数学思想方法

数学思想方法及解题策略数学思想方法是策略性知识，开展学生智力最经济、有效的方法就是培养学生应用策略性知识的能力“少考一点算，多考一点想”，实质是加重对“数学思想方法”的考查06年四川卷统计如下〔数学思想方法〕：〔1〕数形结合：文4〔理7〕；文6〔理5〕；文〔理〕15；〔2〕分类讨论思想：文〔理〕12；理20；〔3〕化归思想贯穿始终高考中常用的数学思想有：函数与方程；数形结合；化归与转化；分类讨论一、函数与方程思想1．函数是中学数学的主线无处不函数高考函数比重每年都较大著名数学家克莱因说过：一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情就是用变量和函数来思考函数思想是一个重要的根本数学思想，其重要性不仅表现为五个根本初等函数的研究占据了高中数学的中心地位，而且还表现为：①方程或不等式可作为有关函数的零点、单调性、正负区间或极值来处理②数列作为特殊的函数，一直处于高考的热点上③作为函数概念的根底——集合与映射，已在高考中作为数学根本语言、数学根本工具而大量出现④其他数学问题，特别是表达参数讨论或运动观点的问题，常可用函数思想来分析或用函数方法来解决函数在高考中的重要地位——试题以函数为主线，不仅题量较多，而且高难题常与函数直接联系函数思想在解题中的应用，主要表现在两个方面：①借助于有关初等函数的性质，解有关求值、解〔证〕不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题②在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，到达化难为易、化繁为简的目的2．高考中的方程问题包括方程的求解与方程观的应用分成逐渐提高的4个层次：第一层次：解方程第二层次：带参变数的方程的讨论第三层次：转化为方程的讨论第四层次：构造方程求解问题例1：一等差数列的前10项和为100，前100项的和为10，求该数列前110项的和.〔〕分析：本例常规解法有二：一是依列出关于、的方程组，求出、，再代入公式求．二是利用，，,……成等差数列，求出新数列的公差，然后求新数列前11项的和．假设注意到等差数列中，可知是的一次函数，于是可用一次函数的图象——直线求解．解：由条件=100，=10．∵仍是等差数列，∴，,三点共线，于是有，即，解得．例2：关于方程总有解，那么实数的取值范围是．〔〕分析：设，转化为关于的一元二次方程．令,那么问题转化为二次函数与横坐标轴在上有交点的问题，可用根的分布解决，要注意有两种情况．假设将原方程化为：〔别离系数法〕．显然又有，故．例3：，设，试确定实数的取值范围，使得对于一切大于1的正整数，不等式－恒成立．〔〕分析：本例无法求和，常规数列方法不起作用，需用非常规手段．注意要使不等式－恒成立，只需不等式：－恒成立．问题转化为求，这又是一个非常规问题．注意，可猜想,怎样证明这个结论？可联想用函数单调性证明是增函数，这样把问题转化为解不等式，得到．注：在有关不等式问题中，要区分以下命题：①恒成立；②恒成立；③有解；④有解.对于“恒成立”的不等式，一般地，解决的途径为：别离系数——求最值例4：我国是水资源比拟贫乏的国家之一，各地采用价风格控等手段来到达节约用水的目的．某市用水收费的方法是：水费＝根本费＋超额费＋损消耗。假设每月用水量不超过最低限量时，只付根本费8元和每户每月的定额损消耗元；假设用水量超过时，除了付同上的根本费和损消耗外，超过局部每立方米付元的超额费．每户每月的定额损消耗不超过5元，该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示：月份用水量／〔〕水费〔元〕1992151932233根据上表中的数据，求．〔，，〕分析：设每月用水量为，支付费用为元，那么：由题意知：，∴．由表知第2、3月份的费用均大于13元，故用水量、均大于最低限量，将分别代入(2)式得再分析1月份的用水量是否超过最低限量．假设，将代入(2)式与(3)矛盾∴，即1月份的付款方式应选(1)式．那么，∴故，，例5：，求证：．分析：．从方程观点来看，以、为根的二次方程应有判别式等于零，对照条件，恰好是判别式的形式．证明：条件说明，以、为根的二次方程有判别式等于零，故得两根相等，从而有．例6：设且，抛物线被轴截得的弦长为，证明：．分析：〔1〕由于弦长是与，，有关的变量，假设能建立的表达式，那么结论相当于确定函数的值域．