数学建模常用综合评价方法介绍市公开课一等奖省赛课获奖课件

惯用综合评价方法介绍第1页第一节综合评价概述一、综合评价基本概念二、综合评价普通步骤三、综合评价不足第2页一、综合评价基本概念评价（evaluation）：所谓评价，即价值确实定，是经过对照一些标准来判断测量结果，并赋予这种结果以一定意义和价值过程。综合评价（syntheticalevaluation）：对一个复杂系统用多个指标进行总体评价方法。第3页一、综合评价基本概念综合评价方法：又称为多变量综合评价方法、多指标综合评定技术。综合评价是对一个复杂系统多个指标信息，应用定量方法（包含数理统计方法），对数据进行加工和提炼，以求得其优劣等级一个评价方法。第4页一、综合评价基本概念综合评价普通表现为以下几类问题：ａ分类——对所研究对象全部个体进行分类；ｂ比较、排序（直接对全部评价单位排序，或在分类基础上对各小类按优劣排序）；ｃ考查某一综合目标整体实现程度（对某一事物作出整体评价）。第5页二、综合评价普通步骤1．确定综合评价目标2．确定评价指标和评价指标体系3．确定各个评价指标权重4.求单个指标评价值5.求综合评价值第6页1.指标选取筛选评价指标主要依据专业知识，即依据相关专业理论和实践，来分析各评价指标对结果影响，挑选那些代表性、确定性好，有一定区分能力又相互独立指标组成评价指标体系。系统分析法（Systemreview）和文件资料分析优选法是惯用评价指标筛选法。第7页1.指标选取1.同向化处理将逆指标转换为正指标方法通常有：转换为对应正指标，如中间消耗率——增加值率；倒数法：X——1/X对于适度指标，通常依据实际值与适度值（K）差距倒数1／（1＋|X-K|）。2.无量纲化处理第8页2.权数确实定方法按权数表现形式分为：绝对数权数；比重权数。通常采取比重权数——归一化权数。按确定权数方法分为：主观赋权法；客观赋权法。第9页2.权数确实定方法主观赋权法德尔菲法（教授法）——实际上各个教授能够依据自己了解选择不一样方法相邻指标比较法；（先按主要性将全部评价指标排序，再将相邻指标主要性进行比较层次分析法（ＡＨＰ）——互反式两两比较构权法。第10页2.权数确实定方法权数特征（指主观权数、人工权数）

主要性——权数是一个主要性程度量化值。指对合成值影响程度大小。主要性本身是个综合概念，表现在多个方面，如能够是“价值判断取向”上主要性，也能够是合成时“分辨能力（信息含量）高低”主要性，或“可靠度大小”主要性。含糊性——主要性本身就是个含糊概念；习惯取点值。人工性——没有绝正确正确错误标准；只能尽可能选择相对科学合理权数。主观性——受评权者主观意识影响第11页2.权数确实定方法客观赋权法——从指标统计性质来考虑，它是由客观数据决定。客观定权法包含含糊定权法、秩和比法、熵权法和相关系数法等第12页3.合成方法合成方法

——由单项评价值计算综合评价值方法。1、算术平均法（加法合成、加减法合成）2、几何平均法（乘法合成、乘除法合成）3.混合合成法第13页3.合成方法1、

加权算术平均法主要特点（1）对于数据要求最宽松，用于合成某一指标数值能够为0、为负；（2）各指标能够相互赔偿（等量赔偿），即此升彼降，总评价值不变；（3）突出了评价分数较大、权数较大者作用，适合用于主原因突出性评价；（对较大数值变动更为敏感）。第14页3.合成方法2、几何平均法主要特点（1）对数据要求较高，指标数值不能为0、负数，（2）

