中心极限定理教学设计

概率论与数理统计教学设计课程名称经济应用数学C课时50+50=100分钟任课教师李飞专业与班级人力资源管理B1601-02市场营销B1601课型新授课课题中心极限定理学习目标知识与技能掌握棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理和列维-林德伯格中心极限定理（独立同分布中心极限定理）的结论和应用条件，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率；过程与方法1.中心极限定理产生的历史背景。2。中心极限定理的提法。3。林德伯格-——--勒维中心极限定理4。隶莫弗——拉普拉斯定理5。林德贝格中心极限定理6。李雅普诺夫中心极限定理7。中心极限定理在管理中的应用情感态度与价值观.培养学生能够自觉地用极限定理的视角观察生活，将统计方法用于分析和探讨生活中的实际问题，提高认知能力和水平。.中心极限定理名称的得来是由于随机变量和的分布收敛于正态分布的极限定理的研究在长达两个世纪的时间内成了概率论研究的中心课题，因此也得到了中心极限定理的名称.

3。让学生懂得，量变与质变的辩证关系.。教学分析教学内容.中心极限定理产生的历史背景..中心极限定理的提法。.林德伯格 --勒维中心极限定理。隶莫弗——拉普拉斯定理。林德贝格中心极限定理.李雅普诺夫中心极限定理.中心极限定理在管理中的应用教学重点1。隶莫弗--拉普拉斯定理；2。李雅普诺夫中心极限定理；教学难点1。隶莫弗--拉普拉斯定理；2。李雅普诺夫中心极限定理；

教学方法与策略课堂教学设计思路本课从随机变量序列的各种收敛与它们间的关系谈起，通过对概率论的经典定理一中心极限定理在独立同分布和不同分布两种情况下的结论作了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质一平均结果的稳定性.经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布可以用正态分布来表示的理论依据.同样中心极限定理的内容也从独立同分布与独立不同分布两个角度来进行讨论；最后给出了一些中心极限定理在数理统计、管理决策、近似计算、以及保险业等方面的应用，来进一步地阐明了中心极限定理在各分支学科中的重要作用和应用价值.板书设计教学进程教学意图 教学内容 教学环节1.极大似然估计的原理与思想（10分钟）

时间：10分钟中心极限定理的名称最早是由仆里耶（1920年）提出来的，中心极限定理的一般形式最早是由切比雪夫（1821年一1894年）提出来的下面我们介绍四个主要定理：1）林德伯格一勒维定理2）棣莫弗一拉普拉斯定理2）林德伯格定理3）时间：10分钟中心极限定理的名称最早是由仆里耶（1920年）提出来的，中心极限定理的一般形式最早是由切比雪夫（1821年一1894年）提出来的下面我们介绍四个主要定理：1）林德伯格一勒维定理2）棣莫弗一拉普拉斯定理2）林德伯格定理3）中心极限定理的提法有重要的地位，同时极限定理的研究引起了现代概律论的发展，并且在统计分析和近似计算等方面具有一定的应用，所以中心极限定理的研究具有一定的理论和实际意义.直观上，如果一随机变量决定于大量（乃至无穷多个）随机.因素的总合，其中每个随机因素的单独作用微不足道，而且各因素的作用相对均匀，那么它就服从（或近似地服从）正态分布，下面我们将按严格的数学形式来表述这一直观.在许多情形下，一随机变量X可以表示为或近似地表示为大量独立随机变量之和，X=/％+•七 （a）这里，每个自直观上表示一种随机因素的效应，假如i式（a）包含了决定X的充分多的随机因素的效应（即n充分大），则25的分布就近似于X的分布.中心极限定ii=1理就是要说明，在什么条件下大量独立随机变量之和近似地服从正态分布，即，在什么条件下，当n-8时，独立随机变量之和的极限分布是正态分布的.李雅普诺夫定理.其中林德伯格定理是最一般的，其它情形可以看作它的推论.

累计10分钟中心极限定理有多种不同的形式，它们的结论相同，区别仅在于加在各被加项己,己，…上的条件不1 2同.独立同分布随机变量列的中心极限定理，是中心极限定理最简单又最常用（特别在数理统计中）的一种形式，通常称做林德伯格 勒维定理.历史上最早的中心极限定理一棣莫弗一拉普拉斯（积分）定理是它的特殊情形.设m（k=1,2,..）的方差D&，大于0，令k时间：5分钟用足球比赛事件引入达到以下目的：①吸引学生

引入中心极限定理的基本思想a-E0,b2=Dg,B2=£b2k k kn kk-1(1)我们说，随机变数列也｝服从中心极限定理，如果k关于XGR1均匀的有注意力，使学生尽快进入上课状态；②帮助学生深入浅出的理解极大似然估计的基本思想。limP1-!-£(己—a)<X>=1 fXe-tdt.n-s〔B一kk 1而口'nk=1 J(2)⑵表示：随机变量数—£&—a)的分布函B kknk-1数关于X均匀的趋于正态分布N(0,1)的分布函数.累计20分钟教学意图教学内容教学环节独立同分布的两个定理：时间20分钟林德伯格 勒维中心极限定理林德伯格 勒维中心极限定理设X,X，…,X，…相互独立，服从同一分布，具有1 ? ”j_ n n提问：如何度数学期望和方差：E(x)=^,Var(X)=02>0.记i i量样本值出现的可能性？

