向量分类总结

PAGEPAGE4专题四:平面向量【疑难点拨】1．与向量概念有关的问题⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“＞”错了，而||＞||才有意义.⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（力和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量.⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件.⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（）,其中、满足＝1（可用（cos,sin）（0≤≤2π）表示）.求单位向量方法是向量本身除以自身的模；⑸零向量的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数.⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段.2．与向量运算有关的问题⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量.①当两个向量和不共线时，的方向与、都不相同，且||＜||＋||；②当两个向量和共线且同向时，、、的方向都相同，且；③当向量和反向时，若||＞||，与方向相同，且||=||-||；若||＜||时,与方向相同，且|＋|=||-||.⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算.⑶围成一周首尾相接的向量（有向线段表示）的和为零向量.如，,（在△ABC中）.(□ABCD中)⑷判定两向量共线的注意事项如果两个非零向量，，使=λ（λ∈R），那么∥；反之，如∥，且≠0，那么=λ.这里在“反之”中，没有指出是非零向量，其原因为=0时，与λ的方向规定为平行.=（x1,y1）=(x2,y2),那么∥的充要条件是x1y2-x2y1=0或者x1y2=x2y1⑸数量积的8个重要性质①两向量的夹角为0≤≤π.由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数.②设、都是非零向量，是单位向量，是与的夹角，则③（∵=90°，若=（x1,y1）=(x2,y2)则x1x2+y1y2=0;④在实数运算中=0=0或b=0.而在向量运算中==或=是错误的，故或是=0的充分而不必要条件.⑤当与同向时=(=0,cos=1);当与反向时，=-(=π,cos=-1)，即∥的另一个充要条件是.特殊情况有=.或===.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(,),(,),则=⑥。（因）⑦数量积不适合乘法结合律.如（因为与共线，而与共线）⑧数量积的消去律不成立.若、、是非零向量且并不能得到这是因为向量不能作除数，即是无意义的.6．与平面向量基本定理及平移有关的问题⑴平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线性组合.⑵平面向量基本定理可联系物理学中力的分解模型进行理解。⑶点的平移公式：点按给定平移向量平移后得新点的坐标公式为 反之，由新点求旧点公式变为由新旧两点求平移向量公式为⑷图象（图形）平移：给定平移向量=，由旧解析式求新解析式，用公式 代入旧解析式中，整理得到；由新解析式求旧解析式，用公式