勉励被评价对象在各方面全方面发展，任一方也不能偏废。此合成方法督促“全方面发展”，而不是靠重点倾斜方法取胜；（3）

乘除法轻易拉开评价档次，对较小数值变动更敏感。第15页三、综合评价不足综合评价方法很多，各种方法得出结果不可能完全相同，而且都带有一定相对性和不足。（1）将若干个指标数值综合成一个数值，损失了原有指标带来大量信息，结果较抽象，难释其经济意义；（2）主观性很强，选择什么指标、选择多少指标，权数分配都很主观；（3）评价结果不含有惟一性。选择不一样方法，可能有不一样结果，即使采取一样方法，因为各指标赋值不一样、权重不一样等，也有可能使评价结果不一样。第16页第二节惯用综合评价方法一、计分法二、综合指数法二、Topsis法三、秩和比(RSR)法四、层次分析(AHP)法五、含糊评价方法六、多元统计分析方法七、灰色系统评价方法第17页一、计分法1.综累计分法依据评价目标及评价对象特征选定必要评价指标逐一指标定出评价等级，每个等级标准用分值表示以恰当方式确定各评价指标权数选定累计总分方案以及综合评价等级总分值范围，以此为准则，对评价对象进行分析和评价，以决定优劣取舍特点：简便易行，过于粗糙。第18页一、计分法2.排队计分法将评价单位各项评价指标依优劣秩序排队，再将名次（位置）转化为单项评价值，最终由单项评价值计算各单位综合评价值（总分）。第19页排队计分法优缺点优点：简便易行，勿须另寻比较标准；各单项评价值有统一值域；适用范围广泛（可用于定序以上层次数据）缺点：原始数据信息损失较大。第20页二、综合指数法一个或一组变量对某特定变量值大小相对数称指数，反应某一事物或现象动态改变指数称个体指数，综合反应各种事物或现象动态平均改变程度指数称总指数，综合指数编制总指数基本计算形式，定量地对某现象进行综合评价方法称综合指数法第21页个体指数计算：高优指标个体指数p，为实测值X与标准值M商p＝X/M

低优指标个体指数

p＝M/X综合指数I较为复杂，没有统一表示形式，常见有加权求和，算术平均，乘积法等二、综合指数法第22页Ki为单项评价指数：综合评价指数公式为：

评价指数能够为正指标，也能够为逆指标。但必须同向化。普通是把逆指标转化为正指标——采取倒数法，此时，综合评价指数才是越大越好。二、综合指数法（举例：加权指数法）第23页指标名称计量

单位全国

标准数权数汇报期指标值甲地域乙地域丙地域（甲）（乙）（1）（2）（3）（4）（5）社会总成本增加值社会总成本利税率社会劳动生产率商品流通费用率积累效果系数元/百元元/百元万元/人％％45202155030252551546252.2163548262.4183845211.81428试比较三个地域综合经济效益。二、综合指数法第24页三个地域综合经济效益指数分别为：=110.31%

=116.67%=99.11%二、综合指数法第25页三、Topsis法TOPSIS（Techniquefororderpreferencebysimilaritytoidealsolution）法，即迫近理想解排序法，意为与理想方案相同性次序选优技术，是系统工程中有限方案多目标决议分析一个惯用方法。它是基于归一化后原始数据矩阵，找出有限方案中最优方案和最劣方案（分别用最优向量和最劣向量表示），然后分别计算诸评价对象与最优方案和最劣方案距离，取得各评价对象与最优方案相对靠近程度，以此作为评价优劣依据。第26页1.设有n个评价对象、m个评价指标，原始数据可写为矩阵X＝(Xij)n×m

2.对高优、低优指标分别进行同向化、归一化变换

三、Topsis法第27页3.归一化得到矩阵Z＝(Zij)n×m，其各列最大、最小值组成最优、最劣向量分别记为Z＋＝(Zmax1

Zmax2…

Zmaxm)

Z－＝(Zmin1

Zmin2…

Zminm)

4.第i个评价对象与最优、最劣方案距离分别为5.第i个评价对象与最优方案靠近程度Ci为三、Topsis法第28页例4某儿童医院1994～1998年7项指标实际值，用Topsis法比较该医院这5年医疗质量年份出院人数病床使用率平均住院日病死率抢救成功率治愈好转率院内感染率19942158476.77.31.0178.397.52.019952437286.37.40.8091.198.02.019962204181.87.30.6291.197.33.219972111584.56.90.6090.297.72.919982463390.36.90.2595.597.93.6三、Topsis法第29页变换后，得到矩阵

平均住院日、病死率、院内感染率为低优指标，其余为高优指标，同向化、归一化变换三、Topsis法第30页计算各列最大、最小值组成最优、最劣向量分别为Z＋＝(0.48330.48050.46340.81780.47760.44870.5612)Z－＝(0.41420.40810.43210.20240.39160.44550.3118)三、Topsis法计算各年与最优、最劣向量距离（以94年为例）C1＝0.2497/(0.6289＋0.2497)＝0.2842计算靠近程度（以94年为例）第31页年份D+D-Ci排序19940.62890.24970.2842319950.56400.27540.3281219960.53690.15140.2200519970.51410.17620.2552419980.24940.63020.71641能够看出，1998

