数学史融入小学数学课堂教学策略研究

-PAGEII-摘要数学作为一种文化存在，是人类文明的火车头，具有深厚的文化底蕴。在当代，数学从幕后走到了台前，对现代社会的发展有着不可估量的巨大贡献。数学史中蕴含了丰富的教育价值，展现了古人在追求真理的道路上坚持不懈的精神，展现了不同国家的学者对于数学的一致见解，展现了人类在解决现实问题时的思维历程……数学史是一座巨大的文化宝藏，有待于我们深入、细致地挖掘。 本研究在查阅了大量有关文献后，进行理论分析，总结数学史在数学教育中的巨大作用。笔者在理论分析的基础之上，对人教版小学数学教材（2022年版）中呈现的数学史料进行了整理分析，为一线教师进行数学史教学提供教材分析上的支持。笔者又从“一师一优课”网站中选择了九节小学数学优质课进行案例分析，根据结果，笔者发现目前融入了数学史的数学课堂方式较为单一，多为“附加式”和“复制式”，对数学史料的内在价值挖掘不够深入。同时，对于暗含于数学史中的人文价值，也缺乏一定的关注。基于现存的问题以及已有的研究，笔者从教师、教学和教材三个方面阐述了数学史融入小学数学课堂的有效策略，以便更好地发挥数学史应有的教育价值。关键词：数学史；小学数学教学；有效教学策略

AbstractMathematics,asakindofculture,isthelocomotiveofhumancivilizationandhasprofoundculturaldeposits.Incontemporarytimes,mathematicsfromthebackgroundtothestage,thedevelopmentofmodernsocietyhasanimmeasurablecontribution.Thehistoryofmathematicscontainsawealthofeducationalvalue,showstheancientsinthepursuitoftruthontheroadofperseverancespirit,showsthescholarsofdifferentcountriesonmathematicsconsensus,showsthehumanthinkingprocessinsolvingpracticalproblemsThehistoryofmathematicsisahugeculturaltreasure,waitingforustodigdeeplyandcarefully.Afterconsultingalargenumberofrelevantliterature,thisstudymakestheoreticalanalysisandsummarizesthegreatroleofthehistoryofmathematicsinmathematicseducation.Onthebasisoftheoreticalanalysis,theauthorcollatesandanalyzesthemathematicalhistoricalmaterialsinthehuman-educationeditionofprimaryschoolmathematicstextbook(2022edition),providingtextbookanalysissupportforfront-lineteachersinthehistoryofmathematicsteaching.Theauthoralsoselectedninehigh-qualityprimaryschoolmathematicslessonsfromthewebsite"Oneteacher,OneExcellentCourse"forcaseanalysis.Accordingtotheresults,theauthorfoundthatthecurrentmathematicsclassroommethodsintegratedintothehistoryofmathematicsarerelativelysimple,mostly"additive"and"duplicative",andtheintrinsicvalueofmathematicalhistoricalmaterialsisnotdeeplyexplored.Atthesametime,thereisalackofattentiontothehumanisticvalueimpliedinthehistoryofmathematics.Basedontheexistingproblemsandexistingresearch,theauthorexpoundstheeffectivestrategiesofintegratingthehistoryofmathematicsintoprimaryschoolmathematicsclassroomfromthreeaspectsofteachers,teachingandtextbooks,soastogivefullplaytotheeducationalvalueofthehistoryofmathematics.Keywords:Historyofmathematics;Primaryschoolmathematicsteaching;Effectiveteachingstrategy这里页码从1开始，就是4变成了1这里页码从1开始，就是4变成了1目录摘要 IAbstract II目录 1一、绪论 1（一）研究缘起 11.传统教学中对数学史的忽略 12.数学史在数学教育中发挥的作用 1（1）数学史有助于激发学生的数学学习的兴趣 1（2）数学史有助于加深学生对数学思想的理解 13.各国对数学史的重视 2（二）研究目的和价值 21.研究目的 22.研究价值 2（三）理论基础 21.建构主义理论 22.历史发生原理 33.弗赖登塔尔的再创造理论 3（四）文献综述 41.数学史的教育价值研究 42.数学史融入数学教学的现状及方式研究 4（五）研究思路和研究方法 51.研究思路 52.研究方法 5二、数学史相关概念、价值及融入方式 5（一）概念界定 51.数学文化 52.数学史 63.数学史融入数学教学 6（二）价值 61.丰富学生的知识储备，开拓视野 62.激发学生对于数学学习的兴趣 63.增强学生的文化自信 74.加深学生对于所学数学知识的理解 75.有利于发挥数学学科育人的整体性作用 7（三）常见方式 8三、人教版小学数学教材中有关数学史内容的整理分析 8（一）数学史的数量与分布 8（二）数学史内容的特点分析 111.