直角三角形全等的判定

关于直角三角形全等的判定学习目标1.探索并掌握两个直角三角形全等的条件：HL，并能应用它判别两个直角三角形是否全等．教学重点:理解，掌握三角形全等的条件HL2.经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维．3.提高应用数学的意识．教学难点:应用HL解决有关问题第2页,共46页，2024年2月25日，星期天三角形全等的条件(HL)第3页,共46页，2024年2月25日，星期天复习：1、判定两个三角形全等的条件有哪些？边角边（SAS）2、根据以上条件，对于直角三角形，除了直角相等的条件外，还要满足什么条件，这两个直角三角形就全等？ABCA`B`C`直角三角形ABC可以表示为Rt△ABC边边边（SSS）角角边（AAS）角边角（ASA）第4页,共46页，2024年2月25日，星期天讨论：对于Rt△ABC中，∠B=∠B`=90°，还要满足什么条件，△ABC≌△A`B`C`？ABCA`B`C`(1)添加AB=A`B`，BC=B`C`，利用“SAS”可证明△ABC≌△A`B`C`。(2)添加AB=A`B`，∠A=∠A`，利用“ASA”可证明△ABC≌△A`B`C`。(3)添加∠A=∠A`，AC=A`C`，利用“AAS”可证明△ABC≌△A`B`C`。得出结论：两直角边对应相等的两个直角三角形全等。(2)一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等。(3)斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等。┓┓第5页,共46页，2024年2月25日，星期天如果添加AB=A`B`，AC=A`C`，能否证明△ABC≌△A`B`C`？ABCA`B`C`探究：MN●●画一个Rt△A`B`C`，使AB=A`B`，AC=A`C`，1、画∠MB`N=90°；2、在射线B`M上截取B`A`=BA；3、以A`为圆心，AC长为半径画弧，交射线B`N于C`，4、连接A`C`。斜边、直角边(HL)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。第6页,共46页，2024年2月25日，星期天判定公理：

有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.条件1条件2前提第7页,共46页，2024年2月25日，星期天斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。斜边、直角边(HL)ABCA`B`C`在Rt△ABC和Rt△A`B`C`中∴Rt△ABC≌Rt△A`B`C（HL）数学表达式：{Ac=A′c′AB=A′B′第8页,共46页，2024年2月25日，星期天选择题

1.使两个直角三角形全等的条件是（）2.如图，AD⊥BE,垂足C是BE的中点，AB=DE,若要证△ABC≌△DEC,可以根据（）

AEDBC错了不对恭喜你,答对了再试一下（A）一个锐角对应相等（B）两个锐角对应相等（C）一条边对应相等（D）斜边和一条直角边对应相等（A）边边边公理（D

）边角边公理（C）角边角公理（B

）斜边、直角边公理错了再试一下不对恭喜你,答对了第9页,共46页，2024年2月25日，星期天练习：1、下列所给的条件中不能判断两个直角三角形全等的是（）A、两条直角边对应相等B、斜边和一条直角边对应相等C、一个锐角和一边对应相等D、一角和一边对应相等。2、如图，已知AB=DC，BE⊥AD，CF⊥AD，垂足为E、F，则在下列条件中选择一个就可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF有（）个(1)∠B=∠C(2)AB∥CD(3)BE＝CF(4)AF＝DEA、1个B、2个C、3个D、4个ABEFCDDD第10页,共46页，2024年2月25日，星期天

如图，∠ACB=∠ADB=90，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由。（1）

（）（2）

（）（3）

（）（4）

（）ABDC练一练AD=BC∠DAB=∠CBABD=AC∠DBA=∠CABHLHLAASAAS第11页,共46页，2024年2月25日，星期天(1)如图：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.求证：BC=AD.ABCD证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C和∠D都是直角。在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB=BAAC=BD∴Rt△ABC≌Rt△BAD∴BC=AD新知应用：（HL）（全等三角形对应边相等）第12页,共46页，2024年2月25日，星期天

（2）如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，此时，DA⊥AB，EB⊥AB，D、E与路段AB的距离相等吗？为什么？BDACE实际问题数学问题求证：ＤＡ＝ＥＢ。①ＡＣ＝ＢＣ②ＣＤ＝ＣＥCD与CE相等吗？第13页,共46页，2024年2月25日，星期天证明：∵DA⊥AB，EB⊥AB，∴∠A和∠B都是直角。AC=BCDC=EC∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL）∴DA=EB在Rt△ACD和Rt△BCE中，又∵C是AB的中点，∴AC=BC∵C到D、E的速度、时间相同，∴DC=ECBDACE（全等三角形对应边相等）第14页,共46页，2024年2月25日，星期天（３）如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，

CE=BF.求证：AE=DF.ABCDEF课本14页练习∵ＣＥ=ＢF∴ＣＥ－ＥＦ=ＢＦ－ＥＦ即ＣＦ=ＢＥ。第15页,共46页，2024年2月25日，星期天（３）如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，