年综合效益最好，其次为

1995年，随即为

1994年、1997年，1996

年最差三、Topsis法第32页四、秩和比(RSR)法•是利用秩和比RSR（Rank-sumratio）进行统计分析一组方法。•RSR是一个内涵较为丰富综合性指标，含有0—1连续变量特征，它以非参数分析方法为基础，经过指标数（列）、分组数（行）作秩转换，再利用参数分析概念和方法研究RSR分布，处理多指标综合评价问题。第33页设有m个指标，对n组数据进行评价，形成n行m列数据阵，则各行，

其中为分别按列编秩后各行秩次。最小RSR=1/n，最大RSR=1。四、秩和比(RSR)法第34页分别对要评价各项指标进行编秩计算各指标秩和比（RSR）确定RSR分布求回归方程排序分档四、秩和比(RSR)法第35页采取秩和比法对某病区护士4项考评指标进行综合评价业务考试成绩（X1）操作考评结果（X2）科内测评（X3）工作量考评（X4）四、秩和比(RSR)法第36页第一步，分别对要评价各项指标进行编秩遇相等评分时，取平均等级。四、秩和比(RSR)法第37页第二步，计算各指标秩和比（RSR）其中：m为指标个数，n为分组数，Ri为各指标秩次，RSR值即为多指标平均秩次，其值越大越优四、秩和比(RSR)法第38页四、秩和比(RSR)法第39页四、秩和比(RSR)法第三步，确定RSR分布RSR→频数f→累积频数→秩号范围→平均秩次→累积频率→Y（概率单位）。

Y为RSR累积频率对应概率单位值，Y=uα+5，uα标准正态分布上分位点（α=/n）第40页四、秩和比(RSR)法RSR值正态性检验：Z=0.4772，双侧检验P=0.9767，说明RSR值呈正态分布第41页第四步，求回归方程：RSR=A+BY经相关和回归分析，应变量RSR与自变量概率单位Y之间含有线性相关（r=0.9528）线性回归方程为：RSR=0.1877Y-0.4232F=59.078，P=0.0002说明所求线性回归方程有统计学意义四、秩和比(RSR)法第42页第五步，依据RSR值排序分档最正确分类归档涵义是各档方差一致，相差含有显著性。最正确分档准则为每档最少2例，尽可能多分几组。最正确分档步骤，首先进行方差一致性检验，在方差一致前提下，再作统计检验，方差分析结果判断各类间是否含有统计学差异，然后利用多重比较检验各类间差异是否显著。假如各类间方差不一致或各类间差异未达显著，则需考虑重新分档。四、秩和比(RSR)法第43页将各护士护理考评指标合理分档，分差、良、优三档。四、秩和比(RSR)法第44页经方差齐性检验X2=2.3006，P>0.05，说明各档方差一致方差分析显示：F=22.9722,P=0.0030，说明各档间有显著差异两两比较，P<0.05,说明各档彼此之间都有差异，到达了最正确分档。四、秩和比(RSR)法第45页惯用分档数及对应概率单位

