高考数学复习第五章平面向量数系的扩充与复数的引入5.3平面向量的数量积与平面向量的应用市赛课公开课一

5.3

平面向量数量积与平面向量应用1/52-2-知识梳理双基自测2341657自测点评1.平面向量数量积(1)定义:已知两个非零向量a与b,它们夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b数量积(或内积),记作a·b,即a·b=

,要求零向量与任一向量数量积为0,即0·a=0.

(2)几何意义:数量积a·b等于a长度|a|与b在a方向上投影|b|cosθ乘积.8|a||b|cosθ2/52-3-知识梳理双基自测自测点评23416572.平面向量数量积性质及其坐标表示

设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b夹角.(1)数量积:a·b=|a||b|cosθ=

.

8x1x2+y1y23/52-4-知识梳理双基自测自测点评2341657(5)已知两非零向量a与b,a⊥b⇔a·b=0⇔

;a∥b⇔a·b=±|a||b|.

(6)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立),即8x1x2+y1y2=04/52-5-知识梳理双基自测自测点评23416573.平面向量数量积运算律(1)a·b=b·a(交换律).(2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律).(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).85/52-6-知识梳理双基自测自测点评23416574.平面向量数量积运算惯用公式(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2.(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.86/52-7-知识梳理双基自测自测点评234165787/52-8-知识梳理双基自测自测点评23416576.向量在三角函数中应用对于向量与三角函数结合题目,其解题思绪是用向量运算进行转化,化归为三角函数问题或三角恒等变形等问题或解三角形问题.88/52-9-知识梳理双基自测自测点评23416577.向量在解析几何中应用向量在解析几何中应用,主要是以向量数量积给出一个条件,经过向量转化,进而利用直线和圆锥曲线位置关系等相关知识来解答.89/52-10-知识梳理双基自测2341657自测点评88.向量在物理中应用物理学中力、速度、位移都是矢量,它们分解、合成与向量加减法相同,所以能够用向量知识来处理一些物理问题;物理学中功是一个标量,是力F与位移s数量积,即W=

(θ为F与s夹角).

|F||s|cosθ10/522-11-知识梳理双基自测3415自测点评1.以下结论正确打“√”,错误打“×”.(1)一个向量在另一个向量方向上投影为数量,且有正有负.(

)(2)若a·b>0,则a和b夹角为锐角;若a·b<0,则a和b夹角为钝角.(

)(3)若a·b=0,则必有a⊥b.(

)(4)(a·b)·c=a·(b·c).(

)(5)若a·b=a·c(a≠0),则b=c.(

)答案答案关闭(1)√

(2)×

(3)×

(4)×

(5)×

(6)√

11/52-12-知识梳理双基自测自测点评234152.已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=(

)A.-8 B.-6 C.6 D.8答案答案关闭D12/52-13-知识梳理双基自测自测点评23415A.30° B.45° C.60° D.120°答案答案关闭A13/52-14-知识梳理双基自测自测点评234154.(教材例题改编P93例1)已知|a|=2,|b|=4,a·b=4,则a与b夹角θ=

.

答案答案关闭30°

14/52-15-知识梳理双基自测自测点评234155.已知a=(2,-1),b=(λ,3),若a与b夹角为钝角,则λ取值范围是

.

答案解析解析关闭答案解析关闭15/52-16-知识梳理双基自测自测点评1.因为|a||b|cosθ和|b|cosθ都是数量,所以a·b和b在a方向上投影都是一个数量,而不是向量.2.对于两个非零向量a与b,因为当θ=0°时,a·b>0,所以a·b>0是两个向量a,b夹角为锐角必要而不充分条件;a·b=0也不能推出a=0或b=0,因为a·b=0时,有可能a⊥b.3.在实数运算中,若a,b∈R,则|ab|=|a|·|b|;若a·b=a·c(a≠0),则b=c.但对于向量a,b却有|a·b|≤|a|·|b|;若a·b=a·c(a≠0),则b=c不一定成立,原因是a·b=|a||b|cosθ,当cosθ=0时,b与c不一定相等.4.向量数量积运算不满足乘法结合律,即(a·b)·c不一定等于a·(b·c),这是因为(a·b)·c表示一个与c共线向量,而a·(b·c)表示一个与a共线向量,而c与a不一定共线.16/52-17-考点1考点2考点3答案答案关闭17/52-18-考点1考点2考点318/52-19-考点1考点2考点319/52-20-考点1考点2考点3解题心得1.求两个向量数量积有三种方法:(1)当易知向量模和夹角时,利用定义求解,即a·b=|a||b|cos

