线性回归方程

关于线性回归方程

有些教师常说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间也存在着某种关系。你如何认识它们之间存在的关系？物理成绩

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其他因素这两个变量之间有不确定的关系结论：变量之间除了函数关系外，还有。相关关系问题引入：第2页,共30页，2024年2月25日，星期天

函数关系---变量之间是一种确定性的关系.如:圆的面积S和半径r之间的关系.

相关关系—变量之间有一定的联系,但不能完全的用函数来表达.一般来说,身高越高,体重越重,但不能用一个函数来严格地表示身高与体重之间的关系.(非确定性关系)变量之间的关系第3页,共30页，2024年2月25日，星期天函数关系是一种确定的关系；相关关系与函数关系的异同点：均是指两个变量的关系．问题：举一两个现实生活中的问题，问题所涉及的变量之间存在一定的相关关系。（1）父母的身高与子女身高之间的关系（2）商品销售收入与广告支出经费之间的关系（3）粮食产量与施肥量之间的关系例：相关关系是一种非确定关系.相同点：不同点：第4页,共30页，2024年2月25日，星期天问题：

某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：气温/0C261813104-1杯数202434385064如果某天的气温是-50C，你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗?第5页,共30页，2024年2月25日，星期天

为了了解热茶销量与气温的大致关系,我们以横坐标x表示气温，纵坐标y表示热茶销量，建立直角坐标系.将表中数据构成的6个数对表示的点在坐标系内标出，得到下图。今后我们称这样的图为散点图(scatterplot).第6页,共30页，2024年2月25日，星期天

选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系?

我们有多种思考方案:(1)选择能反映直线变化的两个点,例如取（2）取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同；（3）多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值,作为所求直线的斜率、截距；

………………

怎样的直线最好呢?这两点的直线；第7页,共30页，2024年2月25日，星期天建构数学

1.最小二乘法：用方程为的点，应使得该直线与散点图中的点最接近那么，怎样衡量直线与图中六个点的接近程度呢？

的直线拟合散点图中我们将表中给出的自变量代入直线方程,得到相应的六个值：的六个值

它们与表中相应的实际值应该越接近越好.

第8页,共30页，2024年2月25日，星期天所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和

第9页,共30页，2024年2月25日，星期天与图中六个点的接近程度,所以,设法取达到最小值.的值,使这种方法叫做最小平方法(又称最小二乘法).

是直线在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平方和,可以用来衡量直线与各散点第10页,共30页，2024年2月25日，星期天第11页,共30页，2024年2月25日，星期天第12页,共30页，2024年2月25日，星期天第13页,共30页，2024年2月25日，星期天线性相关关系：像这样能用直线方程近似表示的相关关系叫做线性相关关系.

如果散点图中的点分布从整体上看大致在一条直线附近我们就称这两个变量之间具有线性相关关系第14页,共30页，2024年2月25日，星期天线性回归方程：一般地,设有n个观察数据如下：……当a,b使取得最小值时,就称这n对数据的线性回归方程,该方程所表示的直线称为回归直线.为拟合第15页,共30页，2024年2月25日，星期天第16页,共30页，2024年2月25日，星期天

类似地，我们可以推得，求回归方程中系数a,b的一般公式:

以上公式的推导较复杂，故不作推导，但它的原理较为简单：即各点到该直线的距离的平方和最小，这一方法叫最小二乘法。第17页,共30页，2024年2月25日，星期天求解线性回归问题的步骤:1.列表()，画散点图.2.计算:3.代入公式求a,b4.列出直线方程第18页,共30页，2024年2月25日，星期天例题1：下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动车辆数与交通事故数之间是否具有线性相关关系，求出线性回归方程;如果不具有线性相关关系,说明理由．第19页,共30页，2024年2月25日，星期天解：在直角坐标系中画出数据的散点图，直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系．第20页,共30页，2024年2月25日，星期天第21页,共30页，2024年2月25日，星期天第22页,共30页，2024年2月25日，星期天P75练习2第23页,共30页，2024年2月25日，星期天回归分析的基本步骤:画散点图求回归方程预报、决策第24页,共30页，2024年2月25日，星期天问题：有时散点图的各点并不集中在一条直线的附近，仍然可以按照求回归直线方程的步骤求回归直线，显然这样的回归直线没有实际意义。在怎样的情况下求得的回归直线方程才有实际意义？即建立的线性回归模型是否合理？如何对一组数据之间的线性相关程度作出定量分析？第25页,共30页，2024年2月25日，星期天相关系数1.计算公式2．相关系数的性质(1)|r|≤1．(2)|r|越接近于1，相关程度越强；|r|越接近于0，相关程度越弱．超级链接第26页,共30页，2024年2月25日，星期天散点图只是形象地描述点的分布情况，要想把握其特征，必须进行定量的研究．第27页,共30页，2024年2月25日，星期天相关关系与函数关系有怎样的不同？函数关系中的两个变量间是一种确定性关系相关关系是一种非确定性关系

函数关系是一种理想的关系模型相关关系在现实生活中大量存在，是更一般的情况小结：1.变量之间的两种关系：确定性关系与相