《金融学》第16章：期权定价

金融学丁志国王计昕顾宁wjx0717@163

第四局部

第13章收益与风险

第14章投资组合选择第15章资产定价

第16章期权定价第17章资本结构第16章期权定价

16.1股票期权定价公式

16.2期权组合交易策略

16.3二项式定价模型16.4布莱克—舒尔斯公式16.1.1股票期权价格的影响因素股票期权(StockOption)是指买方在交付了期权费后，即取得在合约规定的到期日或到期日以前按协议价买入或卖出一定数量相关股票的权利。股票期权价格受到如下6个根本因素的影响，即股票现行价格，执行价格，期权期限，股票价格的波动率，无风险利率，期权期限内预期发放的股息(DividendPayouts)。16.1.1股票期权价格的影响因素股票现行价格：股价股价看跌期权价格看涨期权价格图16-1股票价格对期权价格的影响执行价格：

16.1.1股票期权价格的影响因素执行价格执行价格看跌期权价格看涨期权价格图16-2执行价格的变化对期权价格的影响期权期限：

16.1.1股票期权价格的影响因素期限期限看跌期权价格看涨期权价格图16-3期限变化对期权价格的影响股票价格的波动率：16.1.1股票期权价格的影响因素波动率(%)波动率(%)看跌期权价格看涨期权价格图16-4股票波动率的变化对期权价格的影响无风险利率：无风险利率(%)无风险利率(%)看跌期权价格看涨期权价格图16-5无风险利率的变化对期权价格的影响16.1.1股票期权价格的影响因素期权期限内预期发放的股息：股息将使股票在除息日的价格降低。对于看涨期权，这是一个坏消息；但对于看跌期权，这却是一个好消息。因此，看涨期权价值与预期股息的大小呈反向关系；看跌期权的价值与预期股息的大小呈正向关系。

16.1.1股票期权价格的影响因素16.1.1股票期权价格的影响因素表16-1期权的影响因素变量欧式看涨期权欧式看跌期权美式看涨期权美式看跌期权现行价格+-+-执行价格-+-+期权期限不确定不确定++波动率++++无风险利率+-+-股息-+-+16.1.2看涨-看跌平价公式市场不存在套利时机市场无摩擦，即证券交易不支付交易费用无风险利率是常数贷款和存款利率相等，并且均为无风险利率市场中允许卖空标的股票不支付红利根本假设：记号：——股票的当前价格；——时刻股票的价格；——期权的执行价格；——期权的期限；——在时刻到期的无风险投资的收益率，即无风险利率——买入一只股票的美式看涨期权的价格——买入一只股票的美式看跌期权的价格——买入一只股票的欧式看涨期权的价格——买入一只股票的欧式看跌期权的价格——期权的价值——投资组合16.1.2看涨-看跌平价公式无套利原理：1、自融资如果在进行交易的时间段内，投资人在决定投资组合以后，没有参加新资金，也没有资金被消耗或抽走，那么称整个交易过程为自融资，或者该投资组合是自融资。如果在交易过程中，有资金抽走或消耗出现，那么该市场存在摩擦，如交易要交纳交易费或佣金。16.1.2看涨-看跌平价公式16.1.2看涨-看跌平价公式无套利原理：2、套利如果在时间内存在一个时间点，使得当时，有，且，称自融资组合在内存在套利时机。无套利原理：2、无套利原理Ⅰ如果金融市场在期限内，对任意两个投资组合，，如果，且，那么，对中的任意时间，都有那么称无套利。16.1.2看涨-看跌平价公式无套利原理：3、无套利原理Ⅱ如果金融市场在期限内，对任意两个投资组合，，如果，那么，对中的任意时间，都有那么市场是无套利的。16.1.2看涨-看跌平价公式期权价格的上限与下限期权价格的上限看涨期权给予其持有者以某指定价格买入标的资产的权利，如果期权的价格超过本身标的资产的价格，那么将不会有人购置期权。因此期权价格的上限只能是标的资产的价格，即：

如果看涨期权以上的不等式不成立，那么一个套利者可以通过购置股票并同时出售期权来获取无风险盈利。16.1.2看涨-看跌平价公式16.1.2看涨-看跌平价公式期权价格的上限

看跌期权的持有者有权以价格卖出一只股票。无论股票价格下降多少，期权的价格都不会高于执行价格，即在时刻，欧式期权的价格不会超过。因此，当前期权的价格不会超过的贴现值，即：如果看跌期权以上不等式不成立，那么一个套利者可以卖出一个期权，同时将卖出期权所得费用以无风险利率进行投资，将获得无风险收益。无股息股票的看涨期权的下限

