整式的乘除-幂的运算

第5章整式的乘除5.1同底数幂的乘法教学目标：熟练掌握同底数幂相乘的运算法那么，并能运用法那么进行计算教学重点：同底数幂运算法那么的探索过程教学难点：运用法那么准确地进行计算教学过程：一、复习相关知识什么是乘方？什么是幂？指出an的意义？二、问题情境一种电子计算机每秒可作108次运算，它工作106秒，一共可作多少次运算？三、探索新知启发学生揭示规律：同底数幂相乘，底数不变，指数相加(m,n为正整数)四、知识稳固例1、计算例2、下面计算是否正确，如有错误，请改正〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕例3、计算〔1〕〔2〕提高练习：1、计算：〔1〕〔2〕2、如果，求〔1〕〔2〕〔3〕3、如果，m+2n=8,求m和n的值五、作业：作业本教学反思：5.2幂的乘方教学目标：熟练掌握幂的乘方的运算法那么，并能运用法那么进行计算教学重点：幂的乘方法那么的探索过程教学难点：运用法那么准确地进行计算教学过程：一、复习同底数幂的乘法法那么二、根据乘方的意义及同底数幂的乘法法那么探索规律揭示规律：幂的乘方，底数不变，指数相乘〔m,n为正整数〕三、知识稳固例1、计算(1)(2)(3)(4)例2、以下计算是否正确，并简要说明理由(1)(2)(3)(4)(5)(6)例3、计算〔1〕〔2〕四、提高练习：1、计算：〔1〕〔2〕〔3〕2、m为奇数时，与的关系是3、，试用a的代数式表示4、如,求(1);(2)5、n为正整数时，求的值五、作业：作业本教学反思5.3积的乘方教学目标：1、使学生理解并掌握积的乘方法那么2、使学生明确积的乘方是通过乘方的意义和乘法交换律及同底数幂的乘法法那么推导而得3、让学生通过类比，对三个幂的运算法那么进行区别教学重点：积的乘方法那么的理解和应用教学难点：对积的乘方法那么的推导过程和理解教学过程：一、创设问题情境启发学生得出规律：积的乘方等于各因数乘方的积(n为正整数)二、知识应用例1、计算〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕例2、以下计算是否正确，说明理由〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕变式练习方法一：方法二：拓展探究：计算归纳结论：三个或三个以上的积的乘方等于各因数乘方的积三、练习稳固１、计算：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕2、计算〔1〕〔2〕四、探索思考，求的值，求的值五、作业：作业本教学反思：5.4同底数幂的除法教学目标：1、掌握同底数幂的除法运算性质、法那么2、熟练、准确地进行计算教学重点：准确、熟练地运用法那么进行计算教学难点：根据乘、除互逆的运算关系得出法那么教学过程：一．创设情境，复习导入〔1〕表达同底数幂的乘法性质．〔2〕计算：①

②

③．〔m，n都是正整数〕二．提出问题，引出新知，揭示规律启发学生揭示规律：一般地，这就是说，同底数幂相除，底数不变，指数相减.三．尝试反应，理解新知例1

计算：〔1〕

〔2〕例2

计算：〔1〕

〔2〕四．反应练习，稳固知识练习一〔1〕填空：①②③④〔2〕计算：①②③④练习二下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕五、作业：作业本教学反思：5.5零指数幂与负整指数幂教学内容：零指数幂与负整指数幂教学目标：探索零指数幂、负整指数幂的意义，会运用其意义进行有关的计算。教学重点：对提出零指数幂、负整数指数幂的新的结果的探究过程。教学难点：探究过程的体会，继承旧知识，得出新结果。教学准备：教学过程：一、问题1在§am÷an=am-n时，有一个附加条件：m＞n，即被除数的指数大于除数的指数.当被除数的指数不大于除数的指数，即m=n或m＜n时，情况怎样呢？二、探索与概括1、先考察被除数的指数等于除数的指数的情况.例如考察以下算式：52÷52，103÷103，a5÷a5(a≠0).一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得52÷52＝52-2＝50，103÷103＝103-3＝100，a5÷a5＝a5-5＝a0(a≠0).另一方面，由于这几个式子的被除式等于除式，由除法的意义可知，所得的商都等于1.由此启发，我们规定：50=1，100=1，a0=1〔a≠0〕.这就是说：任何不等于零的数的零次幂都等于1.2、我们再来考察被除数的指数小于除数的指数的情况，例如考察以下算式：52÷55，103÷107，一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得52÷55＝52-5＝5-3，103÷107＝103-7＝10-4.另一方面，我们可利用约分，直接算出这两个式子的结果为52÷55＝＝＝，103÷107＝＝＝.由此启发，我们规定：5-3＝，10-4＝.一般地，我们规定：(a≠0，n是正整数)这就是说，任何不等于零的数的－n〔n为正整数〕次幂，等于这个数的n

