2021版高中全程复习方略配套课件：指数函数(数学文人教A版湖南专用)

2024/4/12021版高中全程复习方略配套课件：指数函数（数学文人教A版湖南专用）2024/3/312021版高中全程复习方略配套课件：指数函1三年5考高考指数:★★1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点；4.知道指数函数是一类重要的函数模型.三年5考高考指数:★★21.指数幂的运算、指数函数的图象、单调性是高考考查的热点.2.常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题,考查分类讨论思想和数形结合思想.3.多以选择、填空题形式出现,但若以e为底的指数函数与导数交汇命题则以解答题形式出现.1.指数幂的运算、指数函数的图象、单调性是高考考查的热点.31.根式(1)根式的概念若______,则x叫做a的n次方根,其中n＞1且n∈N*.式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.xn=a1.根式xn=a4(2)根式的性质①a的n次方根的表示：②(n∈N*)③当n为奇数时,=___;当n为偶数时,=|a|=________.aa(2)根式的性质aa5【即时应用】(1)若x4=16,则x的值为________.(2)化简下列各式结果分别为：【即时应用】6【解析】(1)答案：±2(2)①-4②4③a-2④⑤⑥π-3【解析】(1)72.有理指数幂(1)分数指数幂的含义①正分数指数幂：(a＞0,m、n∈N*,且n＞1);②负分数指数幂：(a＞0,m、n∈N*,且n＞1).③0的正分数指数幂等于____,0的负分数指数幂__________.没有意义02.有理指数幂没有意义08(2)有理数指数幂的运算性质①ar·as=_______(a>0,r、s∈Q)；②(ar)s=_______(a>0,r、s∈Q)；③(ab)r=________(a>0,b>0,r∈Q).上述有理数指数幂的运算性质，对于无理数指数幂也适用.ar+sarsarbr(2)有理数指数幂的运算性质ar+sarsarbr9【即时应用】(1)判断下列根式与分数指数幂的互化是否正确(请在括号中填“√”或“×”)① ()②

()③ ()④ ()(2)化简得___________.(3)化简的结果是_________.【即时应用】10【解析】(2)==2x2|y|=-2x2y.(3)原式＝答案：(1)①×②×③√④×(2)-2x2y(3)a4【解析】(2)113.指数函数的概念：(1)解析式：____________________.(2)自变量：____.(3)定义域：____.y=ax(a＞0,且a≠1)xR3.指数函数的概念：y=ax(a＞0,且a≠1)xR12【即时应用】(1)判断下列函数是否为指数函数(在括号中填“是”或“否”)①y=3×2x;()②;

()③y=ax;()④y=(2a-1)x(a＞且a≠1).

()(2)若函数y=(a2-3a+3)·ax是指数函数,则实数a的值为_______.【即时应用】13【解析】(2)由已知解得：a=2.答案：(1)①否；②否；③否；④是.(2)2【解析】(2)由已知解得：a=2.144.指数函数的图象与性质a>1

0<a<1图象4.指数函数的图象与性质a>10<a<1图象15a>1

0<a<1定义域

________值域

________性质过定点________当x>0时，______;当x<0时,________

当x>0时，________;当x<0时,________在R上是________在R上是______y>10<y<10<y<1y>1增函数减函数R(0,1)(0,+∞)a>10<a<1定义域________值域______16【即时应用】(1)如图是指数函数①y=ax;②y=bx；③y=cx;④y=dx的图象,则a、b、c、d与1的大小关系是__________.【即时应用】17(2)函数f(x)=3-x-1的定义域、值域分别是_______.(3)设y1=40.9,y2=80.48,则y1,y2,y3的大小关系为__________.(4)函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大则a的值为________.(5)函数y=ax-2012+2012(a＞0,且a≠1)的图象恒过定点______.(2)函数f(x)=3-x-1的定义域、值域分别是_____18【解析】(1)在图中画出直线x=1,分别与①②③④交于A、B、C、D四点,是A(1,a),B(1,b),C(1,c),D(1,d),由图象可知c＞d＞1＞a＞b.【解析】(1)在图中画出直线x=1,分别与①②③④交于A、B19(2)定义域为R，∵故值域为(-1,+∞).(3)y1=40.9=21.8,y2=80.48=(23)0.48=21.44,y3=21.5,∵函数y=2x是增函数,又∵1.8＞1.5＞1.44,∴y1＞y3＞y2.(2)定义域为R，20(4)当0<a<1时，有解得：当a>1时，有解得：(5)∵y=ax(a＞0且a≠1)恒过定点(0,1),∴y=ax-2