第46页层次分析法是一个以定性与定量相结合、系统化、层次化分析问题方法。它是将半定性、半定量问题转化为定量问题一个行之有效方法，使人们思维过程层次化，经过逐层比较其间相关原因并逐层检验比较结果是否合理，从而为分析决议提供了较具说服力定量依据。五、层次分析法第47页层次分析过程可分为四个基本步骤：（1）建立层次结构模型；（2）结构出各层次中全部判断矩阵；（3）层次单排序及一致性检验；（4）层次总排序及一致性检验。五、层次分析法第48页例某工厂有一笔企业留成利润要由厂领导决定怎样使用。可供选择方案有：给职员发奖金、扩建企业福利设施（改进企业环境、改进食堂等）和引进新技术新设备。工厂领导希望知道按怎样百分比来使用这笔资金较为合理。五、层次分析法第49页步1建立层次结构模型在用层次分析法研究问题时，首先要依据问题因果关系并将这些关系分解成若干个层次。较简单问题通常可分解为目标层（最高层）、准则层（中间层）和方案办法层（最低层）。与其它决议问题一样，研究分析者不一定是决议者，不应自作主张地作出决议。对于本例，假如分析者自行决定分配百分比，厂领导必定会问询为何要按此百分比分配，符合决议者要求决议来自于对决议者意图真实了解。经过双方沟通，分析者了解到以下信息：决议者目标是合理利用企业留成利润，而利润利用是否合理，决议者主要标准为：（1）是否有利于调动企业职员主动性，（2）是否有利于提升企业生产能力，（3）是否有利于改进职员工作、生活环境。分析者能够提出自己看法，但标准最终确定将由决议者决定。五、层次分析法第50页依据决议者意图，能够建立起本问题层次结构模型如图8.7所表示。合理利用企业利润调动职员主动性C1提升企业技术水平C2改进职员工作生活条件C3发奖金P1扩建福利事业P2引进新设备P3目标层O准则层C办法层P图中连线反应了原因间存在关联关系，哪些原因存在关联关系也应由决议者决定。五、层次分析法第51页对于因果关系较为复杂问题也能够引进更多层次。比如，在选购电冰箱时，如以质量、外观、价格、品牌及信誉等为准则，可能在衡量质量优劣时又可分出若干个不一样子准则，如制冷性能、结霜情况、耗电量大小等等。建立层次结构模型是进行层次分析基础，它将思维过程结构化、层次化，为深入分析研究创造了条件。五、层次分析法第52页步2结构判断矩阵层次结构反应了原因之间关系，比如图中目标层利润利用是否合理可由准则层中各准则反应出来。但准则层中各准则在目标衡量中所占比重(权值）并不一定相同，在决议者心目中，它们各占有一定百分比。怎样来确定合理权值？五、层次分析法第53页Saaty等人提议能够采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵方法。即每次取两个因子xi和xj，以aij表示xi和xj对Z影响大小之比，全部比较结果用矩阵A=(aij)n×n表示，称A为Z－X之间成对比较判断矩阵（简称判断矩阵）。轻易看出，若xi和xj对Z影响之比为aij，则xj和xi对Z影响之比应为。五、层次分析法第54页定义7.4若矩阵A=(aij)n×n满足（i）aij>0，（ii）（i,j=1,2,…,n），则称之为正互反矩阵（易见aii=1,i=1,…,n）。五、层次分析法显然判断矩阵是正互反矩阵。第55页从心理学观点来看，分级太多会超越人们判断能力，既增加了作判断难度，又轻易所以而提供虚假数据。Saaty等人还用试验方法比较了在各种不一样标度下人们判断结果正确性，试验结果也表明，采取1~9标度最为适当。假如在结构成对比较判断矩阵时，确实感到仅用1~9及其倒数还不够理想时，能够依据情况再采取因子分解聚类方法，先比较类，再比较每一类中元素。关于怎样确定aij值，Saaty等提议引用数字1~9及其倒数作为标度。他们认为，人们在成对比较差异时，用5种判断级较为适当。即使用相等、较强、强、很强、绝对地强表示差异程度，aij对应地取1,3,5,7和9。在成对事物差异介于二者之间难以定夺时，aij可分别取值2、4、6、8。五、层次分析法第56页步3层次单排序及一致性检验上述结构成对比较判断矩阵方法虽能降低其它原因干扰影响，较客观地反应出一对因子影响力差异。但综合全部比较结果时，其中难免包含一定程度非一致性。假如比较结果是前后完全一致，则矩阵A元素还应该满足：

i、j、k=1,2,…,n

五、层次分析法满足该关系式正互反矩阵称为一致矩阵。第57页定理若A为一致矩阵，则（1）A必为正互反矩阵。（2）A转置矩阵AT也是一致矩阵。（3）A任意两行成百分比，百分比因子（即wi/wj）大于零，从而rank（A）=1（一样，A任意两列也成百分比）。（4）A最大特征根λmax=n，其中n为矩阵A阶。A其余特征根均为零。（5）若A最大特征根λmax对应特征向量为W=（w1,…,wn）I，则aij=wi/wj，i,j=1,2,…,n。定理正互反矩阵A最大特征根λmax必为正实数，其对应特征向量全部分量均为正实数。A其余特征根模均严格小于λmax。（证实从略）五、层次分析法定理

n阶正互反矩阵A为一致矩阵当且仅当其最大特征根λmax=n，且当正互反矩阵A非一致时，必有λmax>n。第58页依据定理，我们能够由λmax是否等于n来检验判断矩阵A是否为一致矩阵。因为特征根连续地依赖于aij，故λmax比n大得越多，A非一致性程度也就越为严重，λmax对应标准化特征向量也就越不能真实地反应出X={x1,…,xn}在对原因Z影响中所占比重。所以，对决议者提供判断矩阵有必要作一次一致性检验，以决定是否能接收它。

