等差数列前项和的性质

关于等差数列前项和的性质等差数列的前n项和公式:形式1:形式2:复习回顾第2页,共23页，2024年2月25日，星期天1.将等差数列前n项和公式

看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数则Sn=An2+Bn令第3页,共23页，2024年2月25日，星期天等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法1由S3=S11得∴d=－2∴当n=7时,Sn取最大值49.第4页,共23页，2024年2月25日，星期天等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=－2<0∴当n=7时,Sn取最大值49.则Sn的图象如图所示又S3=S11所以图象的对称轴为7n113Sn第5页,共23页，2024年2月25日，星期天等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法3由S3=S11得d=－2∴当n=7时,Sn取最大值49.∴an=13+(n-1)×(-2)=－2n+15由得第6页,共23页，2024年2月25日，星期天∴a7+a8=0等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法4由S3=S11得∴当n=7时,Sn取最大值49.a4+a5+a6+……+a11=0而a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又d=－2<0,a1=13>0∴a7>0,a8<0第7页,共23页，2024年2月25日，星期天求等差数列前n项的最大(小)的方法方法1:由利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.方法2:利用an的符号判定①当a1>0,d<0时,此时Sn有最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得.②当a1<0,d>0时,此时Sn的最小值,其n的值由an≤0且an+1≥

0求得.第8页,共23页，2024年2月25日，星期天练习:已知数列{an}的通项为an=26-2n,要使此数列的前n项和最大,则n的值为()A.12B.13C.12或13D.14C第9页,共23页，2024年2月25日，星期天2.等差数列{an}前n项和的性质性质2:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也是等差数列,公差为在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有n2d性质1:为等差数列.

性质3:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则第10页,共23页，2024年2月25日，星期天（2)若项数为奇数2n－1,则

S2n-1=(2n－1)an(an为中间项),

此时有:S奇－S偶=

,an性质5:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p=－(m+p)性质6:若Sm=Sp(m≠p),则Sp+m=0性质4:(1)若项数为偶数2n,则

S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中间项),此时有:S偶－S奇=,nd第11页,共23页，2024年2月25日，星期天例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=()A.63B.45C.36D.27例2.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=()A.85B.145C.110D.90BA3.等差数列{an}前n项和的性质的应用第12页,共23页，2024年2月25日，星期天例3.一个等差数列的前10项的和为100,前100项的和为10,则它的前110项的和为

.－110例4.两等差数列{an}、{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,且求和.等差数列{an}前n项和的性质的应用第13页,共23页，2024年2月25日，星期天例5.一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数项的和与项数为奇数项的和之比为32:27,则公差为

.例6.(09宁夏)等差数列{an}的前n项的和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m=.例7.设数列{an}的通项公式为an=2n-7,则|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|=

.510153等差数列{an}前n项和的性质的应用第14页,共23页，2024年2月25日，星期天例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.(1)求公差d的取值范围;(2)指出数列{Sn}中数值最大的项,并说明理由.解:(1)由已知得a1+2d=1212a1+6×11d>013a1+13×6d<0等差数列{an}前n项和的性质第15页,共23页，2024年2月25日，星期天(2)∵∴Sn图象的对称轴为由(1)知由上得即由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.∴Sn有最大值.第16页,共23页，2024年2月25日，星期天练习1已知等差数列25,21,19,…的前n项和为Sn,求使得Sn最大的序号n的值.第17页,共23页，2024年2月25日，星期天练习2:求集合的元素个数，并求这些元素的和.第18页,共23页，2024年2月25日，星期天练习3：已知在等差数列{an}中,a10=23,a25=-22,Sn为其前n项和.（1）问该数列从第几项开始为负？（2）求S10（3）求使Sn<0的最小的正整数n.(4)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的值第19页,共23页，2024年2月25日，星期天课堂小结1.根据数列前n项和，求通项公式.2、结合二次函数图象和性质求=An²+Bn的最值.第20页,共23页，2024年2月25日，星期天2.等差数列{an}前n项和的性质性质2:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也是等差数列,公差为在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有n2d性质1:为等差数列.

性质3:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则第21页,共23页，2024年2月25日，星期天（2)若项数为奇数2n－1,则

S2n-1=(2n－1)an(an为中间项),

此时有:S奇－S偶=

,an性质5:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p=－(m+p)性质6:若Sm=