理论力学-拉格朗日方程

稳定约束不稳定约束不可解约束可解约束（完整约束）几何约束运动约束（微分约束）可积不可积非完整约束在一个力学体系中常存在着一些限制各质点自由运动的条件，我们把这些条件叫做约束。约束对各质点位置限制的条件通常可以表示为力学体系中质点的坐标、速度和时间的方程。5.1.2广义坐标对于n个质点所形成的力学体系，如果有k个几何约束那么独立坐标就减小为个。这些独立坐标的数目叫做力学体系的自由度。把3n个坐标用s个独立参数及t表示这s个独立参量叫做拉格朗日广义坐标。在几何约束情况下，广义坐标的数目和自由度的数目相等。虚位移：不是由于质点的运动而实际发生的，它是所有想象中可能的位移，取决于质点在此刻的位置和约束条件。在给定瞬时，力系中各质点所作的为约束所允许的、可能发生的无限小位移实位移和虚位移的区别:

在任意的t时刻，虚位移可不止一个，在稳定约束条件下，实位移是虚位移中的一个，当对于不稳定约束，它们并不一致。§5.2虚功原理实位移1.实位移和虚位移质点由于运动实际上发生的位移理想约束条件下，，因此，如果力学体系处于平衡状态，则其平衡条件是由上式可知，受有理想约束的力学体系平衡的充要条件是此力学体系的诸主动力在任意虚位移中所作的元功之和等于零。这个关系叫做虚功原理，也叫虚位移原理。

利用虚功原理可以求解理想约束的力学体系的平衡问题，易简单求出主动力在平衡时满足的条件。

5.2.4广义力由前面讨论我们知的虚位移为所以，虚功原理在广义坐标下的表达式为式中称之为广义力。

它和力学体系的自由度数目相等。应用虚功原理解题的主要步骤是：(1)明确系统的约束类型,看是否满足虚功原理所要求的条件；(2)正确判断系统的自由度,选择合适的广义坐标；(3)分析并图示系统受到的主动力；(4)各质点坐标表示成广义坐标的函数

；(5)求主动力的虚功并令其为零，由此求出平衡条件。

例三：5.2试用虚功原理解3.4题。相同的两个均质光滑球悬在结于定点的两根绳上，此两球同时又支持一个等重的均质球，求角、角之间的关系。

xy123DP1P3P25.3.1达朗伯－拉格朗日原理由n个质点所形成的力学体系，根据牛顿运动定律的表达式可写为或通过数学上的移项，将主动力和约束反力引起质点的加速度当作惯性力引入，这样就把动力学问题化为静力学问题来处理。这种平衡关系，通常叫做达朗伯原理。5.3拉格朗日方程用虚位移标乘上式，在理想约束下（），可得：这个方程是达朗伯原理和虚功原理的结合，被称为达朗伯－拉格朗日方程。

5.3.3基本形式的拉格朗日方程将达朗伯－拉格朗日方程作广义坐标变换，得：交换上式的求和顺序，有上式方括号中的第一项即为广义坐标的广义力。第二项称之为广义惯性力。

5.3.2拉格朗日关系式考察由n个质点组成的理想约束系统，受有k个完整约束，其广义坐标数s=3n-k。第i个质点的位矢①将上式对时间求导数式中广义坐标对时间的变化率称为广义速度。将上式对广义速度求偏导数。因和仅是广义坐标和时间的函数，与无关，故得第一个拉格朗日关系式再将对任一广义坐标求偏导数，得：

②另一方面，将位矢直接对求偏导数后，再对时间求导数，得：③比较②、③式，可得第二个拉格朗日关系式对时间t的微商和对广义坐标的微商可以对易。考虑第一、第二拉格朗日关系式，可得：

引入动能函数惯性力可以写成所以，广义坐标形式的达朗伯-拉格朗日原理表达式为：由于的独立性，可得：这就是拉格朗日方程的基本形式。5.3.4

保守系的拉格朗日方程对保守力系基本形式的拉格朗日方程成为由于势能不是广义速度的函数，即其中V为系统的势能。所以，（1）式可以写成引入拉格朗日函数，代表动能势能之差可得保守力系下的拉格朗日方程为：（1）解题步骤（1）确定自由度（2）选取广义坐标（3）写出用广义坐标表示的T、V及L的表达式（4）将拉格朗日函数L代入拉格朗日方程保守力系下的拉格朗日方程拉格朗日函数例一：滑轮组：求每个砝码的加速度例二：用拉格朗日方程求椭圆摆的运动微分方程。例三：在平衡位置令略去高价小量，取5.3.5循环积分拉格朗日方程在某些特殊情况下，部分第一积分甚易获得。如果拉格朗日函数中不显含某一坐标，此时，保守力系下拉格朗日方程变为：即＝常数（1）则该坐标就叫循环坐标。对应于该循环坐标的积分叫做循环积分。