为确定多大程度非一致性是能够允忍，Saaty等人采取了以下方法：（1）求出，称CI为A一致性指标。轻易看出，当且仅当A为一致矩阵时，CI=0。CI值越大，A非一致性越严重。利用线性代数知识能够证实，An个特征根之和等于其对角线元素之和（即n）故CI实际上是A除λmax以外其余n－1个特征根平均值绝对值。若A是一致矩阵，其余n－1个特征根均为零，故CI=0；不然，CI>0，其值随A非一致性程度加重而连续地增大。当CI略大于零时（对应地，λmax稍大于n），A含有较为满意一致性；不然，A一致性就较差。五、层次分析法第59页（2）上面定义CI值即使能反应出非一致性严重程度，但仍未能指明该非一致性是否应该被认为是能够允许。实际上，我们还需要一个度量标准。为此，Saaty等人又研究了他们认为最不一致矩阵——用从1~9及其倒数中随机抽取数字结构正互反矩阵，取充分大子样，求得最大特征根平均值，并定义称RI为平均随机一致性指标。对n=1,…,11,，Saaty给出了RI值，如表所表示。N1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51五、层次分析法第60页（3）将CI与RI作比较，定义称CR随机一致性比率。经大量实例比较，Saaty认为，在CR<0.10时能够认为判断矩阵含有较为满意一致性，不然就应该重新调整判断矩阵，直至含有满意一致性为止。总而言之，在步3中应先求出A最大特征根λmax及λmax对应特征向量W=（w1,…,wn）T，进行标准化，使得。再对A作一致性检验：计算，查表得到对应于nRI值，求，若CR<0.1，则一致性较为满意，以i作为因子xi在上层因子Z中所含有权值。不然必需重新作比较，修正A中元素。只有在一致性较为满意时，W分量才可用作层次单排序权重。五、层次分析法第61页现对本节例7.13（即合理利用利润问题例子）进行层次单排序。为求出C1、C2、C3在目标层A中所占权值，结构O－C层成对比较矩阵，设结构出成对比较判断知阵A=于是经计算，A最大特征根λmax=3.038，CI=0.019，查表得RI=0.58，故CR=0.033。因CR<0.1，接收矩阵A，求出A对应于λmax标准化特征向量W=(0.105,0.637，0.258)T，以W分量作为C1、C2、C3在目标O中所占权重。311153C1C2C3C1C2C30五、层次分析法第62页类似求办法层中P1、P2在C1中权值，P2、P3在C2中权值及P1、P2在C1中权值：

1P231P1P2P1C113λmax=2，CI=CR=0W=(0.75,0.25)T15P31P2P3P2C215λmax=2，CI=CR=0W=(0.167,0.833)T1P221P1P2P1C312λmax=2，CI=CR=0W=(0.66,0.333)T五、层次分析法第63页经层次单排序，得到图7.8。合理利用企业利润调动职员主动性C1提升企业技术水平C2改进职员工作生活条件C3发奖金P1扩建福利事业P2引进新设备P3目标层O准则层C办法层P0.1050.6370.2580.750.250.1670.8330.6670.3332五、层次分析法第64页设上一层次（A层）包含A1,…,Am共m个原因，它们层次总排序权值分别为a1,…,am。又设其后下一层次（B层）包含n个原因B1,…,Bn，它们关于Aj层次单排序权值分别为b1j,…,bnj（当Bi与Aj无关联络时，bij=0）。现求B层中各原因关于总目标权值，即求B层各原因层次总排序权值b1,…,bn，计算按表7.11所表示方式进行,即，i=1,…,n。表7.11bnm…bn2bn1Bn………………B2m…b22b21B2B1m…b12b11B1B层总排序权值Amam……A2a2A1a1层A层B步4