012+2012恒过定点(2012,2013).答案：(1)b＜a＜1＜d＜c(2)R,(-1,+∞)(3)y1＞y3＞y2(4)(5)(2012,2013)(4)当0<a<1时，有解得：21幂的运算【方法点睛】幂的运算的一般规律及要求(1)分数指数幂与根式根据(a＞0,m,n∈N*,且n＞1)可以相互转化.幂的运算22(2)分数指数幂中的指数不能随便约分,例如要将写成等必须认真考查a的取值才能决定,如而无意义.(3)在进行幂的运算时,一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂,再利用幂的运算性质进行运算.(2)分数指数幂中的指数不能随便约分,例如要将写成23【例1】计算下列各式的值.(1)(2)【解题指南】先将根式化为分数指数幂,底数为小数的化成分数,负分数指数化为正分数指数；然后根据幂的运算性质进行计算.【例1】计算下列各式的值.24【规范解答】(1)原式＝(2)原式＝【规范解答】(1)原式＝25【反思·感悟】指数幂的一般运算步骤：有括号先算括号里的,无括号先做指数运算,先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数,底数是负数,先确定符号,底数是小数,先要化成分数,底数是带分数的,先化成假分数,若是根式,应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示,运用指数运算性质.【反思·感悟】指数幂的一般运算步骤：有括号先算括号里的,26【变式训练】计算下列各式的值：【变式训练】计算下列各式的值：27【解析】(1)【解析】(1)28指数函数图象的应用【方法点睛】(1)应用指数函数图象研究指数型函数的性质：对指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象,然后数形结合使问题得解.指数函数图象的应用29(2)利用图象解指数型方程、不等式：一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应指数型函数图象数形结合求解.【提醒】在利用指数函数图象解决上述问题时，图象形状、变化趋势及经过的特殊点要准确，否则数形结合时易产生失误.(2)利用图象解指数型方程、不等式：30【例2】已知f(x)=|2x-1|(1)求f(x)的单调区间.(2)比较f(x+1)与f(x)的大小.(3)试确定函数g(x)=f(x)-x2零点的个数.【解题指南】(1)作出f(x)的图象,数形结合求解.(2)在同一坐标系中分别作出f(x)、f(x+1)图象，数形结合求解.(3)在同一坐标系中分别作出函数f(x)与y=x2的图象,数形结合求解.【例2】已知f(x)=|2x-1|31【规范解答】(1)由f(x)=|2x-1|=可作出函数的图象如图.因此函数f(x)在(-∞,0)上递减；函数f(x)在(0,+∞)上递增.【规范解答】(1)由f(x)=|2x-1|=32(2)在同一坐标系中分别作出函数f(x)、f(x+1)的图象，如图所示.(2)在同一坐标系中分别作出函数f(x)、f(x+1)的图象33由图象知,当时,解得两图象相交,从图象可见,当x＜时,f(x)＞f(x+1)；当x=时,f(x)=f(x+1);当x＞时,f(x)＜f(x+1).由图象知,当时,解得34(3)将g(x)=f(x)-x2的零点转化为函数f(x)与y=x2图象的交点问题,在同一坐标系中分别作出函数f(x)=|2x-1|和y=x2的图象如图所示，有四个交点,故g(x)有四个零点.(3)将g(x)=f(x)-x2的零点转化为函数f(x)与y35【反思·感悟】求解指数型函数的单调性、最值、零点及指数型方程、不等式问题时能用数形结合的尽量用数形结合法求解,但要注意画出的函数图象的基本特征必须要准确,否则很容易失误,如本例(3).【反思·感悟】求解指数型函数的单调性、最值、零点及指数型方程36【变式训练】k为何值时,方程|3x-1|=k无解？有一解？有两解？【解析】函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图象如图所示.【变式训练】k为何值时,方程|3x-1|=k无解？有一解？有37当k＜0时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象无交点,即方程无解；当k=0或k≥1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有唯一的交点,所以方程有一解；当0＜k＜1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有两个不同交点,所以方程有两解.当k＜0时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象无交点,即38【变式备选】若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,a≠1)的图象有两个公共点，求实数a的取值范围.【解析】分底数0<a<1与a>1两种情况，分别在同一直角坐标系中作出两函数的图象，如图：【变式备选】若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,a39从图中可以看出，只有当0<a<1，且0<2a<1，即时，两函数才有两个交点.