人教数学九年级上册第二十四章垂直于弦的直径

2024/4/2人教数学九年级上册第二十四章垂直于弦的直径2024/4/1人教数学九年级上册第二十四章垂直于弦的直径1问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代修建的石拱桥,它形式优美，结构坚固，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥桥拱的半径吗？OABr37.4m7.2m问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代修建的石拱2实践探究请同学们拿出准备好的圆形纸片，并将这个圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？活动一圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．实践探究请同学们拿出准备好的圆形纸片，并将这3理由：在△OAA1中，∵OA=OA1,AA1⊥CD，∴AE=A1E.即CD是AA1的对称轴，这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A1,因此⊙O关于直线CD对称.圆是轴对称图形证明过程：理由：在△OAA1中，∵OA=OA1,AA1⊥CD，∴AE=4

将圆形纸片沿直径CD对折，在弧上找一组对称点A与B，连结AB，

请同学们找出图中有哪些相等的线段和弧？为什么？

实践探究活动二CD⊥AB于ECD与AB有什么样的位置关系？将圆形纸片沿直径CD对折，在弧上找一组对称点A与B，连5垂径定理:垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.即如果CD过圆心，且CD⊥弦AB,那么AE=EB，

题设结论（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧｛｝·OAE叠合法BCD垂径定理:⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=B6下列图形是否具备垂径定理的条件？是不是火眼金睛不是OEDCAB注意：定理中的两个条件（过圆心，垂直于弦）缺一不可！DOABcCOAB下列图形是否具备垂径定理的条件？是不是火眼金睛不是OEDCA7垂径定理常见的几个基本图形ECOABECOABDECOAB过圆心线段是直径过圆心线段是圆心到弦的垂线段过圆心线段是弧中点到弦的垂线段两个条件:过圆心，垂直于弦过圆心线段是半径垂径定理常见的几个基本图形ECOABECOABDECOAB过8CD⊥AB,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.OAEBDCAB与CD位置关系式是：等量关系有：实践探究如果把图中的“直径CD⊥AB”改为“直径CD平分AB”，即AE=BE那么CD还垂直AB吗？另两个结论还成立吗？请说出理由.活动三CD⊥AB,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD9弦AB过圆心（AB是直径）

CODABCD垂直ABCODABCD不垂直AB弦AB过圆心（AB是直径）10（垂径定理推论）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.可推得

垂直于弦

④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧条件结论COABD

过圆心

平分弦(弦不是直径）（垂径定理推论）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,11解决求赵州桥主桥拱半径的问题问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥桥拱的半径吗？OABr转化数学问题37.4米7.2米解决求赵州桥主桥拱半径的问题问题：你知道赵州桥吗?它是1312它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥桥拱的半径吗？BOAR7.2m利用垂径定理作拱高CD它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,13它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥桥拱的半径吗？BOARCD18.7米R-7.2R2=OD2+(R-7.2)2利用勾股定理构建方程它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,14解决求赵州桥主桥拱半径的问题BODACR解：AB=37.4，CD=7.2，OD=OC－CD=R－7.2在图中在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2即R2=18.72+（R－7.2）2解得：R≈27．9（m）∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.如图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点D，根据前面的结论，D是弦AB的中点，C是的中点，CD就是拱高。

⌒AB⌒AB⌒AB18.7R-7.2解决求赵州桥主桥拱半径的问题BODACR解：AB=37.4，15方法总结应用垂径定理时常用到哪几个量？

它们用怎样的关系？O弦长a、圆半径r、圆心到弦的距离d，ard方法总结应用垂径定理时常用到哪几个量？O弦长a、圆半径r、a16【变式训练，巩固新知】1.如图1，⊙O的弦AB=6，H为AB的中点，OH=3,则∠OAB=

度。2.如图2，在半径为10cm的⊙O中，OH⊥AB，若OH=6cm，则弦AB长是

．HOAB图1HO┐AB图24516【变式训练，巩固新知】2.如图2，在半径为10cm的⊙O中173.如图3，一条公路的转弯处事一段圆弧（图中的），点O是这段弧的圆心，B是上一点，且OB⊥AC,垂足为D，AC=300m,BD=50m,则这段弯路的半径是

m。ODBAC图3250解：设半径为R∵BD=50m∴OD=R-50(m)在