RWG基函数的介绍

第五章留数及其应用§5.1孤立奇点§5.2留数§5.3留数在定积分计算中的应用§5.4习题五第五章留数及其应用§5.1孤立奇点本章主要内容：一、孤立奇点的定义、分类与判断方法二、极点求留数的方法如何判断极点的阶数不同阶数极点留数的求法三、无穷远点求留数的方法四、留数定理，利用留数定理求积分五、留数在定积分中的应用本章主要内容：一、孤立奇点的定义、分类与判断方法§5.1孤立奇点孤立奇点：奇点：函数不解析的点如果函数f(z)虽在z0不解析,但在z0的某一个去心邻域0<|z-z0|<d内处处解析,则z0称为f(z)的孤立奇点奇点为圆心画圈，如果能找到一个圈，圈里只有它一个奇点！奇点为圆心画圈，如果无论圈有多小，圈里总还有其它奇点！——非孤立奇点5.1.1

孤立奇点的定义§5.1孤立奇点孤立奇点：奇点：函数不解析的点§5.1孤立奇点孤立奇点：奇点：函数不解析的点如果函数f(z)虽在z0不解析,但在z0的某一个去心邻域0<|z-z0|<d内处处解析,则z0称为f(z)的孤立奇点举例：5.1.1

孤立奇点的定义§5.1孤立奇点孤立奇点：奇点：函数不解析的点§5.1孤立奇点孤立奇点：奇点：函数不解析的点如果函数f(z)虽在z0不解析,但在z0的某一个去心邻域0<|z-z0|<d内处处解析,则z0称为f(z)的孤立奇点举例：孤立奇点非孤立奇点5.1.1

孤立奇点的定义§5.1孤立奇点孤立奇点：奇点：函数不解析的点§5.1孤立奇点孤立奇点：奇点：函数不解析的点如果函数f(z)虽在z0不解析,但在z0的某一个去心邻域0<|z-z0|<d内处处解析,则z0称为f(z)的孤立奇点5.1.1

孤立奇点的定义§5.1孤立奇点孤立奇点：奇点：函数不解析的点为什么要分类？分类的标准是什么？分类的标准是负幂次项的系数的不同因为奇点的性质是由负幂次项决定的5.1.2

孤立奇点的分类为什么要分类？分类的标准是什么？分类的标准是因为奇点的性质是5.1.2

孤立奇点的分类5.1.2孤立奇点的分类5.1.3

孤立奇点分类的判断5.1.3孤立奇点分类的判断如何判断极点的阶数？（重点）几阶极点？几阶极点？几阶零点？如何判断极点的阶数？（重点）几阶极点？几阶极点？几阶零点？5.1.5

判断函数零点级数的方法第一种方法——求导法如f(z)在z0解析,则z0是f(z)的m级零点的充要条件是

f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)0.这是因为,如果f(z)在z0解析,就必能在z0的邻域展开为泰勒级数:f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cm(z-z0)m+…，易证z0是f(z)的m级零点的充要条件是前m项系数

c0=c1=...=cm-1=0,cm0,

这等价于f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)0。5.1.5判断函数零点级数的方法第一种方法——求导法5.1.5

判断函数零点级数的方法第一种方法——求导法

如f(z)在z0解析,则z0是f(z)的m级零点的充要条件是

f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)0.

简单地说，就是求导一直到在z0的导数不等于零了，导了几次就是几级零点。5.1.5判断函数零点级数的方法第一种方法——求导法5.1.5

判断函数零点级数的方法第一种方法——求导法

如f(z)在z0解析,则z0是f(z)的m级零点的充要条件是

f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)0.

