大学数学(高数微积分)21Laplace变换课件(课堂讲义)

ssss2.1Laplace变换ssss2.1Laplace变换1本节内容一、问题的提出二、Laplace变换的概念三、Laplace变换的存在定理四、周期函数的Laplace变换五、小结本节内容一、问题的提出二、Laplace变换的概念三、Lap2

拉普拉（P.S.Laplace，1749-1827），法国著名的天文学家和数学家，天体力学的集大成者.拉普拉斯和拉格朗日、勒让德.法国的3L:拉普拉（P.S.Laplace，1749-1827），法3一、问题的提出

对于一个函数j(t),有可能因为不满足Fourier变换的条件,因而不存在Fourier变换.

因此,首先将j(t)乘上单位阶跃函数u(t),

这样t小于零的部分的函数值就都等于零.而大家知道在各种函数中,指数函数

e-bt(b>0)的上升速度是最快的了,因而

e-bt下降的速度也是最快的.

几乎所有的实用函数j(t)乘上u(t)再乘上e-bt后得到的j(t)u(t)e-bt的Fourier变换都存在.一、问题的提出对于一个函数j(t),有可能4二、Laplace变换的概念对函数

取Fourier变换,可得其中若再设则得二、Laplace变换的概念对函数定义:设函数当

时有定义,而且积分

在s的某一域内收敛,则由此积分所确定的函数可写为(s为一个复参量)函数的Laplace变换式二、Laplace变换的概念定义:设函数当时有定义,而且积分在s的记作:的Laplace变换.若是的Laplace变换,则称为的Laplace逆变换.记作:称为二、Laplace变换的概念记作:的Laplace变换.若是的Lapl例1解求单位阶跃函数的Laplace变换.根据Laplace变换的定义,有这个积分在时收敛,而且有例1解求单位阶跃函数的Laplace变换.根据Laplace8例2解求指数函数的Laplace变换(k为实数).根据,有这个积分在

时收敛,而且有例2解求指数函数的Laplace变换(k为实数).根据9例2试求指数函数

的Laplace变换.练习:(k为实数)例2试求指数函数的Laplace变换.练习:(k为实数)10三、Laplace变换的存在定理Laplace变换的存在定理:若函数f(t)满足:1)在t0的任一有限区间上分段连续;2)当t

时,

的增长速度不超过某一指数函数,即存在常数

及

,使得成立.三、Laplace变换的存在定理Laplace变换的存在定理11在半平面上一定存在,右端的积分在

上绝对收敛而且一致收敛,并且在的半平面内,

为解析函数.则的Laplace变换三、Laplace变换的存在定理在半平面上一定存在,右端的积分在则的例3解求正弦函数的Laplace变换.(k为实数)根据,有例3解求正弦函数的Laplace变换.(k为实数)根据13同理得余弦函数的Laplace变换例3同理得余弦函数的Laplace变换例314例4求周期性三角波且f(t+2b)=f(t)的Laplace变换.例4求周期性三角波且f(t+2b)=f(t)的Lapla15解根据,有例4解根据16

则

而例4则而例417

因此例4因此例418

当

时

从而例4当时从而例419例6解根据,求单位脉冲函数的Laplace变换.利用性质:有例6解根据20四、周期函数的Laplace变换

设函数的周期为,即,当在一个周期上是分段连续的,则周期函数的Laplace变换公式四、周期函数的Laplace变换设函数21注意:

满足Laplace变换存在定理条件的函数

在

处有界时,积分的下限取或不会影响其结果.证明:函数

在

处有界时,积分注意:满足Laplace变换存在定理条件的22为零故注意:为零故注意:23

但当在处包含脉冲函数时,Laplace变换的积分下限必须明确指出是还是,因为注意:但当在处包24故

考虑上述情况.将进行Laplace变换的函数

,当

时有定义扩大为在及的任意一个邻域内有定义.因此应为注意:故考虑上述情况.将进行Laplace变换的函数25例6解求函数的Laplace变换.

根据,有例6解求函数的Laplace变换.根据26例6例627例7解一根据附录,得到求的Laplace变换.例7解一根据附录,得到求28解二根据定义,由欧拉公式有从而得例7解二根据定义,由欧拉公式有从而得例729例8解在附录中没有现成的结果,但是求的Laplace变换.例8解在附录中没有现成的结果,但是求