《计数原理排列组合》解题思维方法(含答案)

《计数原理排列组合》解题思维方法姓名：类型1：【分步计数】1、甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有96种【解】甲选2门有C4种选法，乙选3门有C3种选法，丙选3门有C3种选法.・,・共有C4qq=96（种）选法.2、如图所示，有五种不同颜色分别给A、B、。、D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有 180种．【解】按区域分四步：第一步A区域有5种颜色可选；第二步B区域有4种颜色可选；第三步C区域有3种颜色可选；第四步由于重复使用区域A中已有过的颜色，故也有3种颜色可选用.由分步计数原理，共有5x4x3x3=180（种）.3、有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定。技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是 32【解】CiA2A2=328224、今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 1260种不同的排法．（用数字作答）【解1】由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C9C5-C3=1260（种）排法.A9【解2】 ~=1260A4A3A24325、（海、宁）某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有240种.（用数字作答）【解】由题意可知有一个工厂安排2个班，另外三个工厂每厂一个班，共有Ci-C2•A3=240.种安排方法。4536、（重庆）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为288（以数字作答）【解】先排数学课有C1种排法，再排最后一节有C4种排法，剩余的有A4种排法，共有CiC4A4=288种排法。7、5男生和5女生站成一排照像，男生相邻,女生也相邻的排法有A2A5A5种8、某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是576【解】前4次中，必须有3只次品1只正品 /.C3CiA4=5764649、将编号为1、2、3、4的四个小球全部放入编号为1、2、3的三个盒子里，若要使得放入小球的编号数不小于盒子的编号数，则放小球的方法的种数为18A.81种 B.27种 C.18种D.12种【方法】分步计数原理3义3义2=1810、（难度）只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有（C）A.6个 B.9个 C.18个 D.36个【解】C3.A22.C3=18（种）排法.要领：有差异取排列，无差异取组合。11、将6名男生、4名女生分成两组，每组5人，参加两项不同的活动，每组3名男生和2名女生，则不同的分配方法有（B）A.240种 B.120种 C.60种D.180种【解析】从6名男生中选3人，从4名女生中选2人组成一组，剩下的组成一组，则C3C2=120.64类型2：【分类分步计数】1、山东鲁能、上海申花、天津泰达与杭州绿城四家中国足球俱乐部参加了2012年赛季亚洲足球俱乐部冠军联赛，为了打出中国足球的精神面貌，足协想派五名官员给这四支球队做动员工作，每个俱乐部至少派一名官员，且甲、乙两名官名不能到同一家俱乐部，则不同的安排方法共有多少种（用数字作答）?【解】法一：根据题意，可根据甲、乙两人所去俱乐部的情况进行分类：（1）甲乙两人都单独去一个俱乐部，剩余三人中必有两人去同一家俱乐部，先从三人中选取两个组成一组，与其他三人组成四个小组进行全排列，则不同的安排方法有C3A4=3x24=72（种）；（2）甲、乙两人去的俱乐部中有一个是两个人，从其剩余三人中选取一人与甲或乙组成一组，和其他三人形成四个小组进行全排列，则不同的安排方法有C2c3A4=2x3x24=144（种）.所以不同的安排方法一共有72＋144=216种．法二：若甲、乙两人可以去同一家俱乐部，则先从五人中选取两人组成一组，与其他三人形成四个小组进行全排列，则不同的安排方法共有C5A4=10x24=240种；而甲、乙两人去同一家俱乐部的安排方法有C2A4=24种.所以甲、乙两人不能去同一家俱乐部的安排方法共有240－24=216种．类型3：【插空法】1、8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（A）A．A88A92 B．A88C29 C．A88A27 D．A88C27【解】不相邻问题用插空法，先排学生有A8种排法，老师插空有A2种方法，所以共有A8A2种排法.2、某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（D）A.C31种 B.A3种 c.C9种 D.C83种3、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？【解】分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有A5种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元5素中间包含首尾两个空位共有种A4不同的方法，由分步计数原理,节目的不同顺序共有A5A4一种元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两 端4、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为二05、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为2【解法1】插空法：6x7=42A7【解法2】动静对比法：A5=7x6=4256、不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法种数共有24.【方法】捆绑法+插空法：A2A2A2=24223类型4：【捆绑法】1、6人站成一排，甲、乙、丙三人必须站在一起的排列种数为144【解】捆绑法：A3•A4=144342、有4件不同的产品排成一排，其中A、B两件产品排在一起的不同排法有—12种.【解】相邻问题“捆绑法”，将A、B两件产品看成一个元素，则三个元素全排列数为AL又A、B两件之间有序排列数为A；，因此共有A3A；=12种排法.3、7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有A5A2A2=480种不同的排法522要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须排列.4、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为二0类型5：【间接法】正难则反总体淘汰策略1、从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,则不同的取法有51种。解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇数，所取的三个数含有3个偶数的取法有C；,只含有1个偶数的取法有C1C1和为偶数的取法共有C1C2+C3。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有C1C2+C3-955 5 55 5有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂，而它的反面往往比较简捷，可以先求出它的反面，再从整体中淘汰.2、我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?【解】C5-C543 413、假设在200件产品中，有3件次品，现在从中任意抽出5件，其中至少有2件次品的抽法有(B)AC2C197种 B・（C2c397+C3c297）种c（c200—c59）种 D.（c5°0—c3c497）种【解】方法一（直接法）至少有两件次品的抽法有两种可能，即①2件次品，3件合格品有：CgC397种;②3件次品，2件合格品有：c3c297种.由分类计数原理得抽法种数为（C2C197+C3c297）种.所以选B.方法二（间接法）不论次品，抽法有c500种，恰有1件次品的抽法数为7^97种，没有次品的抽法种数为cq97种，至少有2件次品的抽法种数为95。。一cq97—c3c497）种.所以选B.【备注】理解对“至少”“至多”等词的含义，分清事件的类别，用直接法解；或者是反面考虑，用间接法解答．4、（2013全国）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共方480种.（用数字作答）.【解1】逆向思维A6—A2A5=4806 25【解2】插空法：A4•A2=480455、某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有一25种【解1】学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，有三种方法，一是不选甲乙共有C45种方法，二是选甲，共有C；种方法，三是选乙，共有C；种方法，把这3个数相加可得结果为25【解2】逆向思维：C4-C2C2=257 256、将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为30【解】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C2，顺序有A3种，而甲乙被分在同一43个班的有A3种，所以种数是C2A3-A3=303 43 37、（2013重庆）从3名骨科.4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是 590（用数字作答）【解】逆向思维：C5-（C5+C5+C5）+C5=59012 7 8 9 5类型6：【穷举法】实际操作1、设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，有20种投法解：从5个球中取出2个与盒子对号有2种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球,3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法，由分步计数原理有2C;种巴口口3号盒4号盒5号盒对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果2、同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有9种。【解】穷举法、等价法3、给图中区域涂色，要求相邻区域不同色，现有4种可选颜色,则不同的着色方法有72_种【解】24 4