θ(其中θ是向量a与b夹角).(2)当已知向量坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.(3)利用数量积几何意义.数量积a·b等于a长度|a|与b在a方向上投影|b|cos

θ乘积.2.处理包括几何图形向量数量积运算问题时,可利用向量加减运算或数量积运算律化简.但一定要注意向量夹角与已知平面角关系是相等还是互补.20/52-21-考点1考点2考点3对点训练1(1)(天津,文7)已知△ABC是边长为1等边三角形,点D,E分别是边AB,BC中点,连接DE并延长到点F,使得(2)已知a=(1,2),2a-b=(3,1),则a·b=(

)A.2 B.3 C.4 D.5(3)已知两个单位向量e1,e2夹角为,若向量b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,则b1·b2=

.

答案答案关闭(1)B

(2)D

(3)-6

21/52-22-考点1考点2考点322/52-23-考点1考点2考点323/52-24-考点1考点2考点324/52-25-考点1考点2考点3答案答案关闭B25/52-26-考点1考点2考点326/52-27-考点1考点2考点327/52-28-考点1考点2考点3解题心得1.求向量模方法:运算转化为数量积运算;(2)几何法,利用向量加减法平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解.2.求向量模最值(或范围)方法:(1)求函数最值法,把所求向量模表示成某个变量函数再求;(2)数形结正当,搞清所求模表示几何意义,结合动点表示图形求解.28/52-29-考点1考点2考点3答案答案关闭29/52-30-考点1考点2考点330/52-31-考点1考点2考点331/52-32-考点1考点2考点3答案答案关闭

(1)A

(2)B

32/52-33-考点1考点2考点333/52-34-考点1考点2考点3答案解析解析关闭答案解析关闭34/52-35-考点1考点2考点335/52-36-考点1考点2考点336/52-37-考点1考点2考点337/52-38-考点1考点2考点3答案答案关闭538/52-39-考点1考点2考点339/52-40-考点1考点2考点3解题心得1.数量积大于0说明不共线两个向量夹角为锐角,数量积等于0说明不共线两个向量夹角为直角,数量积小于0说明不共线两个向量夹角为钝角.2.若a,b为非零向量,则a⊥b⇔a·b=0.3.处理与向量相关三角函数问题普通思绪是应用转化与化归数学思想,即经过向量相关运算把问题转化为三角函数问题.4.向量在解析几何中作用:(1)载体作用:处理向量在解析几何中问题时关键是利用向量意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点坐标之间关系,从而处理相关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.(2)工具作用:利用数量积与共线定理可处理垂直、平行问题.尤其地,向量垂直、平行坐标表示对于处理解析几何中垂直、平行问题是一个比较可行方法.40/52-41-考点1考点2考点3(2)已知平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a夹角等于c与b夹角,则m=

.

(3)(山东昌乐二中模拟)已知向量m=(2cosωx,-1),n=(sinωx-cosωx,2)(ω>0),函数f(x)=m·n+3,若函数f(x)图象两个相邻B

2

41/52-42-考点1考点2考点3A42/52-43-考点1考点2考点343/52-44-考点1考点2考点344/52-45-考点1考点2考点345/52-46-考点1考点2考点346/52-47-考点1考点2考点31.平面向量坐标表示与向量表示比较:已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是向量a与b夹角.47/52-48-考点1考点2考点32.计算数量积三种方法:定义、坐标运算、数量积几何意义,要灵活选取,与图形相关不要忽略数量积几何意义应用.3.利用向量垂直或平行条件结构方程或函数是求参数或最值问题惯用方法与技巧.4