拉格朗日方程以质点在有心力场的运动为例：质点的动能为：势能故拉格朗日函数为表达式中不包含θ，因此θ为循环坐标。由（1）式可直接得出循环积分5.3.6能量积分

（1）动能的表达式即。式中分别是广义速度的二次、一次和零次函数。分别代表上式中的第一项、第二项和第三项。对于稳定力学体系，中不含t，因而，上式中第二项、第三项等于零。动能T仅为广义速度的二次齐次函数。

欧拉齐次式定理：则拉格朗日函数可以写为：（2）广义能量积分如果系统主动力皆为保守力，且拉格朗日函数不显含时间：则主动力为保守力：所以，将上式移项得：即：－广义能量积分或广义能量守恒。广义能量积分变为：拉格朗日函数：可推出：对于稳定力学体系，有：，，故如果主动力皆为保守力，且拉格朗日函数中不显含时间项，则可直接列出广义能量守恒表达式。称之为能量积分。例四：

例五：

例六：

5.4哈密顿正则方程5.4.1勒襄特变换设，则式中我们在这里用x，y作为独立变量。如果我们把u，y当作独立变量，则x，v可表示为。这时函数亦可表示为，该函数的全微分为：其中

由上式得：

式中。上述推导表明：如果变量由变为，则用形式为的函数才能将用偏微商的形式表示出来，这就是勒襄特变换的基本法则。5.4.2正则方程拉格朗日函数是及时间t的函数，由此得出的拉格朗日方程是二阶常微分方程组，如果把拉格朗日函数中的广义速度换成广义动量就可以使方程组由二阶降到一阶，从而使问题简化。如果通过勒襄特变化，使拉格朗日函数中的一种独立变量由变为（，由拉格朗日方程可推出）则应引入新函数H使对上式全微分得：而拉格朗日函数的全微分：将上式代入函数H的全微分表达式中：而H的全微分表达式还可写为:比较以上两式，对应项相等，得：

上式中的前两式通常叫做哈密顿正则方程，简称正则方程，而函数H则叫哈密顿函数。5.4.3能量积分与循环积分（1）能量积分

哈密顿函数对时间的微分可写为：

得：如H中不显含t，则因而如为稳定约束，可将动能表示为广义速度的二次齐次函数，则有：如为不稳定约束，则它等于（2）循环积分

如果哈密顿函数中不显含某项，则该项为循环坐标。

该项所对应的广义动量。例一：p367-5.22试写出《理论力学教程》§3.9中拉格朗日陀螺的哈密顿函数，并由此求出它的三个第一积分。解：（一）拉格朗日陀螺的自由度为选广义坐标（二）定点转动中拉格朗日陀螺

动能①而②

③

④将代入①式，且

⑤⑥联立②③④⑤⑥后求得体系动能因为动能是广义速度的二次齐次式H中不显含时间tH＝常数H中不显含＝常数H中不显含＝常数1.泊松括号设§5.6泊松括号和泊松定理

代入得到其中泊松括号若则反之，若则是正则方程的一个运动积分，因为有定义2.泊松定理利用泊松括号，可以从正则方程的两个积分，求另一个积分若则利用得到于是H不是t的显函数时，H=h是正则方程的一个积分，若由泊松定理但故依此类推，可得§5.7哈密顿原理

1.变分运算的几个法则1）2）但是可见一般不能对易。若则等时变分不等时变分2.哈密顿原理

保守的、完整的力学体系在相同时间内，由某一位形转移到另一位形的一切可能运动中，真实运动的主函数具有稳定值。即对于真实运动来讲，主函数的变分为零。由拉氏方程可得但因为称为作用函数或主函数§5.8正则变换1.正则变换的目的和条件由正则方程知，H不含某个对应一个积分。而H中有没有循环坐标，与所选坐标系有关。

如果通过坐标和动量的某种变换，使新的H*中出现一些循环坐标，而正则方程的形式不变，为正则变换。设变换后则有定理设显含时间t，则正则变换的条件是式中dU为恰当微分，而为用新变量表示的新哈密顿函数。证明设有变分因(5.8.2)变为又由(5.8.2)得对