简单地说，就是求导一直到在z0的导数不等于零了，导了几次就是几级零点。5.1.5判断函数零点级数的方法第一种方法——求导法5.1.5

判断函数零点级数的方法第二种方法——级数法5.1.5判断函数零点级数的方法第二种方法——级数法5.1.5

判断函数零点级数的方法三个判断的基本原则5.1.5判断函数零点级数的方法三个判断的基本原则5.1.5

判断函数零点级数的方法三个判断的基本原则5.1.5判断函数零点级数的方法三个判断的基本原则5.1.5

判断函数零点级数的方法三个判断的基本原则×5.1.5判断函数零点级数的方法三个判断的基本原则×5.1.5

判断函数零点级数的方法三个判断的基本原则5.1.5判断函数零点级数的方法三个判断的基本原则5.1.6

零点和极点的关系这个定理为判断函数的极点提供了一个较为简单的方法.定理

如果z0是f(z)的m级极点,则z0就是的m级零点,

反过来也成立.5.1.6零点和极点的关系这个定理为判断函数的极点提供了5.1.7

判断极点级数的方法5.1.7判断极点级数的方法5.1.7

判断极点级数的方法5.1.7判断极点级数的方法5.1.7

判断极点级数的方法×5.1.7判断极点级数的方法×5.1.7

判断极点级数的方法5.1.7判断极点级数的方法5.1.7

判断极点级数的方法5.1.7判断极点级数的方法5.1.7

判断极点级数的方法5.1.7判断极点级数的方法如果函数f(z)在无穷远点z=

的去心邻域R<|z|<内解析,称点为f(z)的孤立奇点.5.1.8

函数在无穷远点的性态主要部分解析部分如果函数f(z)在无穷远点z=的去f(z)在无穷远点z=

的奇点类型等价于j(w)在w=0的奇点类型。xy0Cf(z)在无穷远点z=的奇点类型等价于j(w)在w主要部分解析部分主要部分解析部分RWG基函数的介绍例题1例题2例题3

式子的最高幂次例题1例题2例题3式子的最高幂次§5.2留数§5.2.1留数的概念及留数定理Residual§5.2留数§5.2.1留数的概念及留数定理ResidRWG基函数的介绍称C-1为f(z)在z0的留数,记作Res[f(z),z0],即定理5.7(留数定理)

设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2,...,zn外处处解析.C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则Dz1z2z3znC1C2C3CnC称C-1为f(z)在z0的留数,记作Res[f[证]把在C内的孤立奇点zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正向简单闭曲线Ck围绕起来,则根据复合闭路定理有注意定理中的条件要满足。例如不能应用留数定理。[证]把在C内的孤立奇点zk(k=1,2,...,n)用CiZiZ1Z2ZnC1CC2CnCiZiZ1Z2ZnC1CC2CnCZ0对孤立奇点进行分类如果z0是f(z)的可去奇点,则Res[f(z),z0]=0.如果z0是本性奇点,则只好将其按洛朗级数展开.如果z0是极点,首先判断极点的阶数其次根据不同的阶数选择不同的规则CZ0对孤立奇点进行分类如果z0是f(z)的可求函数在孤立奇点z0处的留数即求它在洛朗级数中

(z-z0)-1项的系数c-1即可.但如果知道奇点的类型,对求留数可能更有利.如果z0是f(z)的可去奇点,则Res[f(z),z0]=0.如果z0是本性奇点,则只好将其按洛朗级数展开.如果z0是极点,则有一些对求c-1有用的规则.求函数在孤立奇点z0处的留数即求它在洛朗级数中RWG基函数的介绍RWG基函数的介绍RWG基函数的介绍§5.2.2函数在极点的留数法则1

如果z0为f(z)的一级极点,则法则1

如果z0为f(z)的一级极点,则§5.2.2函数在极点的留数法则1如果z0为RWG基函数的介绍RWG基函数的介绍法则3

如果z0为f(z)的m级极点,则事实上,由于

f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...,令两端z

z0,右端的极限是(m-1)!c-1,两端除以(m-1)!就是Res[f(z),z0],即得规则2,当m=1时就是规则1。(z-z0)mf(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+...+c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+...,法则3如果z0为f(z)的m级极点,则事实上,由于

RWG基函数的介绍第一步：确定积分曲线内的奇点的阶数第二步：求出各个奇点的留数第三步：利用留数定理求出积分第一步：确定积分曲线内的奇点的阶数第二步：求出各个奇点的留数z=0为被积函数的1级极点,z=1为2级极点z=0为被积函数的1级极点,z=1为2级极点z=0为被积函数的可去奇点,z=1为1级极点z=0为被积函数的可去奇点,z=1为1级极点§5.2.3无穷远点的留数设函数f(z)在圆环域R<|z|<