层次总排序及一致性检验最终，在步骤（4）中将由最高层到最低层，逐层计算各层次中诸原因关于总目标（最高层）相对主要性权值。第65页比如，对于前面考查工厂合理利用留成利润例子，办法层层次单排序权值计算如表7.12所表示。层C层PC1C2C3层P总排序权值0.1050.6370.258P10.7500.6670.251P20.250.1670.3330.218P300.83300.531对层次总排序也需作一致性检验，检验仍象层次总排序那样由高层到低层逐层进行。这是因为即使各层次均已经过层次单排序一致性检验，各成对比较判断矩阵都已含有较为满意一致性。但当综合考查时，各层次非一致性仍有可能积累起来，引发最终分析结果较严重非一致性。五、层次分析法第66页设B层中与Aj相关原因成对比较判断矩阵在单排序中经一致性检验，求得单排序一致性指标为CI(j)，(j=1,…,m)，对应平均随机一致性指标为RI(j)(CI(j)、RI(j)已在层次单排序时求得)，则B层总排序随机一致性比率为CR=

当CR<0.10时，认为层次总排序结果含有较满意一致性并接收该分析结果。对于表7.11中P层总排序，因为C—P层间三个判断矩阵一致性指标（即CI(j)，j=1，2，3）均为0，故P层总排序随机一致性比率CR=0，接收层次分析结果，将留成利润25.1%用于发奖金，21.8%用于扩建福利事业，余下53.1%用于引进新技术新设备。五、层次分析法第67页二、最大特征根及对应特征向量近似计算法众所周知，求矩阵A特征根与特征向量在n较大时是非常麻烦，需要求解高次代数方程及高阶线性方程组。因为判断矩阵中aij给出方法是比较粗糙，它只是决议者主观看法在一定精度内定量化反应，也就是说，建模本身存在着较大模型误差。因而，在计算特征根和特征向量时，没有必要化费太多时间和精力去求A特征根与特征向量准确值。实际上，在应用层次分析法决议时，这些量计算通常采取较为简便近似方法。1、方根法在应用小型计算器求判断矩阵A最大特征根与对应特征向量时可采取方根法。其计算步骤以下：五、层次分析法第68页（1）求判断矩阵每行元素乘积，i=1,2,…,n（2）求Min次方根

（3）对进行标准化，求特征向量各分量近似值。（4）求A最大特征根近似值从（7.6）式中不难看出，当A为一致矩阵时，由A中各行乘积n次方根组成向量与A特征向量成百分比。因而当A非一致性不太严重时，方根法求得Wi（i=1,…,n）可近似用于层次单排序权值。第69页对前面例子中O—C判断阵，有每行元素相乘求，得第70页2、幂法计算步骤：（步1）任取一标准化向量W(0)，指定一精度要求ε>0，k=0。（步2）迭代计算，k=0,1,…。若，i=1,…,n，则取W=为A对应于λmax特征向量近似，不然转步2。（步3）将标准化，即求

其中为第i个分量。第71页（步4）求λmax近似值对前面例子中O—C判断矩阵，若取，=0.001，利用幂法求近似特征向量以下：（第一次迭代）

(0)=(0.511,3,1.444)T，=4.955，求得W(1)=(0.103,0.605,2.91)T（第二次迭代）

(2)=(0.321,1.993,0.802)T，=3.116，求得W(2)=(0.103,0.639,0.257)T第72页（第三次迭代）

(3)=(0.316,1.925,0.779)T，=3.02，求得W(3)=(0.105,0.637,0.258)T（第四次迭代）

(4)=(0.318,1.936,0.785)T，=3.04，求得W(4)=(0.105,0.637,0.258)T因，取W=W(4)。进而，可求得。3、和积法（步1）将判断矩阵A每一列标准化，即令,i,j=1,…,n令。第73页（步2）将中元素按行相加得到向量，其分量，i=1,…,n。（步3）将标准化，得到W，即

