直线与椭圆的位置关系的判断

关于直线与椭圆的位置关系的判断问题1：点与椭圆的位置关系判定：点在椭圆内、上、外。例1.椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴顶点，而其重心是椭圆的一个焦点，求椭圆的离心率的取值范围。第2页,共17页，2024年2月25日，星期天问题2：直线与椭圆位置关系种类相交相切相离二个一个0个注意观察交点个数。第3页,共17页，2024年2月25日，星期天问题2：直线与椭圆位置关系判断方法：已知[1]将直线方程代入椭圆方程，得到x（或y）的一元二次方程[2]计算一元二次方程的判别式△[3]若△

0，说明直线与椭圆相交若△=0，说明直线与椭圆相切若△<0，说明直线与椭圆相离第4页,共17页，2024年2月25日，星期天问题2：直线与椭圆的位置关系判定：由于椭圆是封闭型曲线，直线和椭圆的位置关系问题直接转化为联立方程组，由判别式或实数解的情况进行判定，利用方程组的实数解求交点、切点坐标。直线与椭圆的位置关系有三种：相交、相切和相离。把直线方程代入椭圆方程得到一元二次方程计算判别式>0=0<0相交相切相离第5页,共17页，2024年2月25日，星期天例2、已知直线，椭圆。试问当

直线与椭圆(1）相交？（2）相切？（3）相离？取何值时，问题3：直线与与椭圆相交所得的弦长公式：若直线与椭圆相交于两点，则弦长公式：第6页,共17页，2024年2月25日，星期天所以，求直线和椭圆相交所得的弦长，只需将直线方程与椭圆方程联立，转化为关于或的一元二次方程形式，通过韦达定理求得，代入弦长公式计算即可。注意弦长公式中一定要书写两点间距离公式。设而不求整体化思想第7页,共17页，2024年2月25日，星期天特例：椭圆的焦点弦长公式：若过焦点的直线与椭圆相交于两点，若过左焦点，则若过右焦点，则；例3、已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长。第8页,共17页，2024年2月25日，星期天问题4：直线方程的设法问题：直线方程有两种设法：①如果已知直线在轴上的截距为，或恒过定点时，方程设为，注意对斜率存在或不存在进行分类讨论。②如果已知直线在轴上的截距为或直线过点时，方程设为或，不需要对分类讨论，当时直线斜率不存在，当时，直线斜率为问题5：椭圆面积公式：第9页,共17页，2024年2月25日，星期天椭圆的两个焦点为F1、F2

，过左焦点作直线与椭圆交于A，B两点，若△

AB

F2

的面积为16，求直线的方程。例4变：假如直线是过原点，其它条件不变，求直线的方程。xyB（x1,y1）F1F2o（x2,y2）A第10页,共17页，2024年2月25日，星期天问题6：解决中点弦问题的两种方法：①“点差法”：涉及到直线和圆锥曲线相交所得弦的中点问题时，设点作差。体现“设而不求”的数学思想。②“韦达定理法”：联立方程组，将直线方程代入椭圆方程，转化为关于或的一元二次方程形式，通过韦达定理求得，或，除以2，得中点横坐标或中点纵坐标。例5、点为椭圆内一定点，过点P作一弦，使此弦在P点被平分，求此弦的方程。第11页,共17页，2024年2月25日，星期天问题7：研究直线和椭圆相交的问题时，必须注意的两点：①对斜率分类讨论；②遇到“直线与椭圆相交于不同两点A、B”条件时，这个隐含条件。必须书写例6、椭圆的方程为，试确定的取值范围，使得椭圆上存在两个不同的点关于直线对称。第12页,共17页，2024年2月25日，星期天问题8、椭圆中的最值性问题：（1）．椭圆外有一点，内有一点，P为椭圆上任意一点，若要求最小，B

CD（2）．设，则的最小值是（）BCD则这最小值是（）AA第13页,共17页，2024年2月25日，星期天(3)、已知椭圆的右焦点是，点在椭圆内，点M是椭圆上的动点，求的最大、最小值。上的点，为左右焦点，求的最大、最小值之差是多少？(4)、已知P是椭圆第14页,共17页，2024年2月25日，星期天(5)、已知椭圆，直线。椭圆上是否存在一点，它到直线的距离最小？最小距离是多少？(6)、过椭圆x2+2y2=4的左焦点作倾斜角为300的直线，则弦长|AB|=_______,通径长是_______第15页,共17页，2024年2月25日，星期天课后作业题:已知:直线和椭圆相交于A，B两点，按照下列条件，求出直线的方程。

（4）直线和轴交于点P,

使F1F2ABP(1)使(2)使线段AB被