次幂的倒数.三、讲例1计算：〔1〕810÷810；〔2〕10-2；〔3〕解〔1〕810÷810＝810-10＝80＝1.〔2〕10-2＝＝.〔3〕＝1×＝.例2用小数表示以下各数：〔1〕10-4×10-5.解〔1〕10-4＝＝0.0001.×10-5××0.00001＝0.000021.四、探索现在，我们已经引进了零指数幂和负整数幂，指数的范围已经扩大到了全体整数.那么，在§“幂的运算”中所学的幂的性质是否还成立呢？与同学们讨论并交流一下，判断以下式子是否成立.〔1〕；〔2〕(a·b)-3=a-3b-3；〔3〕(a-3)2=a(-3)×2五、布置作业：见作业本。课后反思：5.6科学记数法教学内容：科学记数法教学目标：分清绝对值大于１及绝对值小于１的数的科学记数法。教学重点：探究分清绝对值大于１及绝对值小于１的数的科学记数法的异同点，以及处理方法。教学难点：科学记数法中的指数与小数点后面零的个数的关系。教学准备：教学过程：一、引入在§2.12中，我们曾用科学记数法表示一些绝对值较大的数，即利用10的正整数次幂，把一个绝对值大于10的数表示成

a×10n的形式，其中n是正整数，1≤∣a∣×105.类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，1≤∣a∣×10-5.二、讲问题一个纳米粒子的直径是35纳米，它等于多少米？请用科学记数法表示.〔分析〕在七年级上册第66页的阅读材料中，我们知道：1纳米＝＝10-9可知，1纳米＝10-9米.所以35纳米＝35×10-9米.而35×10-9×10〕×10-9＝35×101＋〔－9〕×10-8，×10-8米.三、练习计算：〔1〕〔-0.1〕0；〔2〕；〔3〕2-2；〔4〕.用科学记数法填空：〔1〕1秒是1微秒的1000000倍，那么1微秒＝_________秒；〔2〕1毫克＝_________千克；〔3〕1微米＝_________米；〔4〕1纳米＝_________微米；〔5〕1平方厘米＝_________平方米；3．用科学记数法表示：〔1〕0.00003；〔2〕-0.0000064；〔3〕0.0000314；〔4〕2013000.计算以下各式，并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式：〔1〕(a-3)2(ab2)-3；〔2〕(2mn2)-2(m-2n-1)-3.计算：〔1〕510÷254；〔2〕〔-117〕0；〔3〕4-2；〔4〕.计算以下各式，并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式：〔1〕(x-3yz-2)2；〔2〕(a3b-1)-2(a-2b2)2；〔3〕(2m2n-3)3(-mn-2)-2.空气的单位体积质量是0.001239克/厘米3，试用科学记数法表示.〔单位仍用克/厘米3〕四、布置作业：见作业本。课后反思：幂运算练习课填空：〔1〕德国著名物理学家普朗克发现：能量子＝h×h被称为普朗克常数，约为0.000000000000000000000000000000000663焦·秒，用科学记数可简洁地记为__________焦·秒；(2)一种细菌的半径是4×10-5米，用小数表示为__________米.计算：〔1〕-1；〔3〕5-2；〔4〕〔-0.1〕-2；〔5〕a5÷a3；〔6〕27x8÷3x4；〔7〕-12x3y3÷4x2y3；〔8〕(6x2y3z2)2÷4x3y4；把以下各数用科学记数法表示：〔1〕100000；〔2〕0.00001；〔3〕-112000；〔4〕-0.000112.4.学生作业：课本习题。教学反思5.7单项式与单项式相乘教学目标：１、探索并了解单项式与单项式相乘的法那么，会进行简单的单项式相乘的计算2、让学生主动参与，逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养初步解决问题的愿望和能力教学重点和难点：对单项式相乘的法那么的理解与应用教学过程：一、复习：幂的三种运算以及单项式的次数、系数等有关知识练习：〔1〕以下式子-x,2x2,3x-1,xy2,,3,,-2x2y3：其中是单项式的是；〔2〕xy2的系数是，次数是二、讲授新课问题情境:一个长方形的底面积为5x2，高为2x，求这个长方形的体积..