以“你知道吗？”为主要栏目 112.以“数与代数”为主要领域 113.以介绍数学知识的由来为主要内容 124.以文字陈述为主要呈现方式 13四、数学史融入小学数学教学现状的调查分析 13（一）调查目的 14（二）调查方法 14（三）结果分析 141.数学史呈现方式 152.数学史内容选取 163.数学史融入环节 174.数学史人文价值 18五、数学史融入小学数学教学的有效策略 19（一）教师方面 191.改变传统的教学观，深刻认识数学史的教育价值 192.储备大量数学史知识，提高自身数学素养 193.积极参加有关的集体教研活动，有意识地在课堂中传授数学史知识 20（二）教学方面 201.以学生能够接受的方式深入浅出，联系学生实际 202.因“地”制宜，实施多元化的融入方式 203.注重挖掘数学史中蕴含的人文价值，培养学生正确的人生观 214.渗透数学思想方法，培养理性思维 21（三）教材方面 211.数学史呈现的多样化 212.数学史内容的多元化 223.数学史编排的合理化 22结语 23参考文献 24致谢 27-PAGE5-一、绪论（一）研究缘起1.传统教学中对数学史的忽略长久以来，数学史的价值被淹没在“题海战术”之中，数学课堂上没有历史的身影。美国学者Bidwell曾把数学学习比作孤岛上的学习，学生在孤岛上学习数学觉得封闭呆板[1]。这样的数学教学显然不能体现数学本身的魅力。随着人们不断地反思传统数学课堂中存在的问题，数学史的重要性日益突出。数学史与数学教育（简称HPM）成为了国际学术研究的领域之一。我国于1981年在全国第一次数学史学术讨论会上成立了数学史分会，自此，我国的学者对数学史的研究愈来愈多，愈来愈认识到数学教学与历史的不可分割。格莱舍确信，任何企图将一种科目和它的历史割裂开来，数学的损失更大。[2]2.数学史在数学教育中发挥的作用（1）数学史有助于激发学生的数学学习的兴趣对大部分学生来说，数学是他们避之不及的存在。在课堂上，数学是枯燥无聊的；在作业中，数学是困难无解的；在考试中，数学是拖人后腿的。大家谈“数学”而色变。造成这种现象的原因，除了数学本身抽象的特点之外，与数学教师在课堂中平铺直叙地讲解知识点也有很大的关系。而数学发展中发生的种种历史故事，对学生而言是真实的、有趣的、彼此相连的。在数学教学中适当引入数学史，可以为枯燥的课堂增添更多的趣味。例如莫比乌斯发现莫比乌斯带的故事、欧拉与哥尼斯堡的故事、“数学王子”高斯的故事等。这些有趣的数学史带给学生新鲜感，让学生体会到数学不是虚无缥缈的，数学就在我们身边，与我们息息相关。（2）数学史有助于加深学生对数学思想的理解数学相比于其他的学科，很显著的特点之一就是抽象。数学的抽象导致学生理解起来更加困难，尤其是过去数学的过度形式化，让数学成为高高在上不可攀登的存在。然而，一切的数学都是来自于生活，只有将数学知识产生的过程展开在学生的面前，他们才能将数学与现实联系起来，才能逐渐放下心中对数学的恐惧。数学史融入数学教学，可以短暂的将学生带回到历史中，站在无数数学家们的视角，体会数学内在的逻辑与美。教师在教学中有意识地贯穿数学史于其中，培养学生用原始问题的特色分析解决问题的能力。[3]3.各国对数学史的重视西方对数学史的研究要早于我国。法国哲学家孔德的观点是：孩子从胚胎期经由出生、成熟、衰老一直到死亡的整个生命过程中的认知发展顺序与前人的发展顺序相同。英国数学家德摩根强调数学知识的讲授顺序应与数学知识的产生顺序相一致。庞加莱认为，如果我们想要预测数学的未来，必须研究数学的历史与现在。[4]弗赖登塔尔表示，数学教师需掌握数学史的基本要素，这是必备条件。俄罗斯高中数学的目的之一是了解数学和数学思想的历史。 1981年我国成立的数学史分会，打开了数学史研究的大门。自此，教育部编制的数学课程标准中也体现了我国对数学史的重视。第一届全国数学史与数学教育会议，标志着我国数学史与数学教育关系的研究走向高潮。[5]如今，我国对数学史的重视程度不言而喻。数学史已出现在我国小学数学课程标准和教科书中，但“高评价、低应用”的现象却普遍存在。因此，如何最大程度的发挥数学史的教育价值，成为广大数学教育研究者普遍关注的问题。（二）研究目的和价值1.研究目的在理论分析以及真实课堂分析的基础上，总结出数学史融入小学数学教学的有效策略，以期真正发挥数学史应有的教育价值，为广大一线数学教师的数学史教学提供方法论参考。2.研究价值近些年，我国对数学史与数学教育的关系的研究越来越多，相关的成果也较为丰富。但对于小学数学教育的关注程度仍然较低，大多数研究集中于初高中阶段，导致小学数学教师在课堂中忽视数学史的教学，数学史在基础教育阶段没能更好的发挥作用。因此，本研究有助于丰富这两方面的研究。本文通过对相关文献资料的查阅与分析，提炼数学史融入小学数学课堂的有效策略，或许能够为引起小学数学教师们对数学史的重视出一份力，为一线教师提供学习研究的思路。（三）理论基础1.建构主义理论根据建构主义的学习观，学习是学生主动建构自己知识的过程。建构主义理论为数学史融入数学教学提供支撑。首先，学生建构新知识是在已有的知识背景之上进行建构的，而数学史是历史上的数学家为推动数学发展而做出的努力，是真实存在的、与生活密切相关的。在数学教学过程中融入数学史，学生获得了最初的知识背景，从而为学生建构起自己的知识意义搭建了桥梁。第二，数学知识的建构并不是一蹴而就的，而是需要逐步提高梯度，从而达到较高层次的水平。数学史将数学知识的发生发展过程展现在学生面前，使学生能顺着数学家们的思路逐步达到更高水平的意义建构，为学生的数学学习提供合适的梯度。第三，数学史中蕴含了大量的数学思想方法，是数学家们智慧的结晶。融入数学史，学生更清楚的了解到数学知识背后蕴藏的数学思维，更容易挖掘数学知识的本质，对于学生建构数学学科的知识体系有着较大的帮助，为学生完善数学认知结构提供脚手架。随着建构主义在教育领域的影响越来越大，发现学习被人们所推崇。胡典顺教授在《数学教学论》中总结促进数学发现学习的方法有：选择恰当的内容、设置合适的情景和鼓励深刻的反思。其中情境创设的重要来源之一就是数学史，在数学课上，用现实生活中的例子来说明数学知识的发展，学生更容易发现问题、提出问题。经历发现的过程，处于创造的地位，有利于学生了解知识的来龙去脉，形成良好的数学认知结构。2.历史发生原理历史发生原理与生物学中的重现法则类似，重现法则强调个体的发育史与种族的发展史相重合，将重现法则运用于教育中，便得到了历史发生原理。[11]英国社会学家斯宾塞曾说知识在个人身上的出现，必须遵循知识在整个种族中出现的相同过程。