考虑以下两个交易组合，组合A：一个欧式看涨期权加上数量为的现金；组合B：一只股票。16.1.2看涨-看跌平价公式无股息股票的看涨期权的下限

在组合A中，如果将现金按无风险利率行投资，在时刻将变为。在时间，如果投资者行使看涨期权，组合A价值为。如果期权到期时价值为0，这时组合A的价值为。因此在时刻，组合A的价值为：16.1.2看涨-看跌平价公式无股息股票的看涨期权的下限

组合B在时刻的价格为。因此在时刻组合A的价值不会低于组合B的价值。因此，在无套利的条件下，有：对于一个看涨期权而言，最差的情况是期权到期时价值为0。因此，期权价值不能为负值，即。因此16.1.2看涨-看跌平价公式无股息股票的欧式看跌期权下限

考虑以下两个交易组合，组合C：一个欧式看跌期权加上一只股票；组合D：金额为的现金。16.1.2看涨-看跌平价公式16.1.2看涨-看跌平价公式无股息股票的欧式看跌期权下限如果投资者在到期时执行组合C中的欧式看跌期权，组合C的价值变为；如果在到期时，期权价值为0，组合C的价值为，因此在时刻组合C的价值为:无股息股票的欧式看跌期权下限将现金以无风险利率投资，在时刻组合C的价值为。因此在时刻组合C的价值总是不低于组合D的价值。在无套利条件下，组合C的价值不会低于组合D在今天的价值，即：对于一个看跌期权而言，最差的情况是期权到期时价值为0，期权价值不能为负值，因此，16.1.2看涨-看跌平价公式看涨—看跌平价公式考虑以下两个组合。组合A：一个欧式看涨期权加上数量为的现金；组合C:一个欧式看跌期权加上一只股票。这两个组合期权在到期时价值均为16.1.2看涨-看跌平价公式看涨—看跌平价公式

由于组合A和C中的期权均为欧式期权，在到期日之前不能提前执行，因此它们在当前必须有相同的价值，这意味着

这一关系式就是看涨—看跌平价公式(put-callparity)。16.1.2看涨-看跌平价公式第16章期权定价

16.1股票期权定价公式

16.2期权组合交易策略16.3二项式定价模型16.4布莱克—舒尔斯公式

a)股票多头与看涨期权空头的组合股票多头看涨期权空头盈利16.2.1单一期权和股票的策略

此交易组合是由一个股票多头与一个看涨期权空头组成。这种交易策略被称为“出售受保护的看涨期权”(WritingCoveredCall)，这里的股票多头可以保护投资者，使其免遭股票价格急剧上涨带来的损失。盈亏图与看跌期权空头盈亏图类似。股票空头看涨期权多头盈利b)股票空头与看涨期权多头的组合16.2.1单一期权和股票的策略

此交易组合是由一个股票空头加上一个看涨期权多头组合而成，其盈利状态与出售受保护的看涨期权的盈利状态相反。盈亏图与看跌期权多头盈亏图类似。看跌期权多头股票多头盈利c)股票多头与看跌期权多头的组合16.2.1单一期权和股票的策略此交易组合包括一个看跌期权多头及股票多头，这一交易策略被称为“购置受保护的看跌期权”(ProtectivePut)。盈利状况图与看涨期权多头的盈亏图相似。股票空头看跌期权空头盈利d)股票空头与看跌期权空头的组合16.2.1单一期权和股票的策略此交易组合是由一个看跌期权空头和一个股票空头组成，这一交易策略的盈利状态与受保护的看跌期权的盈利状态相反。盈亏图与看涨期权空头的盈利状态相似。变换看涨-看跌平价公式，可得，

结论：任何根本的期权交易策略都可以通过单一股票期权和股票的组合进行替代。16.2.1单一期权和股票的策略16.2.2价差期权交易策略

价差期权交易策略是持有相同类型的两个或多个期权头寸，通过不同的执行价格买进卖出，从而进行套利的策略。价差期权在不同的证券市场状态下，会有不同的策略，由此分为牛市价差期权、熊市价差期权、盒式价差期权、蝶式价差期权、日历价差期权和对角价差期权等。牛市价差期权、熊市价差期权既可以利用看涨期权组合构成也可以通过看跌期权组合构成。盒式期权(BoxSpread)是牛市价差和熊市价差的组合。蝶式期权(ButterflySpread)策略由3种具有不同执行价格的期权构成。16.2.2价差期权交易策略16.2.2价差期权交易策略(1)牛市价差期权

