A、B两点的距离为________m.【解析】由正弦定理得答案：

【互动探究】若将本例(2)中A、B两点放到河的两岸,一测量者19【反思·感悟】(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型.(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解.【反思·感悟】(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关20【变式备选】某人在M汽车站的北偏西20°的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶.公路的走向是M站的北偏东40°.开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米.问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？【解析】由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处.在△ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得【变式备选】某人在M汽车站的北偏西20°的方向上的A处，观察21则sin2C=所以sin∠MAC=sin(120°-C)=sin120°cosC-cos120°sinC=则sin2C=22在△MAC中，由正弦定理得从而有MB=MC-BC=15(千米),所以汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站.在△MAC中，由正弦定理得23测量高度问题【方法点睛】高度问题的处理方法在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角)是一个关键．在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.测量高度问题24【提醒】高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合.【提醒】高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中25【例2】要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，求电视塔的高度.【解题指南】设出塔高x，先放到Rt△ABC和Rt△ABD中把BC和BD用x表示；再在△BDC中用余弦定理求得x.【例2】要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶26【规范解答】如图，设电视塔AB的高为xm，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得BC＝x.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BD＝x.在△BDC中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°，即(x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，∴电视塔高为40米.【规范解答】如图，设电视塔AB的高为xm，27【反思·感悟】解决高度的问题主要是根据条件确定出所利用的三角形，准确地理解仰角和俯角的概念并和三角形中的角度相对应；分清已知和待求的关系，正确地选择定理和公式，特别注意高度垂直地面构成的是直角三角形.【反思·感悟】解决高度的问题主要是根据条件确定出所利用的三角28【变式训练】某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高.【解析】如图：在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，【变式训练】某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后29由正弦定理得∴过B作BE⊥CD于E，显然当人在E处时，测得塔的仰角最大，有∠BEA＝30°.在Rt△BED中，由正弦定理得30∠BDE＝180°－135°－30°＝15°，∴BE＝DBsin15°＝(米),∴在Rt△ABE中，所以塔高为米.∠BDE＝180°－135°－30°＝15°，31测量角度的问题【方法点睛】测量角度问题的关键点解决测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．同时注意把所求量放在有关三角形中，有时直接解此三角形解不出来，需要先在其他三角形中求解相关量.测量角度的问题32【例3】在海岸A处，发现北偏东45°方向、距离A处(-1)海里的B处有一艘走私船；在A处北偏西75°方向、距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船.同时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？【解题指南】设出缉私船t小时后在D处追上走私船后，确定出三角形，先利用余弦定理求出BC，再利用正弦定理求出时间.【例3】在海岸A处，发现北偏东45°方向、距离A处(-33【规范解答】设缉私船t小时后在D处追上走私船，则有CD=10t,BD=10t.在△ABC中，AB=-1,AC=2,∠BAC=120°.利用余弦定理可得BC=由正弦定理，得得∠ABC=45°，即BC与正北方向垂直.于是∠CBD=120°.【规范解答】设缉私船t小时后在D处追上走私船，34在△BCD中，由正弦定理，得得∠BCD=30°,又 所以当缉私船沿东偏北30°的方向能最快追上走私船，最少要花小时.在△BCD中，由正弦定理，得35【反思·感悟】利用正弦定理和余弦定理来解实际问题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中抽取主要因素，进行适当的简化.另外要准确选择恰当的三角形，把实际问题转化到三角形中时，正确地表示出所用的边和角.【反思·感悟】利用正弦定理和余弦定理来解实际问题时，要学会36【变式训练】(2012·南平模拟)如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(已知sin41°≈，角度精确到1°)?【变式训练】(2012·南平模拟)如图，37【解析】连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10×cos120°=700.所以 ∵∵∠ACB<90°,∴∠ACB=41°.∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.【解析】连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×238【变式备选】如图,某污水处理厂要在一个长方体污水处理池的池底(ABCD)铺设污水净化管道(Rt△FHE,H是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好.设计要求管道的接口H是AB的中点,E，F分别落在线段BC,AD上.已知AB=20m,AD=10m,记∠BHE=θ.(1)试将污水净化管道的长度L表示成θ的函数,并写出定义域；(2)若sinθ+cosθ=,求此时管道的长度L；(3)当θ取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度.【变式备选】如图,某污水处理厂要在一个39【解析】(1)在Rt△BHE中，EH=，在Rt△AFH中，FH=,在Rt△EFH中，所以管道总长(2)因为sinθ+cosθ=，所以sinθcosθ=,代入(1)中结论得L=20(+1)(m)；【解析】(1)在Rt△BHE中，40(3)因为=设sinθ+cosθ=t=sin(θ+),sinθcosθ=,∴又θ∈［］,t∈［］,所以此时答:当时,铺设的管道最长,为20(+1)m.(3)因为41【满分指导】三角形中实际应用问题的规范解答【典例】(13分)(2012·福州模拟)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3+)海里的两个观测点.现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？【满分指导】三角形中实际应用问题的规范解答42【解题指南】根据图形确定利用的三角形(1)要充分利用方向角与三角形内角的关系；(2)要正确利用正、余弦定理求解.【规范解答】由题意：AB=5(3+)(海里)∠DBA=90°-60°=30°，∠DAB=90°-45°=45°∴∠ADB=180°-(45°+30°)=105°…………3分在△DAB中，由正弦定理得【解题指南】根据图形确定利用的三角形43∴=(海里)………7分又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°，BC=20海里，在△DBC中，由余弦定理得： CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠DBC=∴44∴CD=30海里.………………11分则需要的时间=1(小时)……………12分答：救援船到达D点需要1小时.…………13分∴CD=30海里.………………1145【阅卷人点拨】通过对阅卷数据的分析与总结，我们可以得到以下失分警示与备考建议：失分警示解答此题时有三处容易造成失分:①由于角多不能正确地利用角之间的关系.②计算的失误造成失分，特别是sin105°的计算.③应用题不作答造成失分.【阅卷人点拨】通过对阅卷数据的分析与总结，我们可以得到以下失46备考建议关于解决三角形的实际应用问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)对题目所给条件不能作出相关示意图.(2)不会将实际问题转化到三角形中利用正、余弦定理求解.另外,对于仰角、俯角、方向角、方位角要正确地理解和应用.备关于解决三角形的实际应用问题还有以下几点容易造成失分，在备471.(2012·南平模拟)根据气象预报，某海域将有台风，位于港口O(如图)正东方向20海里B处的渔船回港避风时出现故障.位于港口南偏西30°，距港口10海里C处的拖轮接到海事部门营救信息后以30海里/小时的速度沿直线CB去营救渔船，则拖轮到达B处需要_______小时.1.(2012·南平模拟)根据气象预报，48【解析】根据题意知∠BOC=120°，OC=10海里，OB=20海里,故==10(海里),又速度v=30海里/小时,故(小时).答案：

【解析】根据题意知∠BOC=120°，OC=10海里，OB=492.(2012·龙岩模拟)上海世博园中的世博轴是一条1000m长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧.现测得中国馆到世博轴两端的距离相等