〔2〕为确定函数的值域，需完成三件事：①求出变量的解析式；②确定解析式中的自变量及其取值范围；③由以上两项推出求证式．证明：在中，∵且，∴．∴.故方程必有两个不等实根、，那么．显然是的二次函数，由且可得，再由二次函数的单调性知，当时是单调递减的。∴，即．但，故．二、数形结合思想华罗庚先生指出：数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休所谓数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题得到解决数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，高中阶段用得较多的是“以形助数”1．进行数形结合的信息转换，主要有三个途径：①建立坐标系，引入参变数，化静为动，以动求解；②转化为熟悉的几何模型来求解；③构造几何模型来求解．2．数形结合的主要渠道有：①绝对值、二次根式所蕴含的距离问题；②解析几何中定比分点、斜率、曲线与方程、区域与不等式；③函数与其图象间的几何变换；④向量的几何意义；⑤三角函数中单位圆中的三角函数线及正、余弦函数的图象变换；⑥复数的几何意义；⑦立体几何模型．其中以②、③为背景来实现其对应关系的转化最为普遍，是中学数学数形结合思想方法的最重要的局部．3．数形结合思想常联想的数学模型：①联想一元一次函数图像；②联想一元二次函数图像；③联想定比分点公式；④联想斜率公式；⑤联想两点间的距离公式；⑥联想点到直线的距离公式；⑦联想直线的夹角公式．4．数形结合思想常可以构造的几何模型：①构造单位圆解题；②构造椭圆解题；③构造双曲线解题；④构造抛物线解题；⑤构造三角形解题；⑥构造物理知识模型．5．高考中，用数形结合思想的题常有下面几种类型：①利用图形求值；②利用图形求解的个数；③利用图形求参数的范围；④利用图形解不等式；⑤利用图形求最值；⑥利用方程、点的坐标研究图形的关系、形状等；⑦利用函数式研究图像的性质等等．难点在于学生参与数与形的体验水平转化是目的，作图是根底，识图是关键例7：，那么的最小值是．〔〕分析：如果将看成是两点间的距离，那么我们头脑中立即构造了一个几何模型：点到直线的距离即为满足题设条件的最小值．易知．例8：〔2000年全国〕函数，其中．①解不等式；②证明：当时，函数在区间上是单调的．分析：①可以用常规解题思路进行，也可以运用图像法解不等式．②常规解题思路是用函数单调性的定义证明，但假设用导数证明将十分简单．，当时，又，∴,故在区间上是单调递减函数．例9：函数对任意实数有，且图像过点，那么的值为〔〕〔〕分析：由条件知是函数的对称轴，即．而，∴只有，且，∴．∵图像过点得，∴．∴选〔〕例10：当曲线与直线有两个交点时，实数的取值范围是〔〕〔〕 分析：作出图像，由图像知：，又，∴选〔〕例11：变量，满足，求：①的最大值；〔21〕②的最小值；〔〕③的取值范围．〔〕分析：准确理解目标函数的几何意义，作出满足条件的区域．此题：是利用直线在轴上的截距作转化是利用两点间的距离作转化③是利用过两点的直线的斜率作转化例12：如果实数、、、满足：，求＋的最大值和最小值．分析：此题假设用代数方法求解将十分困难，但假设联系图形来解那么可化难为易．由条件，得，因此，可视为圆上的动点，可视为圆上的动点，而＋是、两点间距离的平方，于是，过两圆圆心、作直线分别与两圆相交，那么：；.三、化归与转化思想数学思想中的一条重要原那么是不断地变更问题，使所要解决的问题由难变易或变为已经解决过的问题，或者把某一数学分支中的问题变为另外一个数学分支中的问题，以利于问题的解决．化归转化化归转化原问题①已经能解决的或比拟容易解决的问题②解答②解答①对应回去化归是一种运动，只有在不断的运动中，矛盾才能解决“解题过程就是不断变更题目的过程”化归要求我们换一个角度观察，换一种方式思考，换一种语言表达，用另一种观点处理问题化归思想包括了我们所研究过的许多数学思想和方法用化归方法解题时要求学生的思维一定要有灵活性，多样性，多联想，多开放总的指导思想是：⑴化难为易；⑵化生为熟；⑶化繁为简化归与转化思想的主要解题途径：⑴未知问题转化成⑵函数与方程、不等式间的转化⑶空间与平面的转化⑷数与形之间的转化⑸一般与特殊的转化⑹等与不等的转化⑺高次与低次的转化⑻整体与局部的相互转化⑼正与反的转化常见的转化方法有：⑴直接转化法⑵换元法⑶数形结合法⑷参数法⑸构造法⑹坐标法：〔立体几何与解析几何〕⑺类比法⑻特殊化方法⑼一般化方法⑽等价问题法⑾加强命题法⑿补集法以上所列的一些方法是互相交叉的，不能截然分割例13：假设实数满足：，那么的最大值是〔〕分析：二元函数的最值问题一般有两种思路：一是把二元函数问题转化为一元函数问题二是利用根本不等式或几何意义求解法一：设＝，那么，代入条件中得．