6-多元函数微分学在几何上的简单应用省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

多元函数微分学在几何上简单应用平面曲线切线与法线空间曲线切线与法平面曲线弧长空间曲面切平面与法线8月1南京航空航天大学理学院数学系第1页一、平面曲线切线与法线曲线L：条件：上一点,近旁,F满足隐函数定理条件,可确定可微隐函数:处切线：8月2南京航空航天大学理学院数学系第2页总之,当例1求笛卡儿叶形线在点

处切线与法线.解设由§1例2

讨论近旁满足隐函数定理8月3南京航空航天大学理学院数学系第3页条件.轻易算出于是所求切线与法线分别为例2用数学软件画出曲线图象；并求该曲线在点处切线与法线.

8月4南京航空航天大学理学院数学系第4页解在MATLAB指令窗内执行以下绘图指令:

symsx,y;ezplot(x^2+y-sin(x*y),[-4,4],[-8,1]);

就马上得到曲线L图象(见本例末页图18－6).令轻易求出:8月5南京航空航天大学理学院数学系第5页由此得到L在点处切线与法线分别为：若在上面MATLAB指令窗里继续输入以下指令,便可画出上述切线与法线图象.

holdon;

a=(pi)^(1/3);b=a^2;ezplot((2*a-b)*(x-a)+(1+a)*(y+b));ezplot((1+a)*(x-a)-(2*a-b)*(y+b))

8月6南京航空航天大学理学院数学系第6页8月7南京航空航天大学理学院数学系第7页例3设普通二次曲线为试证L在点处切线方程为证8月8南京航空航天大学理学院数学系第8页由此得到所求切线为利用满足曲线L方程,即整理后便得到8月9南京航空航天大学理学院数学系第9页二、空间曲线切线与法平面先从参数方程表示曲线开始讨论.对于平面曲线若是其上一点,则曲线在点处切线为下面讨论空间曲线.8月10南京航空航天大学理学院数学系第10页(A)用参数方程表示空间曲线:

类似于平面曲线情形,不难求得处切线为过点且垂直于切线平面,称为曲线L在点处法平面(见后图).

8月11南京航空航天大学理学院数学系第11页因为切线方向向量即为法平面法向量,所以法平面方程为(B)用直角坐标方程表示空间曲线：

设近旁含有连续一阶偏导数,且8月12南京航空航天大学理学院数学系第12页不妨设于是存在隐函数组这也就是曲线L以z作为参数一个参数方程.依据公式(2),所求切线方程为8月13南京航空航天大学理学院数学系第13页应用隐函数组求导公式,有于是最终求得切线方程为对应于(3)式法平面方程则为8月14南京航空航天大学理学院数学系第14页解轻易求得故切向向量为例4求空间曲线在点处切线和法平面.由此得到切线方程和法平面方程分别为8月15南京航空航天大学理学院数学系第15页

symst;x=t-sin(t);y=1-cos(t);z=4*sin(t/2);

ezplot3(x,y,z,[-2*pi,2*pi])

绘制上述空间曲线程序与所得图形以下:8月16南京航空航天大学理学院数学系第16页图18－88月17南京航空航天大学理学院数学系第17页例5求曲线在点处切线与法平面.解曲线L是一球面与一圆锥面交线.令依据公式(5)与(6),需先求出切向向量.为此计算F,G在点处雅可比矩阵:8月18南京航空航天大学理学院数学系第18页由此得到所需雅可比行列式:8月19南京航空航天大学理学院数学系第19页故切向向量为据此求得8月20南京航空航天大学理学院数学系第20页三、曲线弧长弧长折线极限弧长计算公式：对于空间简单曲线：8月21南京航空航天大学理学院数学系第21页例：求平面曲线弧长：例：求螺旋线一个螺距之间长度：8月22南京航空航天大学理学院数学系第22页弧微分设曲线参数方程为能够将弧长视为参数t函数这么，可得弧长微分（弧微分）为：8月23南京航空航天大学理学院数学系第23页自然参数既然弧长能够视为参数t函数一定存在反函数！将反函数t=t(s)代入曲线参数方程即弧长s成为曲线参数，称之为自然参数性质：为单位切向量今后用等分别表示8月24南京航空航天大学理学院数学系第24页四、曲面切平面与法线以前知道,当f为可微函数时,曲面z=f(x,y)在点处切平面为现在新问题是:曲面由方程给出.若点近旁含有连续一阶偏导数,而且8月25南京航空航天大学理学院数学系第25页不妨设则由方程(7)在点近旁惟一地确定了连续可微隐函数因为所以在处切平面为又因(8)式中非零元素不指定性,故切平面方程8月26南京航空航天大学理学院数学系第26页普通应写成随之又得到所求法线方程为回顾1现在知道,函数在点P梯度其实就是等值面在点P法向量:8月27南京航空航天大学理学院数学系第27页回顾2若把由(4)表示空间曲线L看作两曲面交线(如图),则L在切线与此二曲面在法线都相垂直.而这两条法线方向向量分别是

8月28南京航空航天大学理学院数学系第28页故曲线(4)切向向量可取向量积:这比前面导出(5),(6)两式过程更为直观,也容易记得住.8月29南京航空航天大学理学院数学系第29页例6求旋转抛物面在点解令则曲面法向量为处切平面和法线.从而由(9),(10)分别得到切平面为法线为8月30南京航空航天大学理学院数学系第30页()例7证实:曲面任一切平面都过某个定点(这里f是连续可微函数).()证令则有8月31南京航空航天大学理学院数学系第31页()于是曲面在其上任一点处法向量可取为由此得到切平面方程:将点代入上式,得一恒等式:8月32南京航空航天大学理学院数学系第32页这说明点恒在任一切平面上.8月33南京航空航天大学理学院数学系第33页曲面也能够用以下双参数方程来表示:这种曲面可看作由一族曲线所组成:每给定v一个值,(11)就表示一条以u为参数曲线;当v取某个区间上一切值时,这许多曲线集合组成了一个曲面.现在要来求出这种曲面切平面和法线方程.为此假设且8月34南京航空航天大学理学院数学系第34页(11)式中三个函数在近旁都存在连续一阶偏导数.因为在处法线必垂直于上过任意两条曲线在切线,所以只需在上取两条特殊曲线:它们切向量分别为8月35南京航空航天大学理学院数学系第35页则所求法向量为至此,不难写出切平面方程和法线方程分别为

8月36南京航空航天大学理学院数学系第36页解先计算在点处法向例8设曲面参数方程为试对此曲面切平面作出讨论.量:8月37南京航空航天大学理学院数学系第37页由此看到,当时说明在曲面(12)而当时,法向量可取上存在着一条曲线,其方程为在此曲线上各点处,曲面不存在切平面,我们称这种曲线为该曲面上一条奇线.

与之对应切平面则为8月38南京航空航天大学理学院数学系第38页法线则为当动点趋于奇线(13)上点