内解析,C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线,则积分的值与C无关,称其为f(z)在点的留数,记作理解为圆环域内绕的任何一条简单闭曲线。§5.2.3无穷远点的留数设函数f(zf(z)在圆环域R<|z|<

内解析：这就是说,f(z)在点的留数等于它在点的去心邻域R<|z|<+内洛朗展开式中z-1的系数变号.f(z)在圆环域R<|z|<内解析：这就是RWG基函数的介绍定理

如果f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那末f(z)在所有各奇点(包括点)的留数总和必等于零.证：除点外,设f(z)的有限个奇点为zk(k=1,2,...,n).且C为一条绕原点的并将zk(k=1,2,...,n)包含在它内部的正向简单闭曲线,则根据留数定理与在无穷远点的留数定义,有定理如果f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,证RWG基函数的介绍所以规则4成立.所以规则4成立.RWG基函数的介绍RWG基函数的介绍Z1Z2Zn第一步：找圈内的孤立奇点第二步：计算每个孤立奇点的留数第三步：利用留数定理求出积分被积函数分母等于零如何计算留数？Z1Z2Zn第一步：找圈内的孤立奇点第二步：第一步：对孤立奇点进行分类计算每个孤立奇点的留数第二步：根据分类求不同奇点的留数第一步：对孤立奇点进行分类计算每个孤立奇点的留数第二如果z0是f(z)的可去奇点,则Res[f(z),z0]=0.如果z0是本性奇点,则只好将其按洛朗级数展开.如果z0是极点,首先判断极点的阶数其次根据不同的阶数选择不同的法则计算每个孤立奇点的留数第二步：根据分类求不同奇点的留数如果z0是f(z)的可去奇点,则Res[f(z),第二步：根据不同的阶数选择不同的法则计算极点的留数第一步：判断极点的阶数第二步：根据不同的阶数选择不同的法则计算极点的留数第计算极点的留数第一步：判断极点的阶数如何判断零点？计算极点的留数第一步：判断极点的阶数如何判断零点？计算极点的留数判断零点的阶数第一种方法——求导法第二种方法——级数法计算极点的留数判断零点的阶数第一种方法——求导法第二第二步：根据不同的阶数选择不同的法则计算极点的留数法则1

如果z0为f(z)的一级极点,则法则3

如果z0为f(z)的m级极点,则第二步：根据不同的阶数选择不同的法则计算极点的留数法如果圈内的奇点留数很难求，可以考虑求圈外的留数通过法则4把无穷远点的留数转化成普通点的留数如果圈内的奇点留数很难求，可以考虑求圈外的留数通过法则4把无

留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数。这就要利用解析延拓的概念。留数定理又是应用到回路积分的，要应用到定积分，就必须将定积分变为回路积分中的一部分。§5.3留数在定积分计算上的应用如图，对于实积分，变量x

定义在闭区间[a,b](线段)，此区间应是回路

的一部分。实积分要变为回路积分，则实函数必须解析延拓到复平面上包含回路的一个区域中,而实积分成为回路积分的一部分：留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分1.形如的积分,其中R(cosq,sinq)为cosq与sinq的有理函数.令z=eiq,则dz=ieiqdq,而1.形如其中f(z)是z的有理函数,且在单位圆周|z|=1上分母不为零,根据留数定理有其中zk(k=1,2,...,n)为单位圆|z|=1内的f(z)的孤立奇点.例1计算的值.[解]由于0<p<1,被积函数的分母在0

q2p内不为零,因而积分是有意义的.由于cos2q=(e2iq+e-2iq)/2=(z2+z-2)/2,因此其中f(z)是z的有理函数,且在单位圆周|z|=1上分母RWG基函数的介绍在被积函数的三个极点z=0,p,1/p中只有前两个在圆周|z|=1内,其中z=0为二级极点,z=p为一级极点.在被积函数的三个极点z=0,p,1/p中只不失一般性,设为一已约分式.R(z)在上半平面内的有n个极点为zk，k=1,2,...,n不失一般性,设为一已约分式.R(z)在上半平面内的有n个极RWG基函数的介绍取积分路线如图所示,其中CR是以原点为中心,R为半径的在上半平面的半圆周