所以从图中可以看出，只有当0<a<1，且0<2a<1，40指数函数性质的应用【方法点睛】利用指数函数的性质可求解的问题及方法(1)应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小.(2)与指数函数有关的指数型函数定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法,与前面所讲一般函数的求解这些问题的方法一致,只需根据条件灵活选择即可.指数函数性质的应用41【例3】(1)函数的定义域是_________.(2)函数的单调递减区间为___________,值域为___________.(3)(2012·金华模拟)已知函数①求f(x)的定义域和值域；②讨论f(x)的奇偶性；③讨论f(x)的单调性.【例3】(1)函数的定义域是___42【解题指南】根据待求的指数型函数的结构特征,选择恰当的求函数定义域、值域(最值)、单调区间、奇偶性的方法求解.【规范解答】(1)由题意知∴32x-1≥3-3,∴2x-1≥-3,∴x≥-1,即定义域是[-1,+∞).答案：[-1,+∞)【解题指南】根据待求的指数型函数的结构特征,选择恰当的43(2)令g(x)=-x2-4x+3=-(x+2)2+7,由于g(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,而在R上为单调递减,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减.又g(x)=-(x+2)2+7≤7,∴f(x)≥()7=3-7.答案：(-∞,-2)[3-7,+∞)(2)令g(x)=-x2-4x+3=-(x+2)2+7,由于44(3)①f(x)的定义域是R,令得∵ax＞0,∴,解得-1＜y＜1,∴f(x)的值域为{y|-1＜y＜1}.②∵∴f(x)是奇函数.(3)①f(x)的定义域是R,45③设x1,x2是R上任意两个实数,且x1＜x2,则f(x1)-f(x2)=∵x1＜x2,∴当a＞1时,从而∴f(x1)-f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2),f(x)为R上的增函数.③46当0＜a＜1时,从而∴f(x1)-f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2),f(x)为R上的减函数.当0＜a＜1时,47【互动探究】若将本例(2)中函数f(x)变为且其最大值为3,求a的值.【解析】令由于f(x)有最大值3,为R上的减函数,所以h(x)应有最小值-1,因此必有解得a=1,即当f(x)有最大值3时,解得a=1.【互动探究】若将本例(2)中函数f(x)变为48【反思·感悟】在求解与指数函数有关的函数的性质问题时,要根据解析式的结构特征,选择适当的方法求解,但对复合函数一定要注意其定义域.【反思·感悟】在求解与指数函数有关的函数的性质问题时,要根据49【变式备选】已知函数(1)若f(x)=2,求x的值；(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈［1,2］恒成立，求实数m的取值范围.【变式备选】已知函数50【解析】(1)当x＜0时，f(x)=0;当x≥0时，由条件可知，即解得∵2x＞0,∴【解析】(1)当x＜0时，f(x)=0;51(2)当t∈［1,2］时，即m(22t-1)≥-(24t-1).∵22t-1＞0,∴m≥-(22t+1).∵t∈［1,2］,∴-(1+22t)∈［-17,-5］,故m的取值范围是［-5,+∞).(2)当t∈［1,2］时，52【易错误区】指数函数图象、性质的应用误区【典例】(2012·广州模拟)已知函数(a,b是常数且a＞0,a≠1)在区间[,0]上有ymax=3,ymin=,试求a、b的值.【易错误区】指数函数图象、性质的应用误区53【解题指南】先确定t=x2+2x在[,0]上的值域,再分a＞1,0＜a＜1两种情况讨论,构建a、b的方程组求解.【规范解答】∵x∈[,0],∴t=x2+2x=(x+1)2-1,值域为[-1,0],即t∈[-1,0].(1)若a＞1,函数y=at在［-1，0］上为增函数,∴at∈[,1],则依题意得解得【解题指南】先确定t=x2+2x在[,0]上的值域,54(2)若0＜a＜1,函数y=at在［-1，0］上为减函数,∴at∈[1,],则依题意得解得综上,所求a,b的值为或(2)若0＜a＜1,函数y=at在［-1，0］上为减函数,55【阅卷人点拨】通过对试题及阅卷数据分析,我们可以得到以下误区警示和备考建议.误区警示在解答本题时,有两大误区(1)误将x的范围当成x2+2x的范围,从而造成失误.(2)误认为a＞1,只按第(1)种情况求解,而忽略了0＜a＜1的情况,从而造成失误.【阅卷人点拨】通过对试题及阅卷数据分析,我们可以得误在解答本56备考建议利用指数函数的图象、性质解决有关问题时,还有以下几个误区,在备考中要高度关注：(1)忽视函数的定义域而失误；(2)未能将讨论的结果进行整合而失误；(3)利用幂的运算性质化简指数式时失误；(4)在用换元法时忽视中间元的范围而失误.备利用指数函数的图象、性质解决有关问题时,还有以下几个误区,571.(2011·山东高考)若点(a,9)在函数y=3x的图象上,则的值为()(A)0 (B)(C)1 (D)【解析】选D.因为点(a,9)在函数y=3x的图象上,所以3a=9,a=2,所以1.(2011·山东高考)若点(a,9)在函数y=3x的图象582.(2011·辽宁高考)