庞加莱、波利亚等著名数学家也曾重述过这一观点，这一观点也常常称作汉克尔定律：“个体发育是种族发育的重演。”历史发生原理作为数学史融入数学教学的理论基础之一受到广泛关注，庞加莱曾说，动物学家认为，动物胚胎在发育的短期内，经历了祖先发展的所有主要阶段，人类的思维发展也是如此。[24]在此理论的支撑下，人们得出“知识的历史发展顺序符合个体认知学习的心理顺序。”[25]历史发生原理认为：个体理解数学的过程与人类历史上学习数学的经验基本相同。数学家波利亚曾在《数学的发现》中阐述他的观点：只有了解人们如何获得某些事实或概念的知识，我们才能更好地判断儿童应该如何获得这些知识。[26]因此，将数学教育与数学史联系起来，展示数学家在历史上如何发展数学，有助于培养学生的数学思维。尤其对于小学生而言，从小开始接触数学史的内容，更加符合人类知识发生的过程。3.弗赖登塔尔的再创造理论弗赖登塔尔的再创造理论的框架是：通过数学活动引导学生学习，在数学现实的基础上对学习材料进行数学化处理。[27]再创造理论概括起来包含了三个核心概念，即：数学现实、数学化以及再创造。数学来源于现实，存在于现实，并应用于现实。每个学生由于不同的经历而有不同的数学现实。数学化指人们应用数学分析、研究、组织和改造客观世界的现象，以观察、认识和改造它们的过程。可以说，数学史就是古代数学家数学化过程的简缩。在数学教育中融入数学史教学，学生分析数学家们数学化的过程，逐渐学会数学化，从而深化数学知识。“再创造”的过程强调学习者是主体，强调学习者在学习中的主动性，核心是数学过程的重复。数学史在课堂上的呈现，有利于学生进行数学的再创造。（四）文献综述1.数学史的教育价值研究19世纪初，国外开始关注数学史与数学教育的关系，并探讨数学史的教育价值。琼斯认为，数学史中著名的数学家们的精彩有趣的故事都可以呈现在数学教学之中。一个解法的发现发展过程能激发学生的好奇心和求知欲。[4]在20世纪50年代，我国开始尝试数学史教育。在全国性的数学史会议中，数学史的教育价值都曾多次被阐述。吴文俊院士强调，数学教育与数学史不可分割，并呼吁全国高校普及数学史教学。[12]宋乃庆教授认为小学数学教学中的数学史可以培养学生对数学的积极情感，提高学生对数学的全面学习和理解，培养实践和创新能力。[5]张奠宙教授多次提议在教育实践的基础上开发HPM教学案例。[13]进一步指出，如果数学教育在广泛的文化知识、优雅的文化氛围和优秀的文化传统的推动下，可以说数学教育已经达到了最高水平。[14]华东师范大学的汪晓勤教授认为HPM的研究应做到立足于教育现实，任何一位一线教师都不可能仅为文化而文化，为历史而历史。[14]2.数学史融入数学教学的现状及方式研究数学史与数学教育这一研究领域方兴未艾，越来越多的研究者踏足这一领域。随着数学史的教育价值越来越被人们肯定，课程标准中也强调了要将数学史编入数学教材。大多数教材都有丰富的材料和插图，但其中存在的问题是：它们多从小学低段开始出现，且分布不均，排版单一。[15]同时，在数学教学的过程中，“高评价、低应用”的现象普遍存在，小学数学教育教学尤为突出。[5]在对数学教育中融入数学史的案例进行深刻分析后，汪晓勤教授提出数学教育中融入数学史的四种方式：附加式、复制式、顺应式和重构式。[16]朱哲和张维忠教授认为数学史可以通过四种不同的方式在课堂中呈现：数学课本、数学读本、选修课程以及专题研究。[17]（五）研究思路和研究方法1.研究思路本研究在了解相关领域的研究成果的基础上确定研究内容为调查数学史融入小学数学教学的有效策略。在这之后，笔者阅读了大量相关文献并进行整理分析，确定了研究的大致方向的具体内容。并且，笔者还仔细选取出了人教版小学数学教材中涉及数学史的内容，对此进行分析。最后通过观看一师一优课中与数学史有关的部优级课堂实录，从中学习、提炼出能够为一线教师在教学过程中更好渗透数学史的有效教学策略。2.研究方法文献法：笔者搜集、阅读、整理了有关数学史、数学文化、HPM、数学史与数学教学等方面的文献，查阅了相关的著作，同时也参考了学位论文库中具有代表性的文献。在此基础上，笔者对数学史与数学教学的关系有了更加深入的了解，为本文的写作奠定了基础。个案研究法：本文选取小学数学六年级下册《5.数学广角—鸽巢问题》、四年级下册《9.数学广角—鸡兔同笼》、四年级上册《*神奇的莫比乌斯带》这三个课题，每个课题各选取“一师一优课”网站中三位教师的部优级优质课，共9节，挑选出其中融入了数学史的教学片段进行研究分析，了解教师数学史的真实教学情况和学生的反应，从中探究出数学史融入小学数学教学的有效策略。二、数学史相关概念、价值及融入方式（一）概念界定1.数学文化对于数学文化的内涵，学术上有过多种观点。顾沛认为，狭义的数学文化指数学思想、精神、方法、观点以及它们的形成和发展[6]；广义的除上述外，还包含数学家、数学史、数学美、数学教育等。[6]代钦进一步提出：数学文化是数学知识、思想方法及其在人类活动的应用，以及与数学有关的民俗习惯和信仰的总和。[7]随后，杨豫晖、宋乃庆等学者对数学文化的内涵进行了评述，提炼出新的“数学文化”的概念界定，即一群人，在数学活动中遵循共同的数学规则，通过长期的、历史的积累，形成了共同的数学知识、精神和思维方式的约定，并指出数学文化对于思维、道德和美育具有重要意义。[8]2.数学史李文林认为：数学史是研究数学概念、方法和思想的起源和发展，并研究其背景对社会政治、经济和文化的影响的科学。[9]陈奥运认为“数学史是数学历史研究，即研究数学发展规律的科学。”[10]向慧将数学史分为广义和狭义，广义以数学科学的发生发展为主要研究对象并探索其内在规律；狭义特指数学知识的发现、发展及其系统化整体化的过程。[4]虽然对于数学史不同的学者有不同的看法，但他们大多认同一个观点，即数学史不仅研究数学知识和数学思维方法的发生过程，还涉及数学、教育、政治学、历史学、社会学、经济学等。3.数学史融入数学教学张俊忠认为“融入”就是在数学教学中，结合学生的认知特点和内在发展需要，从发展、联系和辩证的角度，理解和探讨数学史与数学教育不同组成部分之间的关系，将数学史和相关内容重新整合，从历史产生和发展的角度来讲授数学内容，提高数学教学的有效性。[11]中国HPM的研究内容之一就是数学史融入教学。（二）价值1.丰富学生的知识储备，开拓视野数学史是一座丰富的文化宝库，其中蕴含了大量的数学知识，在数学教学中渗透数学史的内容，显然可以丰富学生的知识储备，让学生的头脑中除了呆板沉闷的公式定理，还有多姿多彩的人文情怀，各种各样的数学趣闻，日积月累，便逐渐能博古通今。