明确这里利用了乘法的交换律、结合律以及同底数幂的运算性质继续探索:①3x2y(-2xy3)②(-5a2b3)(-4b2c)由学生总结归纳出单项式相乘的三个要点：〔1〕系数相乘〔2〕同底数幂相乘〔3〕单独在一个项里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式单项式与单项式相乘的法那么：单项式相乘，把它的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，那么连同它的指数一起作为积的一个因式例1：①(-a2b)(-2ab2c)3ab2②2y)(xy)(-2xy3)③④三、练习稳固:①-6a3bc7a2b3c②③④四、知识应用：×103米/秒，那么卫星运行3×10〔2〕在现代科学技术中，纳米是一种长度单位，1纳米约等于十亿分之一米〔即1米=纳米〕，求米等于多少纳米？五、探索与思考：1、如果2x+5y-3=0，求的值2、计算的值六、作业：作业本教学反思：5.8单项式与多项式相乘教学目标：１、使学生探索并了解单项式与多项式相乘的法那么，会运用法那么进行简单计算２、使学生进一步理解数学中转化的思想方法，即把单项式与多项式相乘转化为单项式与单项式相乘３、逐步形成独立思考、主动探索的习惯。教学重点：单项式与多项式相乘的法那么及其运用教学难点：灵活应用单项式与多项式相乘的运算法那么，并综合运用已学的运算性质，做到正确运算教学过程：一、知识回忆１、单项式与单项式相乘的法那么2、计算:①(-9a2b3)(8ab2)②(-2x2y3)2(3xy2)二、情景问题2ca2cab①s=b(a-2c)②s=ba-b2c结论：b(a-2c)=ba-b2c乘法分配律：m(a+b+c)=ma+mb+mc三、新课例1、计算:①2a2(3a2-5b)②-2a2(3ab2-5ab3)概括：〔1〕单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多项式的各项，再将所得的积相加(2)依据：根据乘法分配律(3)重要思想：把单项式与多项式相乘，转化为单项式与单项式相乘练习：书本P78第1、2题例2、计算:例3、先化简，再求值-a(a2-2ab-b2)-b(ab+2a2-b2)，其中a=2,b=-四、练习稳固：1、计算:①(x2+x-1)(-12x2)②(2xy)(-3x)+(-3x)(4xy-x)③(a22)(a2b2)④(-2x3)2-6x3[x3-x(3x2-1)]2、假设|a-b+3|+(2a+b)2=0，化简2a3b(2ab+1)-a2(-2ab)2，并求它的值五、作业：作业本教学反思：5.9多项式与多项式相乘教学目标：１、探索并了解多项式与多项式相乘的法那么，并能利用法那么进行简单的乘法运算２、逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养初步解决问题的愿望和能力３、通过一些生活实例的学习，让学生从中体会数学的应用价值，体验用所学的数学知识解决实际问题带来的学习乐趣，进而培养学生的学习兴趣教学重点：学生对知识形成的探索过程，对法那么的理解及其运用教学难点：多项式与多项式相乘时，积的各项符号确定教学过程：一．问题引入１、情景问题：某地区在退耕还林期间，把一块长m米、宽a米的长方形林区增长了n米，加宽了b米，请你表示这块林区现在的面积snmnmba(2)s=(m+n)a+(m+n)b(3)s=(a+b)m+(a+b)n(4)s=ma+mb+na+nb∴(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb多项式乘以多项式的法那么：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。二、知识应用例1:①(x+2)(x-3)②(3x-1)(2x+1)③(x-3y)(x+7y)④(2x+5y)(3x-2y)计算中应注意确定积的各项的符号例2:一块长方形铁片长5a+4b，宽4a+3b，在它的四个角都剪去一个边长为(a+b)的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，求这个盒子的外表积S例3:在(ax2+bx+1)(2x2-3x-1)的计算结果中，不含x3项和x项，求a,b的值练习：(x2+bx+8)(x2-3x+c)的展开式中，不含x3和x2项，试求b,c的值三、稳固练习；书本练习P801、2补充；1、先化简，再求值，[2x2-(x-y)(x+y)][(x+y)2-2y(x+y)],其中x=1,y=-2、如果(mx-y)(x+y)=3x2+nxy-y2，求m,n的值四、作业：作业本教学反思：5.10两数和乘以它们的差教学目标：１、能根据平方差公式的特点，正确运用平方差公式进行多项式的乘法；２、通过平方差公式推导过程，了解公式的几何背景；３、培养学生解决实际问题的能力教学重点：掌握平方差公式的特点教学难点：灵活运用公式进行计算教学过程：一、计算：〔a＋b〕〔a－b〕 这是一个特殊的乘法，得到的结果特别简洁：〔a＋b〕〔a－b〕＝a2－b2这就是说，两数和与它们的差的积，等于这两数的平方差。