林德伯格一-勒维中心X+X+...+X—n|lxY*=—1 2 ———n n O册则对任意实数y,有1f也limp(Y*Vy)=0(y)= Jye2dt.n.+<» n J2兀—w证明为证(1)式，只须证*}的分布函数列n若收敛于标准正态分布.又由定理4.3.4［3］,只须证Y*}n的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数.为此设X—从的特征函数为①(t)，则Y*的特征函数为n n,、「，t、］n中(tY「 L0Jn」又因为E(X—M=0,Var(X—R)=o2，所以有n n6(0)=0,①〃(0)=—O2于是特征函数①(t)有展开式一 .一 ..一12叭t)=叭0)+6(0)t+①(0)一+O(12)2I1 +M、=1—2O212+O(12)

从而有. .「 12 121n t2lim①(t)=lim1--+o(—)=e-2,nf+8Yn* nf+8_ 2n n2_t2而e-2正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证.例1某汽车销售点每天出售的汽车辆数服从参数为九二2的泊松分布.若一年365天都经营汽车销售，且每天出售的汽车数是相互独立的，求一年中售出700辆以上汽车的概率.解：设％某汽车销售点每天出售的汽车辆数，则Y=x+x+-•-+x，为一年的总销量.由1 2 365E(x)=Var(x)=2 , 知i iE(Y)=Var(Y)=365x2=730.利用林德贝格 勒维中心极限定理可得，700—730P(Y>700)=1-P(Y<700)工1-①(一)=1—(V730这表明一年中售出700辆以上汽车的概率为0.8665D(-111)=0.86

累计40分钟隶莫弗——拉普拉斯定理（10分钟）教学意图教学内容教学环节在n重贝努里试验中，事件A在每次试验中出现时间10分钟的概率为p（0〈p〈1）,从为n次试验中事件A出现的n次数，且记vN-npY*=7nn npqq且对任意实数y，有主要依据上边的例题，归「 , 、〜、 1f〜limp(Y*<y)=0(y)= Jye2dt.n—+<» n J2兀-w纳总结离散型总体下似然函数的构此定理由定理1马上就得出，也就是说定理2是定建。理1的推论.例2某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中隶莫弗--拉普拉斯定理被盗索赔户占20%,以X表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.(1)写出X的分布列；(2)求被盗户不少于14户且不多于30户的概率近似值.解：(1)X服从n=100,P=0.2的二项分布b(100,2),即一.(n'一一一一一一p(x=k)= 0.2k0.8100-k,k=1,2,…,nIk)(2)利用隶莫弗 拉普拉斯中心极限定理，有p(14<x<30)=p(13.5<x<30.5)氏①(25—100义0J100义0.2义0二①(2.625)—①(—1.625)=①(2.625)-1+①(1.625这表明被盗户不少于14户且不多于30户的概率近似值为0.9437..2、不/13.5-=)-①(-=.8 J100;j)=0.99565-100*0.2)<0.2x0.81+0.948=0.9437累计50分钟课间休息10分钟3。极大似然估计法应用（15分钟）教学意图教学内容教学环节对于独立同分布随机变量序列己,己，…只要它们1 2的方差有穷，中心极限定理就成立.而在实际问题中说诸自具有独立性是常见的，但是很难说诸己是“同分布”i i时间5分钟的随机变量，正如前面提到的测量误差丫的产生是由大n量“微小的”相互独立的随机因素叠加而成的，即Y=工己则己间具有独立性，但不一定同分布，所以n i ii=1林德贝格中我们有必要讨论独立不同分布随机变量和的极限分布问题,目的是给出极限分布为正态分布的条件.林德伯格（Lideberg）于1922年找到了独立随机变量服从中心极限定理的最一般的条件,通常称做林德伯格条件.通过指数分布（连续型）参数的极大似然估计，进

心极限定理2.3.1林德贝格中心极限定理设独立随机变量序列｛x｝满足林德贝格条件，n则对任意的X，有limpJX£(x-^)<x\= JXe一tdt.n-s ［B… ii J 也兀…为证此先证下列三个不等式：对任意实数〃，有eia-1<a ；(4)eia-1-ia<竺2!⑸eia-1-ia+竺<城2 3!实际上，对a=0上三式明显.设a>0，则eia一1=|Jaeixdx<a;eia-1-ia=|Ja(eix-1)dx<|Jaxdx=a!;一步巩固极大似然估计的方法与步骤，同时体现极大似然估计法在工作生活中有着很广泛、很重要的应用。

eia—1—ia+ —Ja(eix—1—ix)dx<Jaes：ix-1-ixdx<Ja2dx=a!利用eia=cosa+isina,可见(4)(5)(6)方都是a的偶函数，故他们对a<0也成立.