，i=1,…,nW即为A（对应于λmax）近似特征向量。（步4）求最大特征根近似值。第74页仍以前面例子中O—C判断矩阵为例：按列标准化

标准化，以上近似方法计算都很简单，计算结果与实际值相差很小，且A非一致性越弱相差越小，而当A为一致矩阵时二者完全相同。按行相加第75页三、层次分析法应用举例在应用层次分析法研究问题时，碰到主要困难有两个：（1）怎样依据实际情况抽象出较为贴切层次结构；（2）怎样将一些定性量作比较靠近实际定量化处理。层次分析法对人们思维过程进行了加工整理，提出了一套系统分析问题方法，为科学管理和决议提供了较有说服力依据。但层次分析法也有其不足，主要表现在：（1）它在很大程度上依赖于人们经验，主观原因影响很大，它至多只能排除思维过程中严重非一致性（即矛盾性），却无法排除决议者个人可能存在严重片面性。（2）比较、判断过程较为粗糙，不能用于精度要求较高决议问题。AHP至多只能算是一个半定量（或定性与定量结合）方法，怎样用更科学、更准确方法来研究问题并作出决议，还有待于深入探讨研究。在应用层次分析法时，建立层次结构模型是十分关键一步。现再分析若干实例，方便说明怎样从实际问题中抽象出对应层次结构。第76页例7.14招聘工作人员某单位拟从应试者中挑选外销工作人员若干名，依据工作需要，单位领导认为招聘来人员应具备一些必要素质，由此建立层次结构如图7.9所表示。招聘人员综合情况知识能力外表经济知识外语知识法律知识组织能力公关能力计算机操作气质身高体形C层B层A层0.250.50.25B1B2B30.1860.7370.0770.3330.3330.3330.7380.1680.094C1C2C3C4C5C6C7C8C9第77页该单位领导认为，作为外销工作人员，知识面与外观形象一样主要，而在能力方面则应有稍强一些要求。依据以上看法，建立A—B层成对比较判断矩阵→

求得λmax=3，CR=0。1211121B1B2B3B3B2B1A第78页类似建立B—C层之间三个成对比较矩阵:

注：权系数是依据后面计算添加上去

1C3815C231C1C3C2C1B1111C6111C5111C4C6C5C4B21C921C8751C7C9C8C7B3W=(0.186,0.737,0.077)T

=3.047,CR=0.08W=(,,)TW

=(0.738,0.168,0.094)T

=3.017,CR=0.08第79页经层次总排序，可求得C层中各因子Ci在总目标中权重分别为：0.047,0.184,0.019，0.167,0.167,0.167,0.184,0.042,0.024招聘工作可以下进行，依据应试者履历、笔试与面试情况，对他们九项指标作1—9级评分。设其得分为X=(x1,…,x9)T，用公式y=0.047x1+0.184x2+0.019x3+0.167(x4+x5+x6)+0.184x7+0.042x8+0.024x9

计算总得分，以y作为应试者综合指标，按高到低次序录用。第80页例7.15

（挑选适当工作）经双方恳谈，已经有三个单位表示愿意录用某毕业生。该生依据已经有信息建立了一个层次结构模型，如图8.10所表示。工作满意程度研究课题发展前途待遇同事情况地理位置单位名气工作1工作2工作3目标层A准则层B方案层CB1B2B3B4B5B6C1C2C3第81页该生经冷静思索、重复比较，建立了各层次成对比较矩阵：133222B611311B51B43511B314211B214111B1B6B5B4B3B2B1A第82页因为比较原因较多，此成对比较矩阵甚至不是正互反矩阵。（方案层）

12C3314C21C1C3C2C1B1125C314C21C1C3C2C1B211C311C231C1C3C2C1B3第83页(层次总排序)如表7.13所表示。

表7.13准则研究课题发展前途待遇同事情况地理位置单位名气总排序权值准则层权值0.160.190.190.050.120.30方案层工作10.140.100.320.280.470.770.40单排序工作20.620.330.220.650.470.170.34权值工作30.240.570.460.070.070.060.26依据层次总排序权值，该生最满意工作为工作1。（因为篇幅限止，本例省略了一致性检验）第84页例7.16

作品评选。

电影或文学作品评奖时，依据相关部门要求，评判标准有教育性、艺术性和娱乐性，设其间建立成对比较矩阵为由此可求得W=(0.158,0.187,0.656)T，CR=0.048(<0.1)第85页本例层次结构模型如图7.11所表示

电影或文学作品评选教育性艺术性娱乐性作品1作品n……0.1580.1870.656在详细评选时，可请教授对作品教育性、艺术性和娱乐性分别打分。依据作品得分数X=(x1,x2,x3)T，利用公式y=0.158x1+0.187x2+0.656x3

