矩阵、行列式和线性变换专项测试卷及答案解析

矩阵、行列式和线性变换专项测试卷及答案解析第一部分:选择题1.下列矩阵中，满足可逆条件的是（）A.$\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}$B.$\begin{bmatrix}2&4\\1&3\end{bmatrix}$C.$\begin{bmatrix}1&2\\3&5\end{bmatrix}$D.$\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$答案:B2.行列式$D=\begin{vmatrix}2&3\\4&5\end{vmatrix}$的值是（）A.2B.3C.4D.5答案:-23.设矩阵$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，矩阵$B=\begin{bmatrix}-1&0\\2&1\end{bmatrix}$，则$AB$的值为（）A.$\begin{bmatrix}-1&2\\2&7\end{bmatrix}$B.$\begin{bmatrix}3&4\\5&6\end{bmatrix}$C.$\begin{bmatrix}-1&2\\5&6\end{bmatrix}$D.$\begin{bmatrix}1&2\\6&8\end{bmatrix}$答案:C第二部分:解答题1.求矩阵$A=\begin{bmatrix}2&1\\-3&4\end{bmatrix}$的逆矩阵$A^{-1}$.解析:首先我们计算矩阵$A$的行列式$D=\begin{vmatrix}2&1\\-3&4\end{vmatrix}$:$D=(2\times4)-(1\times-3)=11$然后计算矩阵$A$的伴随矩阵$A^*$:$A^*=\begin{bmatrix}4&-1\\3&2\end{bmatrix}$最后计算逆矩阵$A^{-1}$:$A^{-1}=\frac{1}{D}\timesA^*=\frac{1}{11}\times\begin{bmatrix}4&-1\\3&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\\\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\end{bmatrix}$答案:$\begin{bmatrix}\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\\\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\end{bmatrix}$2.已知二维向量$\mathbf{v}=\begin{bmatrix}3\\-1\end{bmatrix}$，进行线性变换$\mathbf{T}$后得到的向量$\mathbf{Tv}$为$\begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix}$，求线性变换矩阵$\mathbf{T}$.解析:设线性变换矩阵为$\mathbf{T}=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$，则有$\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix}$.由此可得以下方程组：$3a-b=-1$$3c-d=3$解方程组得到$a=2$，$b=7$，$c=1$，$d=9$，所以线性变换矩阵$\mathbf{T}=\begin{b