盈利图16-7由看涨期权构造的牛市价差期权的盈利

买入一个具有某一确定执行价格的股票看涨期权的同时，卖出一个标的相同但具有较高执行价格的股票看涨期权，两个看涨期权的期限相同。

表16-2由看涨期权构成的牛市价差收益股票价格范围看涨期权多头收益看涨期权空头收益整体收益000016.2.2价差期权交易策略(1)牛市价差期权16.2.2价差期权交易策略(1)牛市价差期权图16-8由看跌期权构造的牛市价差期权的盈利盈利与采用看涨期权构造牛市价差不同的是，用看跌期权构造的牛市价差会给投资者在最初带来一个正的现金流〔忽略保证金的要求〕。(2)熊市价差期权

16.2.2价差期权交易策略盈利图16-9由看跌期权构造的熊市价差期权的盈利由看跌期权构成的熊市价差期权是，在买入某一具有较高执行价格()的看跌期权的同时，卖出具有较低执行价格()的看跌期权，两个看跌期权的标的资产和期限相同。16.2.2价差期权交易策略表16-3由看跌期权所构成的熊市价差期权的收益

股票价格范围看涨期权多头收益看涨期权空头收益整体收益0000(2)熊市价差期权16.2.2价差期权交易策略盈利图16-10由看涨期权构造的熊市价差期权的盈利(2)熊市价差期权(3)盒式期权

盒式期权(BoxSpread)是牛市价差和熊市价差的组合，两个价差都是由执行价格为和的看涨期权构成。

16.2.2价差期权交易策略表16-4盒式价差的收益

股票价格范围牛市价差收益熊市价差收益整体收益00(3)盒式期权

16.2.2价差期权交易策略(4)蝶式期权:由3种具有不同执行价格的期权构成。16.2.2价差期权交易策略盈利图16-11由看涨期权所构造的蝶式价差期权的收益16.2.2价差期权交易策略表16-5蝶式价差期权的收益

股票价格范围

第一看涨期权多头的收益第二看涨期权多头的收益期权空头的收益整体收益00000000(4)蝶式期权16.2.2价差期权交易策略(4)蝶式期权盈利图16-12由看跌期权所构造的蝶式价差期权的收益16.2.3组合期权交易策略

组合期权是针对同一标的看涨期权与看跌期权的交易策略。下面将要考虑的组合期权包括条式期权(Strip)和带式期权(Strap)、宽跨式期权(Strangle)。16.2.3组合期权交易策略

(1)条式期权(Strip)和带式期权(Strap)

盈利a)条式期权条式期权是具有相同执行价格和相同期限的一个看涨期权和两个看跌期权的组合。b)带式期权盈利(1)条式期权(Strip)和带式期权(Strap)

带式期权是由具有相同执行价格和相同期限的两个看涨期权和一个看跌期权的组合。16.2.3组合期权交易策略

(2)宽跨式期权

16.2.3组合期权交易策略

盈利图16-14宽跨式期权的收益宽跨式期权是投资者买入具有相同期限但具有不同执行价格的看跌及看涨期权。第16章期权定价

16.1股票期权定价公式

16.2期权组合交易策略

16.3二项式定价模型16.4布莱克—舒尔斯公式16.3.1风险中性定价

风险中性定价(RiskNeutralPricingTheory)又称风险中性理论，是指在市场不存在任何套利可能性的条件下，如果衍生证券的价格依然依赖于可交易的根底证券，那么这个衍生证券的价格与投资者的风险态度无关。这个结论在数学上表现为衍生证券定价的微分方程中并不包含有受投资者风险态度的变量，尤其是期望收益率。以下是对风险中性定价的解释。1.在风险中性的经济环境中，投资者并不要求任何的风险补偿或风险报酬，所以根底证券与衍生证券的期望收益率都恰好等于无风险利率；2.正由于不存在任何的风险补偿或风险报酬，市场的贴现率也恰好等于无风险利率，所以根底证券或衍生证券的任何盈亏经无风险利率的贴现就是它们的现值；3.利用无风险利率贴现的风险中性定价过程是鞅(Martingle)，或者现值的风险中性定价方法是鞅定价方法(MartingalePricingTechnique)。16.3.1风险中性定价

