河南省郑州市第五十七中学高二数学文下学期摸底试题含解析

河南省郑州市第五十七中学高二数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某车站每天，都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为：到站时间

8:109:108:309:308:509:50概率1/61/21/3一旅客到车站，则它候车时间的数学期望为(精确到分)

（

）A

B

C

D参考答案：D略2.函数在处的切线为A、

B、 C、

D、

参考答案：B略3.一个空间几何体的三视图如右图所示(单位：m)，

则该几何体的体积（单位：）为(A)4

(B)

(C)3

(D)参考答案：C4.有一杯2升的水,其中含一个细菌,用一个小杯从水中取0.1升水,则此小杯中含有这个细菌的概率是（

）A.0.1 B.0.05 C.0.02 D.0.01参考答案：B【分析】根据几何概型，可知：体积比即是所求概率.【详解】由题意，这个小杯中含有这个细菌的概率.故选B【点睛】本题主要考查与体积有关的几何概型，熟记公式即可，属于基础题型.5.如图，直线与直线

的图像应是（

）

参考答案：A6.在右图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，若各保险匣之间互不影响，则当开关合上时，电路畅通的概率是A．

B．

C．

D．参考答案：D略7.有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有（A）240种

（B）192种

（C）96种

（D）48种参考答案：B略8.顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点（﹣2，3），则它的方程是（）A．x2=﹣y或y2=x B．x2=yC．x2=y或y2=﹣x D．y2=﹣x参考答案：A【考点】抛物线的简单性质．【分析】设出抛物线方程，利用已知条件化简求解即可．【解答】解：抛物线的焦点坐标在x轴时，设抛物线方程为：y2=2px，抛物线过点（﹣2，3），可得p=，此时的抛物线方程为：y2=﹣x．当抛物线的焦点坐标在y轴时，设抛物线方程为：x2=2py，抛物线过点（﹣2，3），可得p=，此时抛物线方程为：x2=y．故选：A．9.已知双曲线的右焦点为，若过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（

）ks5uA．

B．

C．

D．

参考答案：C10.如图，ABCD—A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝，则BE1与DF1所成角的余弦值是（

）A．

B．

C． D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.直线y=2x+1的斜率为

．参考答案：2【考点】直线的斜率．【分析】根据斜截式直线方程y=kx+b的斜率为k，写出斜率即可．【解答】解：直线y=2x+1的斜率为2．故答案为：2．12.在等比数列中，＝1，，则＝

.参考答案：4略13.一个物体的运动方程为其中位移的单位是米，时间的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是_▲_米/秒．参考答案：514.已知集合，集合，若，则实数参考答案：115.已知的展开式的所有项系数的和为192，则展开式中项的系数是______.参考答案：45令可得：，解得：，所给的二项式即：,结合二项式的展开式可得项的系数是45.16.已知函数在处取得极值10，则取值的集合为

参考答案：17.已知直线l：y=x+4，动圆O：x2+y2=r2（1＜r＜2），菱形ABCD的一个内角为60°，顶点A，B在直线l上，顶点C，D在圆O上．当r变化时，菱形ABCD的面积S的取值范围是．参考答案：（0，）∪（，6）【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设AB=a，直线CD的方程为y=x+b，则圆心到直线的距离为d=＜r，进而可得b的范围，结合=，可得a的范围，再由菱形ABCD的面积S=a2，得到答案．【解答】解：设AB=a，直线CD的方程为y=x+b，则圆心到直线的距离为d=＜r，又由1＜r＜2，∴﹣2＜b＜4，且b≠1∵=，∴b=4﹣a，∴a=（4﹣b）∴0＜a＜，或＜a＜2，∴菱形ABCD的面积S=a2∈（0，）∪（，6），故答案为：（0，）∪（，6）三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知椭圆

的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为.

（i）若，求直线的倾斜角；

（ii）若点Q在线段AB的垂直平分线上，且.求的值.参考答案：（Ⅰ）解：由e=，得.再由，解得a=2b.由题意可知，即ab=2.解方程组得a=2，b=1.所以椭圆的方程为.………4分(Ⅱ)(i)解：由（Ⅰ）可知点A的坐标是（-2,0）.设点B的坐标为，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k（x+2）.于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得.由，得.从而.所以.由，得.整理得，即，解得k=.所以直线l的倾斜角为或.………………8分（ii）解：设线段AB的中点为M，由（i）得到M的坐标为.以下分两种情况：（1）当k=0时，点B的坐标是（2,0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是由，得。…………10分（2）当时，线段AB的垂直平分线方程为。令，解得。由，，，整理得。故。所以。综上，或

…………14分略19.（本小题满分14分）已知大于1的正数x，y，z满足．（1）求证：．（2）求的最小值．参考答案：

（1）由柯西不等式得，（）[（x+2y+3z）+（y+2z+3x）+（z+2x+3y）]≥（x+y+z）2=27得：；（2）∵=++，由柯西不等式得：（++）（log3（xy）+log3（yz）+log3（zx）），由柯西不等式得：（++）（log3（xy）+log3（yz）+log3（zx））≥9所以，，．∴．∴．得所以，当且仅当时，等号成立．故所求的最小值是3．20.如图，椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，焦距为2，直线x=﹣a与y=b交于点D，且|BD|=3，过点B作直线l交直线x=﹣a于点M，交椭圆于另一点P．（1）求椭圆的方程；（2）证明：为定值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）利用已知条件列出，求解可得椭圆的方程．（2）设M（﹣2，y0），P（x1，y1），推出=（x1，y1），=（﹣2，y0）．直线BM的方程，代入椭圆方程，由韦达定理得x1，y1，然后求解为定值．【解答】解：（1）由题可得，∴，∴椭圆的方程为…（2）A（﹣2，0），B（2，0），设M（﹣2，y0），P（x1，y1），则=（x1，y1），=（﹣2，y0）．直线BM的方程为：，即，…代入椭圆方程x2+2y2=4，得，…由韦达定理得，…∴，∴，…∴=﹣2x1+y0y1=﹣+==4．即为定值．…．21.设函数f（x）=﹣x3+x2+（m2﹣1）x，（x∈R），其中m＞0．（1）当m=1时，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率；（2）求函数的单调区间与极值．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；导数的运算；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由已知中函数f（x）=﹣x3+x2+（m2﹣1）x，根据m=1，我们易求出f（1）及f′（1）的值，代入点斜式方程即可得到答案．（2）由已知我们易求出函数的导函数，令导函数值为0，我们则求出导函数的零点，根据m＞0，我们可将函数的定义域分成若干个区间，分别在每个区间上讨论导函数的符号，即可得到函数的单调区间．【解答】解：（1）当m=1时，f（x）=﹣x3+x2，f′（x）=﹣x2+2x，故f′（1）=1．所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1．（2）f′（x）=﹣x2+2x+m2﹣1．令f′（x）=0，解得x=1﹣m，或x=1+m．因为m＞0，所以1+m＞1﹣m．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，1﹣m）1﹣m（1﹣m，1+m）1+m（1+m，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）递减极小值递增极大值递减所以f（x）在（﹣∞，1﹣m），（1+m，+∞）内是减函数，在（1﹣m，1+m）内是增函数．函数的极小值为：f（1﹣m）=﹣m3+m2﹣；函数的极大值为：f（1+m）=．22.设函数.（1）求的单调区间；（2）求使对恒成立的a的取值范围.参考答案：（1）见解析；（2）【分析】(1)求导后得,再对分三种情况讨