(金华地区)2017中考数学第二轮专题突破能力提升专题集训4新定义问题试题

专题集训4新定义问题一、选择题1．如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换．已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是y＝x2＋1，则原抛物线的解析式不可能的是(B)A．y＝x2－1B．y＝x2＋6x＋5C．y＝x2＋4x＋4D．y＝x2＋8x＋17【解析】将y＝x2＋1反向平移推理两次后，将方程配方成y＝(x＋a)2＋b的形式，而b只可能为1或0或－1.A，C，D均满足，而B变形后为y＝(x＋3)2－4，不符合．2．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}＝b；当a＜b时min{a，b}＝a.如：min{1，－3}＝－3，min{－4，－2}＝－4.则min{－x2＋1，－x}的最大值是(A)A.eq\f(\r(5)－1,2)B.eq\f(\r(5)＋1,2)C．1D．03．对平面上任意一点(a，b)，定义f，g两种变换：f(a，b)＝(a，－b)．如f(1，2)＝(1，－2)；g(a，b)＝(b，a)．如g(1，2)＝(2，1)．据此得g(f(5，－9))＝(D)A．(5，－9)B．(－9，－5)C．(5，9)D．(9，5)二、填空题4．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为__30°__．5．如图，已知抛物线C1：y＝a1x2＋b1x＋c1和C2：y＝a2x2＋b2x＋c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一个交点分别为M，N.如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形．你所写的一对抛物线解析式是__y＝－eq\r(3)x2＋2eq\r(3)x__和__y＝eq\r(3)x2＋2eq\r(3)x__.【解析】(答案不唯一，只要符合条件即可)．经分析知对于任何C1，沿x轴翻折后，再向左平移即可得到C2，要使AMBN成矩形，保证AO＝MO即可．而对于抛物线，AM＝AO又是成立的．即△AOM为正三角形，不妨取M(2，0)，A(1，eq\r(3))，易得C1：y＝－eq\r(3)x2＋2eq\r(3)x，同理C1经平移翻折后得C2，y＝eq\r(3)x2＋2eq\r(3)x.三、解答题6．对于平面直角坐标系中任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，称|x1－x2|＋|y1－y2|为P1，P2两点的直角距离，记作：d(P1，P2)．若P0(x0，y0)是一定点，Q(x，y)是直线y＝kx＋b上的一动点，称d(P0，Q)的最小值为P0到直线y＝kx＋b的直角距离．令P0(2，－3)，O为坐标原点．(1)求d(O，P0)；(2)若P(a，－3)到直线y＝x＋1的直角距离为6，求a.解：(1)∵P0(2，－3)，O为坐标原点，∴d(O，P0)＝|0－2|＋|0－(－3)|＝5(2)∵P(a，－3)到直线y＝x＋1的直角距离为6，∴设直线y＝x＋1上一点Q(x，x＋1)，则d(P，Q)＝6，∴|a－x|＋|－3－x－1|＝6，即|a－x|＋|x＋4|＝6，当a－x≥0，x≥－4时，原式＝a－x＋x＋4＝6，解得a＝2；当a－x＜0，x＜－4时，原式＝x－a－x－4＝6，解得a＝－10.综上所述，a＝2或－107．若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C1：y1＝－2x2＋4x＋2与C2：y2＝－x2＋mx＋n为“友好抛物线”．(1)求抛物线C2的解析式；(2)点A是抛物线C2上在第一象限的动点，过A作AQ⊥x轴，Q为垂足，求AQ＋OQ的最大值．(3)设抛物线C2的顶点为C，点B的坐标为(－1，4)，问在C2的对称轴上是否存在点M，使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C2上？若存在求出点M的坐标，不存在说明理由．解：(1)∵y1＝－2x2＋4x＋2＝－2(x－1)2＋4，∴抛物线C1的顶点坐标为(1，4)．∵抛物线C1与C2顶点相同，∴eq\f(－m,－1×2)＝1，－1＋m＋n＝4，解得m＝2，n＝3，∴抛物线C2的解析式为y2＝－x2＋2x＋3(2)如图1，设点A的坐标为(a，－a2＋2a＋3)．∵AQ＝－a2＋2a＋3，OQ＝a，∴AQ＋OQ＝－a2＋2a＋3＋a＝－a2＋3a＋3＝－(a－eq\f(3,2))2＋eq\f(21,4).∴当a＝eq\f(3,2)时，AQ＋OQ有最大值，最大值为eq\f(21,4)(3)如图2，连结BC，过点B′作B′D⊥CM，垂足为D.∵B(－1，4)，C(1，4)，抛物线的对称轴为x＝1，∴BC⊥CM，BC＝2.∵∠BMB′＝90°，∴∠BMC＋∠B′MD＝90°.∵B′D⊥MC，∴∠MB′D＋∠B′MD＝90°.∴∠MB′D＝∠BMC.在△BCM和△MDB′中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠MB′D＝∠BMC，,∠BCM＝∠MDB′，,BM＝MB′，))∴△BCM≌△MDB′.∴BC＝MD，CM＝B′D.设点M的坐标为(1，a)．则B′D＝CM＝4－a，MD＝CB＝2.∴点B′的坐标为(a－3，a－2)