累计15分钟李雅普诺夫中心极限定理李雅普诺夫中心极限定理如对独立随机变数列年｝，存在常数O>0，使k当nT9时有1V, 2+0^E上+aT0 (25)B2+o k knk=1则(2)对x均匀的成立.证.只要验证林德贝格条件满足，由(25)—ZJ (x一a)2dF(x)B2 X-aI>tB k knk=1 kn< Z ZJ x-a2+odF(x)B2(tB)。 lx-Jtb k kn k=1 kn1 1V 2+o< 乙E&+a T0,(nT9)ToB2+o k knk=1例3一份考卷由99个题目组成并按由易到难顺序排列.某学生答对第1题的概率为0.99；答对第2题的概率为0.98；一般地，他答对第i题的概率为1-i八00,i=1,2,・・・.加入该学生回答各题目是相互独时间15分钟立的，并且要正确回答其中60个题目以上(包括60个)才算通过考试.试计算该学生通过考试的可能性多大？解设［1,若学生答对第题；X=<i0若学生答错第题.于是X相互独立，且服从不同的二点分布：ip(X=1)=p=1-i..100,p(X=0)=1-p=i,100,i i i ii=1,2口99而我们要求的是p(艺X>60).

i

i=1为使用中心极限定理，我们可以设想从X100开始的随机变量都与X99同分布.且相互独立.下面我们用3=1来验证随机变量序列｛x｝满足李雅普诺夫条nB=：'£varB=：'£var(X)=n ii=1p(1-p)f+8,(nf+s)ii艺中心极限定理.又因为所以该学生通过考试的可能性为X—49.560—49.5<16.665-1-①(2.5735)=0.005.由此看出：此学生通过考试的可能性很小，大约只有千分之五.

累计30分钟中心极限定理在商业管理中的应用(20分钟)教学意图教学环节水房拥挤问题假设某高校有学生5000人，只有一个开水房，由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，为此校学生会特向学校后勤集团公司提议增设水龙头.假设后勤集团公司经过调查，发现每个学生在傍晚一般有1%的时间要占用一个水龙头，现有水龙头数量为45个，现在总务处遇到的问题是：(1)未新装水龙头前，拥挤的概率是多少？(2)需至少要装多少个水龙头，才能以95%以上的概率保证不拥挤？解：(1)设同一时刻,5000个学生中占用水龙头的人数为X，则X〜B(5000,0.01)拥挤的概率是p(1>45)=1-p(0<^<45)=1—XCk义0.01k义0.45000k=0时间10分钟提问，请学生思考.995000-k理np直接计算相当麻烦，我们利用隶莫佛一拉普拉斯定0.71)-①J7.1.已知n=5000,p=0. 01)=50,%tnpq=7.04.,-①q=0.10-50'17.04J99,=①(一故P(0<^<45)六①145-50'、7.04J从而p6>45)=1-0.2389=0.7611.怪不得同学们有不少的抱怨.拥挤的概率竟达到76.11%.①①①(2)欲求1P(0<己<Z即'm-50)①17.04J由[]=ML7.04)即101>0.；7.04)查标准正态。,使得45)>0.(10-50、17.04,<-7,09)95分布表，，)5)>0,95x0得7.04)=0.2389.即 m>61.6故需要装62个水龙头.问题的变形：(3)需至少安装多少个水龙头，才能以99%以上的概率保证不拥挤？解：欲求m,使得P(0<^<45)>0.99即"m—501小(0—50Vnnn①一①>0,9917.04) 17.04)由 于①10一0401=①(一7.09%0,76即①(mz^°1>0,9917.04)查标准正态分布表，得m一^>2.3257.04即 m>66.4故需要装67个水龙头.(4)若条件中已有水龙头数量改为55个，其余的条件不变，1,2两问题结果如何？

解 ：( 1)p&>55)=1-①(57-|2)=1-①(0.71)=0.2389.(2)同上.(5)若条件中的每个学生占用由1%提高到1.5%,其余的条件不变，则(1),(2)两问题结果如何？解：(1)设同一时刻，5000个学生中占用水龙头的人数为X，则X〜B(5000,0.015),已知n=5000,p=0.015,q=0.985,np=75,1VMpq=8.60.拥 挤 的 概 率 是P(m>45)=1-①145-75]=1-①(-3.49葭1.18.60)拥挤的概率竟达到100%.(2)欲求m,使得P(0<^<45)>0.95即①(m-75[-①(O-J5]>0.9518.60) 18.60)［日期］

累计40分钟盈利问题盈利问题［5］：假设一家保险公司有10000个人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡时，家属可向保险公司领得1000元，问(1)保险公司亏本的概率有多少？(2)保险公司一年的利润不少于40000元，60000元，80000元的概率各为多少？解：设X为一年内死亡的人数，则X~B(10000,1.06)，即P［X=k］= (0.006/(0.^^)10000^k=由德莫佛一拉普拉斯中心极限定理(1)网保险金亏本卜产3二1刈二1-巴，时间10分钟04,--J0000

r ^-10000x0.06 120-10C=1—F《L >L00x0,06]累计50分钟LV10000xQ.06xQ.994Ji。。。。-1—①(7.77)-0.7809(2)设A,A,A分别表示一年的利润不少于400001 2 3元，60000元,80000元的事件，则p(A)=p{X<80}i—pJX