同时，由于不同的民族有着不同的文化，他们对数学的看法各有千秋。有的重视严密的逻辑，有的重视实际的应用等，所以对于某一数学概念、定理、性质等，往往有多种角度的不同见解。学生深入了解知识发展的过程，亲身领略不同国家之间数学思维的异同。2.激发学生对于数学学习的兴趣 对于现在的学生而言，数学犹如洪水猛兽，很多学生谈数学而色变。一方面，是由于数学学科本身的高度抽象性和形式化；另一方面，是由于数学教师在课堂中对于数学知识点枯燥的讲解，使得学生上课昏昏欲睡，缺乏对数学学习的热情。学生一味地记忆知识点，反复机械的做题，参加各种考试，使得数学俨然成为了脱离学生生活的神圣存在。于是如何激发学生对于数学学习的热情，已经成为数学教育中亟待攻克的难题。数学史融入数学教学，是攻克这一难题行之有效的方法。很多数学家发现发明的过程都是为了解决生活中遇到的难题，这些概念、定理、定理、性质等的产生与生活息息相关。如果数学教师能合理的从浩瀚的数学史宝库中选择有趣生动的数学史材料，并对其进行加工使之适合于数学课堂，那么这样融入了数学史的数学课堂必将激发学生对于数学学习的兴趣，使课堂变得生动有趣，学生对于数学的畏惧心理也将得到一定的缓解。3.增强学生的文化自信 数学是人类文化的重要组成部分。在古代，我国的数学家为数学的发展做出过巨大的贡献，编写了许多例如《孙子算经》《九章算术》等巨作。学生在了解我国古代数学家在数学领域做出的努力，明白中国传统数学是世界数学发展史中非常重要、不可分割的一部分，真切感受到我国古人的智慧，从而从心底油然而生出对本民族文化的自信与骄傲。同时，数学教师在讲述数学史知识时，不能夸大中国在数学领域做出的贡献从而忽视其他国家做出的努力，应中肯、公正、尊重历史事实，辩证的看待我国数学家的贡献。长久以来，学生对于本民族文化的自信也会激励学生在数学领域继续攀登，攻坚克难，将祖先们流传下来的文化发扬光大，将祖先们身上锲而不舍的精神继承并弘扬，坚守文化自信，立志再创辉煌。4.加深学生对于所学数学知识的理解 数学最突出的特点是抽象。例如笛卡尔坐标系、点、线、面等，虽然在数学史中可以找到它们形成时的背景，但是在现实世界中并不存在它们的物质实体。同时，数学还是形式化的，人们只能看到数学材料的外在形式，而其内在的实质是抽象的思想，它深藏于数学形式之下。例如对于三角函数中的“sinx”，对于没有接触过数学的人来说这仅仅只是几个英文字母的组合，然而其在初中数学及高中数学中却有着深层次的含义。这就要求学生在学习数学时，要尽可能的抛开形式的阻拦，去理解数学的本质。而数学史展现给学生的是一个从无到有、从有到优的一个过程，是一个创造和完善的过程。在这个过程中，学生亲身体验了数学的本质逐渐披上形式的外衣的过程，从而对数学知识有更深入的理解。数学史家丹皮尔还曾说道：数学史是研究和学习数学思想和数学方法的最好材料。在了解数学史的过程中，也就体验了数学思想方法的产生过程，才能对数学知识有真正的体会。5.有利于发挥数学学科育人的整体性作用 数学史的育人价值不仅体现在知识方面。在历史中，有许许多多的数学家为了数学奉献了自己的一生。他们认为数学是世界上最为美丽和高贵的，他们不知疲倦地沉迷于其中，忘却时间。数学家们的奇闻轶事，在激发学生兴趣的同时，也将学生带入到他们当时的心境中，让学生感受到数学家们勇于追求真理、坚持不懈的科学精神，感受到他们勤于思考、敢于质疑权威的批判精神，感受到他们孜孜不倦、不断探索的进取精神等。学生在数学家们的身上学到了积极乐观的生活态度，求真求实的科学态度……在数学教学中融入数学史，可以更好地发挥数学学科育人的整体性作用。（三）常见方式在教材编写时融入数学史内容是数学史融入数学教学的第一步，能否更大程度的发挥数学史的教育价值更大一部分是看数学教师在课堂之中对于数学史是如何呈现的。教材中融入数学史服务于数学自身和数学教学，素材应以一手文献为主，以附加式、复制式、顺应式和重构式四种方式融入教材。[28]本文借鉴汪晓勤对数学史呈现方式的分类标准，描述如表3-1所示：表3-1数学史的呈现方式类型描述附加式附加于教学内容之中，去除后对教学没有影响。例如展示有关数学家的肖像、讲述奇闻轶事等复制式将历史中的数学问题、解题技巧与方法直接运用于课堂中顺应式以历史中的数学事件等为原型，编制数学问题重构式借鉴或重构数学知识发生发展的历史三、人教版小学数学教材中有关数学史内容的整理分析本研究选取人教版小学数学教材（2022年版）为分析对象。在仔细研读了课程标准和每一册教材后不难发现，数学史作为一种数学教学资源已经受到教材编写者的重视。教材是教师上课的主要依据，在教材中编入数学史知识，一方面有利于教师转变教学观念，转变对数学史知识的看法；另一方面可以丰富教师的数学史料储备，同时激励教师在课余时间多积累。（一）数学史的数量与分布本研究选取一年级到六年级共12册数学教材进行分析，将教材中涉及数学史的内容单独整理，并进行统计分析，结果如表2-1、2-2所示：表2-1人教版小学数学教材数学史内容整理教科书数学史内容页码一年级数学上册6-10的认识和加减法（你知道吗？）：我国古代用算筹来表示数P606-10的认识和加减法（你知道吗？）：古埃及象形数字P72认识钟表（你知道吗？）：我国古代计时工具日晷和铜漏壶P85一年级数学下册认识图形（二）（你知道吗？）：“七巧板”是我国古代的一种拼板玩具P4二年级数学上册长度单位（正文）：很久以前，人们用1庹、1拃等作为测量长度的单位P1表内乘法（一）（你知道吗？）：乘号的由来，英国数学家奥特雷德P51表内乘法（二）（你知道吗？）：我国两千多年前竹简上的乘法口诀表，也叫做“九九歌”P86二年级数学下册表内除法（一）（你知道吗？）：瑞士数学家拉恩首次使用“”P17万以内数的认识（正文）：算盘P76三年级数学上册分数的初步认识（你知道吗？）：分数的演变：我国-印度-阿拉伯人P99三年级数学下册位置与方向（一）（你知道吗？）：我国古代四大发明之一—指南针P6面积（你知道吗？）：我国古代数学著作《九章算术》“方田”章P63小数的初步认识（你知道吗？）：我国古代及西方小数的表示方法P96四年级数学上册大数的认识（正文）：数的产生：实物、结绳、刻道、古国的数字P16大数的认识（你知道吗？）：阿拉伯数字的产生P17大数的认识（你知道吗？）：算筹记数方法P21大数的认识（正文）：人们发明了各种各样的计算工具：算筹、算盘、计算尺、机械计算器、电子计算机、电子计算器。其中算盘特别介绍P23-24公顷和平方千米（你知道吗？）：我国计算土地面积方法“亩”P35三位数乘两位数（你知道吗？）