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第二类曲面积分第1页一、基本概念观察以下曲面侧(假设曲面是光滑)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧（非封闭曲面）（封闭曲面）决定了侧曲面称为有向曲面.有向曲面侧是由曲面法向量指向决定.第2页曲面投影问题:（计算对坐标曲面积分时要把曲面积分化成二重积分，包括曲面在坐标面上投影问题）分别是曲面在点（x,y,z)法线向量与X，Y，Z轴正向夹角类似地有：其中第3页二、概念引入实例:流向曲面一侧流量.第4页第5页1.分割则该点流速为.法向量为.第6页2.求和第7页3.取极限惯用是以下组合形式:第8页第二型曲面积分定义设S是光滑有界定侧曲面，其上一点沿曲面定侧单位法向量为：又设向量值函数则函数在S上第一类曲面积分称为向量值函数沿定侧曲面第二类曲面积分。第9页注记若是光滑有界定侧曲面，则另一侧记为，由第二类曲面积分定义，显然有称为有向面积元素，记为。它三个投影分别记为第10页所以，不过注意上述记号不一样于二重积分中面积元素。第11页性质:第12页计算时把曲面积分化成二重积分：一。将曲面投影到XOY坐标面上；二。将被积函数中z用曲面方程代替。假如是曲面下侧，则有：四、计算法第13页注意:对坐标曲面积分,必须注意曲面所取侧.（前侧为正，后侧为负）（右侧为正，左侧为负）第14页解第15页第16页五、两类曲面积分之间联络假如设曲面过点(x,y,z)法线向量与x,y,z轴正向夹角分别为则有：第17页两类曲面积分之间联络为第18页怎样计算逐一计算当然能够，但要将曲面投影在三个不一样坐标面上，比较麻烦。注意到：当时，（所以时变号）

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