线性代数方程组的解法

关于线性代数方程组的解法§5向量和矩阵的范数一、向量范数（/*VectorNorm*/）设是的一个映射，若对存在唯一实数与之对应，且满足

非负性：

齐次性：

三角不等性：且则称为中向量的范数。非负实值函数

称为赋范线性空间第2页,共26页，2024年2月25日，星期天

常用的几种向量范数：设

1-范数：

2-范数：

-范数：上述3种向量范数统称为P-范数(或者Holder范数)第3页,共26页，2024年2月25日，星期天例1：设是n阶实对称正定矩阵，则是中的一种向量范数。证明：只需验证范数的3个条件成立即可。

非负性：

齐次性：

三角不等性：存在非奇异下三角阵第4页,共26页，2024年2月25日，星期天

向量范数的性质：性质1证明：同理性质2的所有向量范数是彼此等价的。第5页,共26页，2024年2月25日，星期天（等价性/*EquivalenceProperty*/）设和是上定义的两种范数，如果存在正数满足则称和是上等价的向量范数。这个性质说明，中的一切范数都是等价的。第6页,共26页，2024年2月25日，星期天等价性质举例：第7页,共26页，2024年2月25日，星期天二、矩阵范数（/*MatrixNorm*/）

非负性：

齐次性：

三角不等性：且则称为中矩阵的范数。

赋范线性空间

设是的一个映射，若对存在唯一实数与之对应，且满足第8页,共26页，2024年2月25日，星期天其中称之为矩阵的迹是的特征值设是上的范数，是上的范数如果对满足则称上述矩阵范数与向量范数相容。Def4第9页,共26页，2024年2月25日，星期天从属性（/*Subordination*/）设矩阵范数与向量范数相容，且对每一个都存在一个非零向量满足则称是从属于向量范数的矩阵范数。以后若不特别声明，所用范数均满足相容性和从属性第10页,共26页，2024年2月25日，星期天对于中的每一种向量范数，中至少存在一种从属于它的矩阵范数：Def6称为矩阵A的算子范数。第11页,共26页，2024年2月25日，星期天上述定义中分别取向量的1、2、范数从而得到常用的3种分别从属于它们的矩阵范数：

列范数：记

行范数：

谱范数：其中是的最大特征值谱半径第12页,共26页，2024年2月25日，星期天例3：给定矩阵求矩阵的1、2、范数。若是实对称矩阵，则矩阵的特征值为第13页,共26页，2024年2月25日，星期天第14页,共26页，2024年2月25日，星期天三、方程组的性态和条件数

由实际问题得到的方程组的系数矩阵或者常数向量的元素，本身会存在一定的误差；这些初始数据的误差在计算过程中就会向前传播，从而影响到方程组的解。初始数据误差和方程组的近似解的误差之间关系例12考察方程组：精确解为第15页,共26页，2024年2月25日，星期天设方程组存在扰动精确解为上例说明该方程组的解对初始元素的扰动非常敏感。设方程组为系数矩阵和常数向量的扰动分别记为：和实际求解的方程组为第16页,共26页，2024年2月25日，星期天反之，如果和微小时，也微小，则称方程组为良态(/*Well-conditioned*/)方程组，称系数矩阵为关于求解方程组良态矩阵。病态方程组对任何算法都将产生数值不稳定性

如果和很小，而很大，则称方程组为病态(/*ill-conditioned*/)方程组，称系数矩阵为关于求解方程组病态矩阵；7第17页,共26页，2024年2月25日，星期天

若矩阵范数取2-范数，则得到谱条件数：

若矩阵范数取1-范数，则得到1-条件数：

若矩阵范数取

-范数，则得到-条件数：

设为可逆阵，为一种从属矩阵范数，则称为矩阵的条件数

8第18页,共26页，2024年2月25日，星期天第19页,共26页，2024年2月25日，星期天例5第20页,共26页，2024年2月25日，星期天第21页,共26页，2024年2月25日，星期天第22页,共26页，2024年2月25日，星期天第23页,共26页，2024