二、试一试：先观察以下图，再用等式表示以下图中图形面积的运算：三、讲例题：例1、计算：〔1〕〔a＋3〕〔a－3〕；〔2〕〔2a＋3b〕〔2a－3b〕；〔3〕〔1＋2c〕〔1－2c〕解 〔1〕〔a＋3〕〔a－3〕 ＝a2－32 ＝a2－9 〔2〕〔2a＋3b〕〔2a－3b〕＝〔2a〕2－〔3b〕2 ＝4a2－9b2 〔3〕〔1＋2c〕〔1－2c〕＝12－〔2c〕2＝1－4c2例2、计算：1998×2002解 1998×2002＝〔2000－2〕×〔2000＋2〕 ＝20002－22＝4000000－4＝3999996例3、街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米。问改造后的长方形草坪的面积是多少？解 〔a＋2〕〔a－2〕＝a2－4答： 改造后的长方形草坪的面积是〔a2－4〕平方米四、课堂练习：1、计算：〔1〕〔2x＋〕〔2x－〕； 〔2〕〔－x＋2〕〔－x－2〕；〔3〕〔－2x＋y〕〔2x＋y〕； 〔4〕〔y－x〕〔－x－y〕2、简便计算：〔1〕498×502 〔2〕999×10013、秋收季节到了，幸福村的人们都用篾席制成的粮屯来储存粮食。假设粮屯的高度一定，小明觉得用四根竿子将粮屯绷成底面为正方形的柱体储粮较多，而销量认为把同样长的篾席绷成底面为长方形的柱体储粮较多。谁的说法正确？五、布置作业：〔见作业本〕教学反思5.11两数和的平方教学目标：１、能根据完全平方公式的特点，正确运用完全平方公式进行计算；２、通过完全平方公式的推导过程，了解公式的几何背景；３、培养学生灵活运用公式解决问题的能力教学重点：掌握公式的特点，正确运用公式进行简单计算教学难点：灵活运用公式教学过程：一、计算：〔a＋b〕2 经计算，我们又得到一个漂亮的结果：〔a＋b〕2＝a2＋2ab＋b2 这就是说，两数和的平方，等于它们的平方和加上它们乘积的2倍。二、试一试： 先观察图，再用等式表示以下图中图形面积的运算三、讲例题：例１、计算：〔1〕〔2a＋3b〕2； 〔2〕〔2a＋〕2解 〔1〕〔2a＋3b〕2 ＝〔2a〕2＋2×2a×＋〔〕2＝4a2＋2ab＋例２、计算：〔1〕〔a－b〕2； 〔2〕〔2x－3y〕2解〔1〕〔a－b〕2＝[a＋〔－b〕]2＝a2＋2×a×〔－b〕＋〔－b〕2＝a2－2ab＋b2〔2〕〔2x－3y〕2＝[2x＋〔－3y〕]2＝〔2x〕2＋2•〔2x〕•〔－3y〕＋〔－3y〕2 ＝4x2－12xy＋9y2四、课堂讨论： 你能从图中的面积关系来解释第〔1〕小题的结果吗？五、课堂练习：１、计算：〔1〕〔x＋3〕2；〔2〕〔2x＋y〕2２、计算：〔1〕〔x－3〕2；〔2〕〔2m－n〕2３、计算：〔1〕〔－2m＋n〕2； 〔2〕〔－2m－n〕2４、要给一边长为a米的正方形桌子铺上桌布，四周均留出宽，问桌布面积需要多大？六、布置作业：见作业本教学反思：乘法公式练习课回忆两个乘法公式：〔a＋b〕〔a－b〕＝a2－b2〔a＋b〕2＝a2＋2ab＋b2计算：〔1〕〔a＋2b〕〔a－2b〕； 〔2〕〔2a＋5b〕〔2a－5b〕；〔3〕〔－2a－3b〕〔－2a＋3b〕； 〔4〕〔－a＋b〕〔a＋b〕计算：〔1〕〔3a＋b〕2； 〔2〕〔2a＋b〕2〔3〕〔2a＋1〕〔－2a－1〕计算：〔1〕〔2a－4b〕2； 〔2〕〔a－b〕2新世纪中学教学楼前有一块边长为a米的正方形空地。现准备将这块空地四周均留出b米宽修筑围坝，中间修建喷泉水池。你能计算出喷泉水池的面积吗？一个正方形的边长增加3cm，它的面积增加了45cm2。求这个正方形原来的边长。假设边长减少3cm，它的面积减少了45cm2，这时原来边长是多少呢？计算〔1〕20012－2002×2000； 〔2〕〔2x＋5〕2－〔2x－5〕2〔3〕－12xy•3x2y－x2y•〔－3xy〕； 〔4〕2x•(x－1)－3x〔x＋〕；〔5〕〔－2x2〕•〔－y〕＋3xy•(1－x)〔6〕〔－6x2〕3＋〔－3x〕3•x1千克×103千克煤放出的热量，据估计地壳里含1×1010千克镭。试问这些镭完全蜕变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热量。教学反思：2单项式除以单项式教学目标1．理解和掌握单项式除以单项式的运算法那么．运用单项式除以单项式的运算法那么，熟练、准确地进行计算．教学重点：准确、熟练地运用法那么进行计算．教学难点：根据乘、除的运算关系得出法那么．教学过程：1．创设情境，复习导入〔l〕表达同底数幂的除法性质．〔2〕计算：〔1〕