计算出作品总得分，据此排出获奖次序。读者不难看出，A矩阵建立对评选结果影响极大。实际上，整个评选过程是在组织者事先划定框架下进行，评选结果是按组织者满意程度来排序。这也说明，为了使评选结果较为理想，A矩阵建立应尽可能合理。第86页例7.17

教师工作情况考评。某高校为了做好教师工作综合评定，使晋级、奖励等尽可能科学合理，结构了图7.12所表示层次结构模型。教育工作评定教学工作量指导硕士数教学内容教学效果主要刊物发表论文数普通论文数国家级获奖项目省部级获奖项目出版著作字数翻译著作字数数量质量论文项目著作教学科研OA1A2B1B2B3B4B5C1C2C3C4C5C6C7C8C9C10图7.12第87页在C层中共列出了十项指标，有些可用数量表示，有些只能定性表示（如教学效果只能分为若干等级）。即使对于能够定量表示指标，因为各指标含有不一样量纲，比如一篇论文并不等同于一个获奖项目，相互之间不能直接进行比较。为此，在层次单排序与总排序时应先统一化成无量纲量。如可将每一指标分为若干等级并对每一等级要求一个适当得分数。然后再依据各因子主要程度利用成对比较及层次排序来确定各因子权。在评定某教师时，只要依据该教师各项指标，利用由层次分析得到评定公式计算其最终得分即可。上述诸例有一个共同特征，模型包括原因间存在着较为明确因果关系，这些因果关系又能够分成若干个层次。同一层次中各原因间相互影响很小基本上可略去不计，上层原因对下层一些原因存在着逐层传递支配关系，但不考虑相反逆关系。更复杂层次结构能够考虑同一层次内各原因间相互影响，也能够考虑下层原因对上层原因反馈作用，因研究这类层次结构需要用到更多数学知识，本处不准备再作深入介绍，有兴趣读者能够查阅相关书籍和文件。第88页

设U={u1,u2,…,un}为n种原因(或指标),V={v1,v2,…,vm}为m种评判(或等级).因为各种原因所处地位不一样,作用也不一样,可用权重A=(a1,a2,…,an)来描述,它是原因集U一个含糊子集.对于每一个原因ui,单独作出一个评判f(ui),可看作是U到V一个含糊映射f

,由f可诱导出U到V一个含糊关系Rf,由Rf可诱导出U到V一个含糊线性变换TR(A)=A°R=B,它是评判集V一个含糊子集,即为综合评判.(U,V,R

)组成含糊综合评判决议模型,U,V,R是此模型三个要素.六、含糊综合评判决议第89页含糊综合评判决议方法与步骤是：

⑴建立原因集U={u1,u2,…,un}与决断集V={v1,v2,…,vm}.⑵建立含糊综合评判矩阵.对于每一个原因ui,先建立单原因评判：(ri1,ri2,…,rim)即rij(0≤rij≤1)表示vj对原因ui所作评判,这么就得到单原因评判矩阵R=(rij)n×m.⑶综合评判.依据各原因权重A=(a1,a2,…,an)综合评判:B=A⊕R=(b1,b2,…,bm)是V上一个含糊子集,依据运算⊕不一样定义,可得到不一样模型.第90页模型Ⅰ：M(∧,∨)——主原因决定型bj=∨{(ai∧rij),1≤i≤n}(j=1,2,…,m).

因为综合评判结果bj值仅由ai与rij(i=1,2,…,n)中某一个确定(先取小,后取大运算),着眼点是考虑主要原因,其它原因对结果影响不大,这种运算有时出现决议结果不易分辨情况.第91页模型Ⅱ：M(·,∨)——主原因突出型bj=∨{(ai·rij),1≤i≤n}(j=1,2,…,m).

M(·,∨)与模型M(∧,∨)较靠近,区分在于用airij代替了M(∧,∨)中ai∧rij.

在模型M(·,∨)中,对rij乘以小于1权重ai表明ai是在考虑多原因时rij修正值,与主要原因相关,忽略了次要原因.第92页模型Ⅲ：M(∧,＋)——主原因突出型bj=∑(ai∧

rij)(j=1,2,…,m).模型Ⅲ也突出了主要原因.