：意大利“格子算法”P48平行四边形和梯形（数学游戏）：神奇的莫比乌斯带P70四年级数学下册小数的意义和性质（你知道吗？）：小数是我国最早提出和使用的P33数学广角—鸡兔同笼（正文、阅读资料）：我国古代数学名著《孙子算经》中鸡兔同笼问题P99-100数学广角—鸡兔同笼（练习二十四）：我国古代数学名著《算法统宗》P102五年级数学上册简易方程（你知道吗？）：埃及、我国古代《九章算术》、法国的方程P63多边形的面积（你知道吗？）：我国数学名著《九章算术》“方田章”P90多边形的面积（你知道吗？）：我国古代数学家刘徽“出入相补”原理P94五年级数学下册因数与倍数（你知道吗？）：哥德巴赫猜想P17长方体和正方体（你知道吗？）：几何学和欧几里得P22长方体和正方体（你知道吗？）：我国《九章算术》立体图形体积计算公式P35分数的意义和性质（你知道吗？）：我国《九章算术》“约分术”P67六年级数学上册分数乘法（你知道吗？）：《庄子》“一尺之棰”P14分数除法（你知道吗？）：我国《九章算术》“经分”P43圆（你知道吗？）：我国《周髀算经》“周三径一”、祖冲之世界上第一个把圆周率的值精确到小数点后7位P61圆（你知道吗？）：我国刘徽在《九章算术》中提出“割圆术”P66百分数（一）（你知道吗？）：恩格尔系数P81数学广角—数与形（练习二十二）：我国宋代杨辉撰写的《详解九章算法》中的“杨辉三角”P109六年级数学下册负数（你知道吗？）：中国很早就开始使用负数，古代数学家刘徽给出了用算筹区分正负数的方法P5圆柱与圆锥（你知道吗？）：阿基米德“圆柱容球”P29数学广角—鸽巢问题（你知道吗？）：抽屉原理P69整理与复习（你知道吗？）：七桥问题P103表2-2人教版小学数学教材数学史分布统计分析频数百分比有效百分比累计百分比一年级4101010二年级512.512.522.5三年级4101032.5四年级10252557.5五年级717.517.575六年级102525100总计40100100 从统计结果可知，数学史较多出现在小学高段，小学低段虽有呈现但数量较少。笔者认为，一方面，数学史在编写过程中要注意符合学生的思维发展规律；另一方面，应在小学低段更多的融入数学史知识，不应忽视数学史对于小学低段学生的巨大教育价值。（二）数学史内容的特点分析1.以“你知道吗？”为主要栏目 借鉴刘兰等学者的研究，将教材的栏目分为课题导入、正文等。[18]统计结果如表2-3：表2-3数学史料所属栏目频数百分比（保留两位小数）有效百分比累计百分比数字游戏12.332.332.33阅读资料12.332.334.66练习24.654.659.31正文511.6211.6220.93你知道吗3479.0779.07100总计43100100《课程标准》是教材编写的重要依据，无论是2011年版还是2022年版的课程标准都强调了数学文化、数学史在教材中的重要性。为了体现数学文化，人教版教材专门设置了“你知道吗？”这一栏目。[19]而“你知道吗？”栏目包含了渗透德育教育功能、提高学生学习兴趣功能、提供拓展导学功能、提高师生数学素养功能等。[20]这恰恰为数学史编入数学教材提供了安身之地。张贝贝的研究发现，人教版小学数学教材中“你知道吗？”栏目是特殊栏目中数量最多的。[19]而经过分析，本研究发现在涉及数学史的栏目中，“你知道吗？”达34次，占数学史所在栏目总数的百分之七十九，由此可见，数学史融入小学数学教材中，多以“你知道吗？”栏目为载体，用以补充知识和延伸数学知识，增强学生对于数学的了解，是在正文内容基础之上的深化和拓展。2.以“数与代数”为主要领域数学知识被划分为数与代数、图形与几何、概率与统计、综合与实践四类。因此，本研究以此为依据，分类结果如表2-4所示：表2-4人教版小学数学教材数学史所属知识领域知识领域数学史内容百分比数与代数算筹；象形数字；日冕和铜漏壶；拃；乘号；乘法口诀表；除号；分数演变；记数方法；小数表示方法；数的产生；阿拉伯数字；技术工具；亩；“格子算法”；小数的产生；鸡兔同笼；方程的产生；哥德巴赫猜想；“约分术”；极限思想；“经分”；恩格尔系数；杨辉三角；负数产生；抽屉原理71.05%图形与几何七巧板；指南针；方天章求面积方法；莫比乌斯带；“出入相补”原理；几何学和欧几里得；《九章算术》立体图形体积计算；圆周率；割圆术；圆柱容球；七桥问题28.95% 经统计后发现，数学史在小学数学教材中集中于数与代数和图形与几何这两个领域。其中数与代数领域达到了71.05%，图形与几何领域为29.95%。从数据中不难看出在人教版小学数学教材中数学史主要渗透于数与代数领域，造成这种现象的主要原因是，小学数学内容中数与代数这一领域相比于其它三个领域而言占比更大，因此其中蕴含的数学史料相应更多。也从一个侧面反映出在数与代数、图形与几何这两个领域中渗透数学史知识是比较合适的，教师应抓住这两个领域的特点，合理渗透数学史知识。3.以介绍数学知识的由来为主要内容将教材中的数学史料进行分类，统计分析结果如2-5、2-6所示：表2-5人教版小学数学教材中数学史分类类别内容数学知识的由来与发展算筹；数字的产生；计时工具；测量单位；乘号；除号；乘法口诀表；分数的产生；指南针；小数的发展；阿拉伯数字的产生；计算工具；亩；“格子算法”；方程的发展；负数的产生数学家的故事刘徽；杨辉；欧几里得；祖冲之；恩格尔；阿基米德经典数学著作《九章算术》；《孙子算经》；《算法统宗》；《周髀算经》；《详解九章算法》经典数学问题七巧板；莫比乌斯带；鸡兔同笼；抽屉原理；七桥问题数学猜想哥德巴赫猜想数学思想方法“一尺之棰”表2-6人教版小学数学教材中数学史分类统计分析频数百分比有效百分比累计百分比数学知识的由来与发展2145.6545.6545.65经典数学著作1123.9223.9269.57数学家的故事715.2215.2284.79经典数学问题510.8710.8795.66数学猜想12.172.1797.83数学思想方法12.172.17100.00总计46100100 统计结果显示，教材中有关数学史的内容较多地分布在“数学知识的由来与发展”和“经典数学著作”这两中类型，因为大多数数学知识的由来与发展都在数学著作中记载，因此这两者往往同时出现。另外，由于数学著作中记载的是数学家们的思想，因此数学著作与数学家的故事也往往同时出现。对于明显的数学猜想和数学思想方法，在教材中呈现较少。4.以文字陈述为主要呈现方式小学数学教材中数学史有4种粗略的呈现方式：文字、文字为主、图片为主和连环画。