由方程有解知．法二：即．令，＝，那么，．法三：设＝，即．由圆心到直线的距离等于半径得或．∴．例14：，那么〔〕分析：把看作函数取值时的值，注意到在上、均是减函数，从而在上也是减函数，∵，又，∴．∴．∴．故应选〔〕例15：求函数的最大值和最小值．分析：本例是一个典型的用换元法解的题目，通过换元将三角问题转化为较熟悉的一元二次函数在闭区间上的最值问题．这里需要特别注意的是：①换元后新变元的允许取值范围；②正确讨论对称轴与区间的位置关系．〔；〕例16：：，，假设是的必要不充分条件，求实数的取值范围．分析：由转化出；由转化出．是的必要不充分条件．例17：假设、是不同的两个锐角且满足〔≤＋〕，试证明：.分析：、是方程的两个解，那么.注意，，考虑到点、既在直线上，又在单位圆上，此问题可化归为代数问题求解．由方程组消去〔不妨设〕得，由韦达定理，得，利用三角变换可证．例18：如图，在正方体中，点、分别是、的中点．②求与所成角；③证明：面面；④设，求三棱锥的体积．例19：设，定义，，求证对一切正整数，有．分析：本例容易想到用数学归纳法证明．显然，但假设仅假设,那么很难由递推公式推出．这是因为这里的出现在分母上，为得到，即得到，即要求,将原命题化归为更强的命题：即证明对一切正整数，有．证明：①当时，由,知,又，∴,即时命题成立．②假设时命题成立，即,那么，当时，,又．∴,即当时命题成立．据①、②可知对一切正整数，原命题成立．四、分类与讨论思想当一个数学问题比拟复杂时，可以将其分割成假设干个小问题或分解为一系列的步骤，通过局部的解决来实现整体的完成，这就是分类与讨论的根本想法．分类的好处至少有两条：其一：把大问题分为小问题时，常能到达简单化的目的其二：分类标准本身等于增加了一个条件，实现了有效增设高考中考生的主要问题：分类不合理或讨论不全面而造成大量失分〔一〕引起分类讨论的因素分析1．由概念的定义引起的分类讨论有些概念是分类定义的，在解决问题时，必然引起分类讨论有些概念在定义时，明确了范围，也将引起分类讨论例20：解不等式．分析：由对数定义知，不等式等价于，显然要去绝对值符号，需对分区域进行讨论．〔这是由绝对值的定义引起的分类讨论，讨论时需根据绝对值的零点分区域讨论的方法进行〕〔答案：〕例21：〔06年四川高考第12题〕从0到9这10个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为〔〕〔〕分析：从0到9这10个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除，可先求出能被3整除的数．所有的三位数有＝648个，将10个数字分成三组，即被3除余1的有，被3除余2的有，被3整除的有．假设要求的3位数被3整除，那么可以分类讨论：①假设三个数字均取自第一组，或均取自第二组，此时共有个；②假设三个数字均取自第三组，那么要考虑取出的数字中有无数字0，此时共有个；③假设三组各取一个数字，第三组中不取0，共有个；④假设三组各取一个数字，第三组中取0，共有个．这样被3整除的数共有228个，不能被3整除的数有420个，所以概率为．选〔〕2．由性质、定理及公式引起的分类讨论某些数学性质、公式或定理在不同的条件下有不同的结论，或者需在一定的限制条件下才成立，在解决这类问题时可能引起分类讨论．例22：〔06年四川高考第20题〕数列，其中，，＝〔≥2〕．记数列的前项和为，数列的前项和为．〔Ⅰ〕求；〔Ⅱ〕设，，〔其中为的导函数〕，计算．分析：〔Ⅰ〕由题意易知，是首项为1，公差为2的等差数列，，，．〔Ⅱ〕，．下面求，涉及到等比数列的求和公式，必须对公比进行分类讨论．3．由参数的变化引起的分类讨论某些含有参数〔常数〕的问题，由于参数的取值范围不同会导致所得结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的推算方法，这时需要分类讨论．例23：函数，其中，为自然对数的底数．①讨论的单调性；②求函数在区间上的最大值．分析：本例首先应想到对函数求导，注意的取值对函数的影响。答案：①时，在为增，在为减；时，在为增