二项式定价模型

股票价格=10元股票价格=12元期权价格=1元股票价格=8元期权价格=0元图16-15股票价格的数值化实例

二叉树模型仅假设股票价格向上和向下两个方向的变动，下面从一个简单的例子入手。定价过程中假设市场不存在套利时机。构造一个股票和期权的组合，并使得这一组合在3个月后具有确定的收益。按照风险中性定价原理，确定的收益率等于无风险利率。构造这一交易组合的本钱，从而获得期权的价格。

二项式定价模型

考虑一个有△只股票的多头头寸和一份看涨期权空头头寸构成的交易组合。下面将求出交易组合具有无风险收益的△。当股票价格由10元变为12元时，所持股票的价值变为12△，期权价格变为1元，证券组合的整体价值为12△-1；当股票的的价格由10元变为8元时，所持股票的价值变为8△，期权的价值为0，证券组合的整体价值为8△。如果证券组合在以上两个点价值相等时，那么该组合不具有任何风险，这意味着12△-1=8△即△=0.25

二项式定价模型

因此，无风险交易组合为：多头头寸：0.25只股票空头头寸：1份期权如果股票价格上涨为12元，组合价值为12×0.25-1=2元如果股票价格下跌到8元，组合价值为8×0.25=2元无论股票价格是上涨还是下跌，在期权到期时交易组合的价值总是2元。

二项式定价模型

二项式定价模型

假设这时的无风险利率为每年12%，那么该交易组合今天的价值应为2元的贴现值，即=1.941股票今天的价格为10元，如果期权的价格记为,那么交易组合在今天的价值是：10×0.25-=2.5-因此，2.5-=1.941解得，=0.559元在无套利的前提下，期权的当前价格应为0.559元。如果期权市场价格高于0.559元，那么构造交易组合的费用就会低于1.941元，而交易组合的收益率就会高于无风险利率；如果期权市场价格低于0.559元，那么卖空这一交易组合，同时购置这一交易组合将产生高于无风险利率的收益。

二项式定价模型

将以上的结论一般化。假设股票的价格为，股票上一个期权的价格为，期权到期期限为。在期权有效期内，股票价格或者会由上涨到，或者会由下跌到，其中，。当股票价格上涨时，其增长的比率为。当股票下跌时，其下跌的比率为。与前面例子相同，考虑一个由只股票的长头寸及一份期权的短头寸所组成的交易组合。投资者可以找到一个使得交易组合收益率等于无风险收益率，即在风险中性条件下不具有风险。如果股票价格上涨，在期权到期时交易组合的价值为：

二项式定价模型

如果股票价格下跌，期权到期时组合的价值为：因假设该组合在未来具有确定的收益，因此无论在何种情况下，组合的价值一定，以上两个值相等，即，得出：在假定股票收益确定的前提下，该资产组合具有无风险收益率，由上式看出，当股票仅有两种变动趋势时，为期权价格变化与股票价格变化的比率。

二项式定价模型

如果将无风险利率记为r，那么交易组合的贴现值为而构造交易组合的起始本钱为所以，即，将公式(16.6)中的代入上式并简化，得出

其中，

二项式定价模型

由简到难，多步二叉树如下：

二项式定价模型

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图16-16四步二叉树

上图显示了股票价格在时间区间段末，期末的期望股票价格是：由于假定市场处在一个风险中立的世界里，股票的期望报酬率为无风险利率。于是，在期末这个时点上的股票期望价格为。它遵循

二项式定价模型

解上式得：在二叉树模型中，股票回报率的方差为

于是，

二项式定价模型

忽略了或者假设很小时，下面的等式成立：

二项式定价模型

一般地，使用二叉树模型估计的欧式期权价值为第16章期权定价

16.1股票期权定价公式

16.2期权组合交易策略16.3二项式定价模型

16.4布莱克—舒尔斯公式

16.4.1欧式期权定价公式

股价遵循预期收益率和标准差为常数的马尔科夫随机过程；允许使用全部所得卖空衍生证券；没有交易费用或税金，且所有证券高度可分；在衍生证券的有效期内没有支付红利；不存在无风险的套利时机；证券交易是连续的，股票价格连续平滑变动；无风险利率为常数，能够用同一利率借入或贷出资金；只能在交割日执行期权。布莱克—舒尔斯模型的主要假设如下：设定代表自然对数，为股票的现行价格，为执行价格，代表无风险连续复利，代表以年计量的期权期限，代表标的股票的波动率，指的是累计标准正态分布函数。那么，看涨期权价格和看跌期权价格可以由下式得到：