[22]依据该分类要求将人教版小学数学教材中的数学史呈现方式进行整理、分析，结果如表2-7、2-8所示：表2-7人教版小学数学教材数学史呈现方式类别内容文字乘号的由来；除号的由来；分数的演变；小数；亩；鸡兔同笼；方程；平面图形面积算法；哥德巴赫猜想；几何学；立体图形体积；“约分术”；一尺之棰；“经分”；恩格尔系数；抽屉原理文字为主七巧板；乘法口诀表；指南针；长方形面积计算方法；格子算法；莫比乌斯带；出入相补；圆周率；“割圆术”；杨辉三角；负数；圆柱容球；七桥问题图片为主算筹表示数；象形数字；计时工具；长度单位；算筹记数连环画算盘；数的产生；阿拉伯数字；计算工具表2-8人教版小学数学教材数学史呈现方式统计分析频数百分比有效百分比累计百分比文字1642.1142.1142.11文字为主1334.2134.2176.32图片为主513.1613.1689.48连环画410.5210.52100.00总计38100.00100.00 统计结果显示，人教版小学数学教材中的数学史以文字为主要呈现方式，其次是以文字为主的方式，附以数学家肖像、古物图片等图片。以图片为主和连环画的形式较少出现。在小学，学生一方面可以通过图表获得感性知识，另一方面可以通过文字获得理性知识，两者缺一不可，以获得理性知识为主。四、数学史融入小学数学教学现状的调查分析本文研究的重点是对“一师一优课”网站中融入了数学史的小学数学优质课进行调查分析，并据此得出数学史的有效教学策略。在前文对数学史融入小学数学课堂进行了理论分析的基础之上，笔者选取了小学数学中的三个课题：鸽巢问题、鸡兔同笼和神奇的莫比乌斯带，在“一师一优课”中以“全部年度”、“部优”为筛选条件，每个课题选取三节优质课，共9节优质课进行转录与分析，从分析结果中概括提炼出数学史融入小学数学的有效教学策略。选取结果如下表4-1所示：表4-1小学数学优质课选取情况课题学校执教教师数学广角—鸽巢问题天津市津南区咸水沽第五小学张乃顺宁夏固原市隆德县第一小学马越宁夏中卫市第六小学詹玉明数学广角—鸡兔同笼山东省济南市历下区私立济南齐鲁学校王亚楠辽宁省葫芦岛小学苏丽杰重庆市大足区龙水第三小学罗国云神奇的莫比乌斯带广东省珠海市香洲区第十八小学赖金辉天津市万全小学王丽华河北省沧州市泊头市红旗小学李藏然（一）调查目的 本次调查目的主要有：1.了解优质课中教师对数学史内容的处理方式2.了解学生对于课堂中融入数学史的态度笔者希望在观看并记录优质课中数学史内容时能够明白执教教师如何处理数学史与数学知识之间的关系，如何在数学教学中最大限度的发挥数学史的教育价值，学生对于课堂中的数学史内容感兴趣的程度如何等，以便后续从优质课中提炼出将数学史融入小学数学的有效教学策略。（二）调查方法 采用个案研究法，从教育平台中检索了9节含有数学史内容的小学数学优质课，根据分析框架对其中的数学史内容进行了整理与统计，得到优质课中融入数学史的共性，并结合数据归纳出数学史融入小学数学教学的有效策略。（三）结果分析 通过对相关文献的查阅与梳理，本研究从数学史呈现方式、内容选取和融入时间这三个方面对优质课进行统计分析，具体内容见图4-1：图4-1优质课中的数学史分析框架1.数学史呈现方式 笔者在观看优质课的同时，撰写了课堂记录报告。根据报告，将选取的优质课中数学史呈现方式进行了分类，其中因为一节优质课存在多种数学史的呈现方式，本文选取最为明显的一种方式进行讨论，结果如表4-2：表4-2优质课中数学史呈现方式课题执教教师内容类型鸽巢问题张乃顺狄里克雷（1805-1859）抽屉原理是组合数学中的一个重要原理，它最早是由德国数学家狄里克雷提出并运用于解决数论中的问题，所以该原理又称为“狄里克雷原理”（附肖像）复制式马越《狄利克雷》原理：铅笔放进铅笔里、鸽子飞回鸽巢、书放进抽屉里，其实都是一样的，铅笔盒、抽屉数都相当于鸽巢数。铅笔数、书的本数都相当于鸽子数，这种数学问题就叫做《鸽巢问题》又称《鸽巢原理》或《抽屉原理》。它最早是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出的，所以又称《狄利克雷》原理，它是组合数学中的一个重要原理。（附肖像）复制式詹玉明“鸽巢问题”又称“抽屉原理”，最先是19世纪的德国数学家狄里克雷提出来的，所以又称“狄里克雷原理”。抽屉原理的应用是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，它是组合数学中的一个主要原理。（附肖像）附加式鸡兔同笼王亚楠今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？复制式苏丽杰今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？复制式罗国云今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？某处有鹤龟百头，只云足数和为二百七十二，问鹤龟各几何？顺应式神奇的莫比乌斯带赖金辉早在1858年，德国数学家莫比乌斯，他在一次偶然的机会发现玉米的叶子很自然的扭曲成半圆状，他就顺着叶子扭曲的方向把它接成一个圈。回到实验室，他就把这个神奇的圈做出来了。后来人们就以他的名字，把它命名为莫比乌斯圈，也有人把它叫作莫比乌斯带，还有人把它叫作怪圈。附加式王丽华公元1858年，德国数学家莫比乌斯发现：把一张纸条的一端扭转180°，将两端粘连起来的带子，只有一个面。这个神奇的单面纸带被称为“莫比乌斯带”。莫比乌斯带的出现引发着人们更多的想象和思考。附加式李藏然有一天，莫比乌斯不经意的把一张长长的纸条拧了一个圈，然后把两端对接了起来。这时，正好有一只小蚂蚁爬了过来，于是他小心翼翼的把小蚂蚁放在纸上，小蚂蚁在纸上不停的到处游荡，莫比乌斯静静地注视着小蚂蚁。他发现小蚂蚁虽然没有翻越任何一处纸的边缘，却爬过了纸表面的每一个地方。这让莫比乌斯非常惊讶，本来是两个面的纸条，经他翻转对接就变成只有一个面了。就这样，一个伟大的数学发现在不经意间产生了。附加式 从分析结果可以看出，不同的课题类型对应了不同的最佳呈现方式，其中附加式和复制式最为常见，其次是顺应式，最后是重构式。2.数学史内容选取 数学史的内容可以分为数学知识的由来与发展、数学家的故事、经典数学著作、经典数学问题、数学猜想、数学思想方法。本研究选取的三个课题均属于经典数学问题，但是对于具体资料的选择，各位老师有各自的特色，分析如表4-3所示：表4-3优质课中数学史料的选取课题执教教师内容鸽巢原理张乃顺狄里克雷肖像；鸽巢原理的别称马越狄里克雷肖像；鸽巢问题、抽屉问题、铅笔问题詹玉明狄里克雷肖像；鸽巢原理别称鸡兔同笼王亚楠《孙子算经》；原题苏丽杰《孙子算经》；原题罗国云《孙子算经》；《算法统宗》；《算法点窜指南录》；鸡兔同笼问题；鹤龟算问题神奇的莫比乌斯带赖金辉莫比乌斯肖像；莫比乌斯和玉米叶子的故事王丽华莫比乌斯肖像；莫比乌斯和纸条的故事李藏然莫比乌斯肖像；莫比乌斯和蚂蚁的故事 从结果可以看出，对于同一课题、同一数学历史，不同的老师选择了不同的数学史料融入课堂教学。