【解】24 4类型7：【优先法】1、实验员从8种化学药品中选出4种，放在4个不同的瓶子里，若甲、乙两种药品不宜放入1号瓶，则不同的方法有 1260种．【解】先选放入1号瓶的．2、由0,1,2,3,4,5可以组成 288个没有重复数字五位奇数.3414ic解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置3414ic然后排首位共有。4最后排其它位置共有A34由分步计数原理得。。43二288434位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件14403、7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，则有1440不同的种法。【解】A2A545类型8：【差异法、对比法】1、按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？(1)各组人数分别为2,4,6人；(2)平均分成3个小组；

(3)平均分成3个小组，进入3个不同车间工作．【解】(1)C22c40c6=13860；(2)C4A4C4=5775；(3)C4A34"A3=C4<gq=34650.【解】(3)分两步：第一步平均分三组；第二步让三个小组分别进入三个不同车间，故有9誉么3=A3 3C42q・C4=34650种不同的分法.2、北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 (A)A．C12C4CA．C12C4C414 12 8B．C12A4A414 128c．C12C4C4

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3D．C12C4C4A314 12 8 3【解】组合数连乘，包含排列。类型9：【等价转化法】1、已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有126个【解】此题可化归为：圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有C$=126个.2、、2013浙江)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排，且A,B均在C的同侧，则不同的排法共有480_种(用数字作答)【解1】逆向思维A6-(2x4+2x2x3)x2xA3=480；634【解2】—A6=48066类型10：【平均分组问题除法】1、6本不同的书平均分成3堆，每堆2本共有15分法。解：分三步取书得C:C:C22种方法，但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF,若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则C2C:C22中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有A3种取法，而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有C62C4C2/A3种分法。平均分成的组，不管它们的顺序如何渚B是一种情况，所以分组后要一定要除以An(n为均分的n组数)避免重复计数。2、将13个球队分成3组，一组5个队，其它两组4个队，有 45045分法.(C5C4C4/A2)138 4 23、10名学生分成3组，其中一组4人，另两组3人但正副班长不能分在同一组，有 1540不中不同的分组方法C4C3C2C3【解】———C1C4=1540A2 A2 87224、某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为 90 (C2C2A2/A2=90)426 2类型11：【重排问题求幂】1、把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有二种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有76种不同的排法允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为mn种2、某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法78类型12：【排列组合混合问题先选后排】1、有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.【解】抽屉原理；第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C2种方法.再把4个元素(包含一个复合

元素）装入4个不同的盒内有A4种方法，根据分步计数原理装球的方法共有C2A44 5 4解决排列组合混合问题，先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗？2、一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加，则不同的选法有192种类型13：【构造模型策略】1、马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏，求满足条件的关灯方法有10种。解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有C3种5__一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决2、某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有120种。【解】插空法类型14：【隔板法】元素相同问题1、有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个方—c;一种分配方案。解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板方法对应一种分法共有C6种9分法。将n个相同的元素分成m份（n,m为正整数），每份至少一个元素，可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为Cm-12、10个相同的球装5个盒中，每盒至少一个，则有 C4种装法。93、x+y+z+w=100，则这个方程组的自然数解的组数为 C3103【解】等价转化+隔板法：求(X+1)+(y+1)+(z+1)+(w+1)=104，即x+y+z+狡=1040000这个方程组的自然数解的组数。4、(2006年全国卷I)设集合I=｛1,2,3,4,5｝。选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有A．50种 B．49种 C．48种 D．47种【解】显然AB=0，设AB=C，则C是I的非空子集，且C中元素不少于2个(当然，也不多nu于5个)。另一方面，对I的任何一个k(2&k45)元子集C，我