CE=BF.求证：AE=DF.ABCDEF课本103页练习证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC∴△ＡＢＥ和△ＤＣＦ都是直角三角形。又∵ＣＥ=ＢF∴ＣＥ－ＥＦ=ＢＦ－ＥＦ即ＣＦ=ＢＥ。在Ｒｔ△ＡＢＥ和Ｒｔ△ＤＣＦ中ＣＥ＝ＢＦＡＢ＝ＤＣ∴Ｒｔ△ＡＢＥ≌Ｒｔ△ＤＣＦ（ＨＬ）

∴ＡＥ＝ＤＦ第16页,共46页，2024年2月25日，星期天判断两个直角三角形全等的方法有：(1)：

；(2)：

；(3)：

；(4)：

；SSSSASASAAAS(5)：

；HL小结第17页,共46页，2024年2月25日，星期天1、如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE大小有什么关系？

问题

&

探索

ABCDEF第18页,共46页，2024年2月25日，星期天

1、如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE大小有什么关系？

问题

&

探索

ABCDEF解：∠ABC+∠DFE=90°.理由如下：在Rt△ABC和Rt△DEF中,则BC=EF,AC=DF.∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴∠ABC=∠DEF(全等三角形对应角相等).又∠DEF+∠DFE=90°,∴∠ABC+∠DFE=90°.第19页,共46页，2024年2月25日，星期天延伸&

拓展☞如图，E，F分别为线段AC上的两个点，且DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F点，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于M点.求证：MB=MD，ME=MF；ABCDEFM第20页,共46页，2024年2月25日，星期天如图，E，F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F点，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于M点.当E、F两点移动至如图的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请给予证明.延伸拓展DABCEFM第21页,共46页，2024年2月25日，星期天已知：如图，AC⊥CB，DB⊥CB，AB=DC，求证：∠ACD=∠DBAABDC第22页,共46页，2024年2月25日，星期天如图，AD、A`D`分别是△ABC和△A`B`C`中BC、B`C`边上的高，且AB=A`B`，AD=A`D`，若使△ABC≌△A`B`C`，请补充条件（只需填写一个你认为适当的条件）______________________。ABCDA`B`C`D`第23页,共46页，2024年2月25日，星期天这节课你有那些收获?第24页,共46页，2024年2月25日，星期天作业与练习第25页,共46页，2024年2月25日，星期天

谢谢大家再见第26页,共46页，2024年2月25日，星期天已知：如图,在△ABC和△BAD中，AC⊥BC,AD⊥BD,垂足分别为C,D,

BC=AD,求证：AC=BD.ABDC第27页,共46页，2024年2月25日，星期天旧知回顾判断两个三角形全等的方法我们已经学了哪些呢？第28页,共46页，2024年2月25日，星期天SSSSASASAAAS第29页,共46页，2024年2月25日，星期天

三边对应相等的两个三角形全等。(简写成边边边“边边边”或“SSS”）DEFABC第30页,共46页，2024年2月25日，星期天边角边“边角边”或“SAS”）

两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等。(简写成DEFABC第31页,共46页，2024年2月25日，星期天“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。ABCD第32页,共46页，2024年2月25日，星期天角边角“角边角”或“ASA”）

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(简写成DEFABC第33页,共46页，2024年2月25日，星期天角角边DEFABC

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.（简写成“角角边”或“AAS”）第34页,共46页，2024年2月25日，星期天

如图，△ABC中，∠C=90°，直角边是_____、_____，斜边是______。CBA我们把直角△ABC记作Rt△ABC。ACBCAB

以上的四种判别三角形全等的方法能不能用来判别Rt△全等呢？思考：第35页,共46页，2024年2月25日，星期天

舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量。情境问题1:第36页,共46页，2024年2月25日，星期天情境问题1:

舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量。你能帮工作人员想个办法吗？ABDFCE第37页,共46页，2024年2月25日，星期天情境问题1:∠B=∠F=Rt∠

则利用

可判定全等；①若测得AB=DF，∠A=∠D，则利用

可判定全等；ASA②若测得AB=DF，∠C=∠E，AAS③若测得AC=DE，∠C=∠E，则利用

可判定全等；AAS④若测得AC=DE，∠A=∠D，则利用

可判定全等；AAS⑤若测得AC=DE，∠A=∠D，AB=DE，则利用

可判定全等；SASABDFCE第38页,共46页，2024年2月25日，星期天情境问题2:

如果工作人员只带了一条皮尺，能完成这项任务吗？ABDFCE第39页,共46页，2024年2月25日，星期天

工作人员是这样做的，他测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”。你相信他的结论吗？情境问题2:

对于两个直角三角形，若满足一条直角边和一条斜边对应相等时，这两个直角三角形全等吗？数学问题ABDFCE第40页,共46页，2024年2月25日，星期天

任意画出一个Rt△ABC,∠C=90°。∟BCAB´A´按照下面的步骤画Rt△A´B´C´⑴作∠MC´N=90°;⑵在射线C´M上取段B´C´=BC;⑶以B´为圆心,AB为半径画弧，交射线C´N于点A´;⑷连接A´B´.∟C´MNP13探究8请你动手画一画再画一个Rt△A´B´C´，使得∠C´=90°，B´C´=BC，A´B´=

AB。第41页,共4