对于如何选择合适的数学史料，首先应遵守科学性的原则。即所选的数学史必须是正确的、有记载的，要尽可能选用原始资源，至少应该是可靠的二手文献。[28]其次，还应遵循适切性、有效性等原则，使得数学史融入教学能给学生提供正确的知识储备，同时能激发学生的学习兴趣，符合学生认知发展特点，真正做到促进教学。 例如罗国云老师在讲解“鸡兔同笼”问题时，除了《孙子算经》中的原题，还介绍了日本根据“鸡兔同笼”问题引出的“鹤龟算”，开阔了学生的视野，在国别类型这一维度上体现出数学史的多元性。而对于莫比乌斯发现莫比乌斯带的过程，应追求科学性，教师应有辨别数学史料真假的能力，不能为了生动有趣而改编数学史。3.数学史融入环节 数学史在数学教学中，可以作为导入激发学生的学习兴趣；也可以作为一个数学活动让学生从探究中获得知识；亦或者在课堂结束时作为总结呈现。对样本优质课进行分析后结果如表4-4：表4-4优质课中数学史融入环节课题执教教师融入环节鸽巢原理张乃顺课堂结束马越课堂结束詹玉明课堂结束鸡兔同笼王亚楠课堂导入苏丽杰课堂导入罗国云课堂导入神奇的莫比乌斯环赖金辉课堂活动王丽华课堂活动李藏然课堂活动 从表中不难发现，数学史料融入数学课堂的最佳环节因史料而异。对于鸽巢原理，上述三位教师都选择先讲述该原理的内容，引出“鸽巢原理”，作为一节课的总结。对于鸡兔同笼，则都选择了将其作为课堂导入引出问题，接下来进行问题的解决。而神奇的莫比乌斯带，则在活动中加深对它的认识。4.数学史人文价值 数学史的教育价值绝不仅限于知识层面，数学史还具有独特的人文价值。因此，将数学史融入数学课堂时，总能在不经意间激发学生的爱国热情、激励学生留心观察等。对优质课样本中体现人文价值的部分进行整理，如表4-5所示：表4-5优质课中数学史人文价值的体现课题执教教师内容鸽巢问题张乃顺无马越无詹玉明同学们，在经济飞速发展的今天，还有好多好多的新发明新创造，只要我们留心观察，你肯定有所收获。鸡兔同笼王亚楠无苏丽杰无罗国云刚刚课前交流的这个活动中就涉及到我国著名的一个趣题—鸡兔同笼。那鸡兔同笼到底有多大的影响呢？我们应该以什么样的态度对待它？神奇的莫比乌斯带赖金辉无王丽华无李藏然孩子们，没有谁能随随便便成功。莫比乌斯之所以有个伟大的数学发现，是因为他平日里留心观察周围的事和物，然后苦苦思索。 对于同一课题，有些教师善于引导学生从数学史料中获得启示，有些教师则对于数学史的人文价值有所忽略。数学史料中的人文价值史非常宝贵的，学生可以从数学家们身上学习到科学研究应具有的精神和品质，为学生日后的学习做好准备，因此不可忽视。数学是“人为”的和“为人”的，融入数学史的数学教育是一种文化教育，有助于学生数学观的形成。[29]五、数学史融入小学数学教学的有效策略（一）教师方面1.改变传统的教学观，深刻认识数学史的教育价值作为数学教学中的主导者，数学教师的数学观直接影响着数学教学的效果和学生数学观的形成。在数学教育中，Ernest把教师的数学观分成了三类：问题解决的观点、柏拉图主义的观点和工具主义的观点[30]。随着时代的变迁，传统的数学观已不适合当下的社会对学生的需求，数学教师应赋予数学观新的内涵。教师应摈弃传统唯分数论英雄的观点，认识到学生是学习的主体。尤其在小学教育中，更应该在了解学生的发展特点的基础之上，从学生的立场、以学生能接受的语言讲述知识。当教师以学生的发展而不是以分数为最终的教学目标时，自然而然地就不会认为再课堂中讲授有关数学史的知识会浪费课堂教学时间，就不会认为数学史只是数学家们的故事，对于讲给学生听毫无用处。因此，对于数学教师而言，首先应树立正确的数学观，摆正对于数学史的看法，接纳数学史，才能更好地发挥数学史的教育价值。2.储备大量数学史知识，提高自身数学素养 即使认识到了数学史的教育价值，但仍有部分教师因自身知识储备的不足而导致未能将数学史融入课堂中，多有些“巧妇难为无米之炊”的遗憾。作为数学教师，在认识到数学史的价值后，应抓住各种机会，在闲暇时或在培训时，有意识地积累数学史材料，并通过观察优秀教师地数学课堂，学习数学史融入数学课堂的成功案例。积累数学史料的途径众多，可以通过阅读古籍、已有文献或权威图书等收集。但教师在积累数学史料时要特别注意数学史料的真实性和科学性，以免在课堂上误导学生。数学家洛维特说，数学的学习者应该去寻找原始文献，二手的思想就像二手书和二手衣服一样充满细菌[31]。学习数学史及其在教学中的实践是小学教师数学素养提升的重要途径，[32]小学数学教师应以数学史为抓手，储备数学史料，充分发挥数学学科的育人价值，进而发展学生的核心素养。3.积极参加有关的集体教研活动，有意识地在课堂中传授数学史知识 数学史融入数学教学绝不是简单的在课堂中出示数学家们的名字和肖像，绝不是随意挑选几段有关的数学史料放进教学过程中。数学史教学在史料的选取、呈现的方式和时间、表述的语言等方面都要经过精心的设计，才能达到较好的效果。因此，对于数学教师而言，积极参与有关的集体教研活动、培训活动等，是提高数学史教学能力必不可少的途径。在备课过程中，就应明确本节课是否可以融入数学史，用哪些史料效果更好，在什么地方进入，用什么话语讲述，这样才能在课堂上做到有意识地教学，而不是突然冒出了一个数学家的故事，这不仅不能很好的发挥数学史应有的作用，还可能产生相反的效果。教育取向的中国古代数学史研究及其融入数学教学的实践和评价，都将是未来HPM领域的重要课题，也将成为小学数学教师研修培训的重要主题之一[33]。（二）教学方面1.以学生能够接受的方式深入浅出，联系学生实际 长期以来，课程总是以一种“作为事实的课程”出现。胡典顺教授在《数学教学论》中指出，“作为事实的课程”忽略了人的意义和交流过程。如今在课程改革的背景下，数学课程的内涵由“作为事实的课程”转变为“作为实践的课程”。“作为实践的课程”强调数学教学必须以学生为本。“教育是人的灵魂的教育，教育的本质是育人，而不是知识的堆积。学生不是接受知识的容器，而是一支有待点燃的火把。”因此，在数学课堂中，要注意回归主体立场，真正做到以人为本，以学生的发展为本，用学生能够理解的方式方法传授数学史知识，传递数学精神。只有将学数学与用数学结合在一起，才能达到数学教育的最终目的。