〔2〕

〔3〕

〔4〕〔，m，n都是正整数，且m＞n〕2．指出问题，引出新知思考问题：〔〕

所以一般地，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，那么连同它的指数作为商的一个因式．3．尝试计算，熟悉法那么计算：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕4．强化学习，掌握法那么练习一以下计算是否正确？如果不正确，指出错误原因并加以改正〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕练习二计算〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕练习三计算：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕练习四把图中左圈里的每一个代数式分别除以，然后把商式写在右图里．〔二〕小结:由学生完本钱节课的归纳与总结，教师给予引导或补充．七、布置作业教学反思3多项式除以单项式教学目标：1．理解和掌握多项式除以单项式的运算法那么。2．运用多项式除以单项式的法那么，熟练、准确地进行计算．教学重点：多项式除以单项式的法那么及其应用教学难点：理解法那么导出的根据教学过程：1．复习导入〔l〕用式子表示乘法分配律．〔2〕单项式除以单项式法那么是什么？〔3〕计算：①②③〔4〕填空：规律：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．2．讲授新课例1

计算：〔1〕

〔2〕解：〔1〕原式〔2〕原式例2

化简：解：原式练习：〔1〕错例辩析：3．小结1．多项式除以单项式的法那么是什么？2．运用该法那么应注意什么？4．作业教学反思第5章小结知识结构复习题：计算〔1〕a10.an; (2)(xy)2.(xy)3(3)[(-x)3]2; (4)[(-x)2]3; (5)(-2mn2)3; (6)(y3)2.(y2)42.计算〔1〕(4×104)×〔2×103〕； 〔2〕2a•3a2；〔3〕〔－3xy〕•〔－4yz〕； 〔4〕〔－2a2〕2•〔－5a3〕；〔5〕〔－3x〕•〔2x2－x－1〕； 〔6〕〔x＋2〕〔x＋6〕〔7〕〔x－2〕〔x－6〕； 〔8〕〔2x－1〕〔3x＋2〕3.计算〔1〕〔x＋2〕〔x－2〕； 〔2〕〔m+n〕〔m－n〕；〔3〕〔－m－n〕〔－m＋n〕； 〔4〕〔－m－n〕〔m＋n〕；〔5〕〔－m＋n〕〔m－n〕； 〔6〕〔x＋y〕2４．对以下多项式进行因式分解：〔1〕x2－25x； 〔2〕2x2y2－4y3z〔3〕am－an＋ap； 〔4〕x3－25x〔5〕1－4x2 〔6〕25x2＋