而数学史料大多数都是古代数学家们生活的直接写照，与现代生活也有着或多或少的联系，如果在讲述数学史知识时，能适当联系学生的生活实际，对于促进学生对知识的理解、削弱学生将数学视为高高在上的神坛的畏惧心理有着事半功倍的成效。2.因“地”制宜，实施多元化的融入方式 在历史长河中，数学史料数不胜数，因此，在将数学史融入小学数学课堂的方式多种多样，教师们需要根据不同学习内容的特点选择恰当的数学史料，并合理选择融入的方式。在教学中融入数学史主要分为：导入环节融入、新授环节融入、巩固拓展融入。[34]例如小学六年级下册数学广角中的鸽巢问题，有些教师喜欢用笔和笔盒探究出规律后引入相关的史料，有些教师则更喜欢在课堂导入环节用古代的鸽巢问题作为切入点引出课题，另有一些教师希望学生在课后搜集有关鸽巢问题及其衍生的数学史料。具体的方式教师需要从本身的技能水平、知识内容的特点、学生的学习习惯等多个方面综合考虑后再做出决定，万不可千篇一律，照搬照套。3.注重挖掘数学史中蕴含的人文价值，培养学生正确的人生观 数学史作为“人文思想教育的主要手段”[35]，对于学生良好数学观的形成、学习热情和数学思想方法的培养都有着重要的作用。一直以来，数学课堂中体现数学史的人文价值时，常常表现为顺手拈来，零星渗透，厚古薄今，着重于“民族自豪感”等“外在”教育[36]。尽管近代数学之所以能发展到今天，主要是靠中国的数学，而非希腊的数学[37]，但是教师向学生传授的数学史不应该是纯粹的中国数学史，而应该是世界数学史。除了激发学生的民族自豪感之外，对于其他国家著名数学家可歌可泣的故事，也应当从中抽取出值得借鉴的精神。例如不怕繁琐与劳累，将零碎的几何事实串联起来的欧几里得；力排众议，创建“集合论”的康托；敢于质疑权威，坚持真理的罗巴切夫斯基……同时，数学的发展也并非是一帆风顺、一派和谐的。数学历史中出现的三次危机、“连续函数一定可导”的命题等一系列对数学发展产生冲击的历史事实在一次次的证明与反驳中不断完善，有些被认为是正确的数学命题也曾误导了几个世纪的人们。这些数学发展过程中走过的弯路对于学生而言也具有极大的价值，数学教师应当让学生知道并非所有的知识都是绝对真理，数学不是完美的，而是有些许瑕疵的，培养学生敢于质疑权威的意识。4.渗透数学思想方法，培养理性思维 数学思想方法是数学的灵魂。胡典顺教授认为，在宏观上，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力；在微观上，只有从知识和思想方法两个层面上去教和学，学生才能形成良好的认知结构。而数学发现、发明的过程包含在数学史中，例如解析几何的创立实现了形和数的沟通，数形结合的思想才有生长的土壤。有了新的思想方法，数学才会有创新，才能够继续向前发展。在小学数学课堂中融入数学史知识，介绍数学发现、发明的过程，就是向学生渗透其中蕴含的数学思想方法的过程。只有把学生放在适当的历史和数学语境下，经历数学知识的再创造过程，亲身体验教材中数学知识从不确定的“问题状态”向相对确定的“结果状态”转化的过程，他们才能真正理解数学知识、数学思想方法[38]。（三）教材方面1.数学史呈现的多样化数学课堂中的数学史可以以数学课本、数学读本、选修课程和专题研究等形式呈现[39]。随着时代的进步，同一数学史料在课堂中呈现的方式多种多样，教师应摈弃传统的一成不变的方法，寻找突破与创新。数学史融入教材不是只能以文字印刷的方式展现给学生，也可以采用现代媒体手段，例如使用教材配套的光盘或相关的网页链接，以故事、情景剧等方式将数学史活灵活现地呈现在学生面前。[28]打破静态、呆板的大段文字的方式，让数学史更好地发挥它本身的魅力。2.数学史内容的多元化 呈现多元文化数学内容，让学生尊重、分享、欣赏和理解不同文化背景下的数学成果，这是“数学史融入数学课程”和“数学史融入教科书”的突破点[40]。数学是人类文化的一部分，数学史有着相应的文化背景，在多元文化的背景下，数学史内容必然呈现出多元化的趋势。例如“勾股定理”的证明，其方法众多，不同的方法代表着不同的文化、不同的民族思维方式。因此将数学史编入教材中时，应注意呈现多元的数学史内容，使得学生能从不同的方法中体会古希腊人对理性的追求，体会中国古代对实用数学的重视等。3.数学史编排的合理化 向慧的调查结果显示，大部分教师认为教材中的数学史知识分布比较散，于是对于如何组织数学史教学犯了难[4]。在教材的编排上，应考虑到该年龄段的学生处于何种思维发展水平，考虑到涉及的数学史本身有什么样的特征，遵循量力性等原则，使得数学史内容的抽象程度不高于学生的理解水平，使学生能够接受并理解的。同时，笔者认为应建设一支由教材编写者、数学史学家、一线教师等组成的专业团队，共同设计教材中的数学史，将数学史料放置于适当的位置，发挥更大的作用。结语数学史与数学教育作为一个方兴未艾的数学研究领域，其教育价值不断被人们挖掘，也逐渐掀起了将数学史融入数学课堂的热潮。然而就如张奠宙教授所言，数学史在教学过程中依然存在着明显的“高评价，低应用”的情况。究其根本，主要是数学教师的教育观念还未及时更新、或是数学教师没有足够的数学史储备导致心有余而力不足的窘况。因此，如何才能冲破重重桎梏，将数学史的教育价值充分发挥出来，是HPM领域亟待解决的难题。尤其是在初等教育阶段，数学史融入数学教学能起到很好的奠基作用，为学生正确数学观、人生观的形成做好准备，为学生建构良好的数学认知结构做好准备，为学生了解数学思想方法做好准备。因此，笔者专门对小学阶段的数学教育进行了细致的分析，从人教版小学数学教材入手，整理分析其中的数学史料，为一线教师数学史教学提供帮助。继而在充分分析了数学史融入小学数学教学的理论基础后，对数学优质课进行了深入分析，并从三个方面提出了小学数学教学融入数学史的策略。 本研究原想调查数学史融入小学数学的现状，并根据相关理论设计融入数学史的教学案例进行实践对比研究。然而限于条件不足，未能亲自设计问卷调查所在省市的数学史应用情况，也未能进行实践研究，这是本研究最为可惜的一点。于是将研究方法改为个案研究法，通过观看并记录融入了数学史的小学数学优质课，从中提出促进数学史教学的有效策略。由于笔者研究水平和能力均十分有限，导致研究或多或少存在一些问题，比如对于有关数学史与数学教育的文献资料收集不够全面，对于数学史的教育价值论述太过宽泛，对于数学史融入教学的理论基础分析不够透彻等。幸运的是，在导师的指导下，有所改进，但是离有水平的学术论文还有着较大的差距。因此，这也坚定了我继续学习的决心，在日后的工作或学习中，不断从实践中获取经验，提高我的研究水平。参考文献[1]JamesK.Bidwell.HumanizeYou