三章数学教育的基本理论省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

第三章数学教育基本理论[德]FelixKlein(1849-1925)克莱因之路(P3)[荷]H.Freudenthal(1905-1990)费赖登塔尔(P43)[美]G.Polya(1887-1985)波利亚解题理论(P46)[瑞]JeanPiaget(1896-1980)皮亚杰智力发展理论[美]D.P.Ausubel奥苏伯尔有意义言语学习理论中国”双基”数学教学理论()差异数学教学理论()

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公元10月24日18:05第1页F·克莱因（F.Klein,1849-1925）弗赖登塔尔（H.Freudenthal,1905-1990）波利亚（G.Pólya,1887-1985）第2页克莱因(Klein)数学教育观点克莱因，数学家、数学教育家.一代几何学权威，1872年发表著名几何学“爱尔兰根纲领”，用运动群下不变量对几何学进行分类，成为划时代数学里程碑.他以后是世界数学中心——哥廷根大学数学领导人.并在那培养了第一个数学教育博士RudolfChimmack.19，在第四届国际数学家大会(ICM)上成立了国际数学联盟(TMU)一个新下属组织——国际数学教育委员会(ICMI)，克莱因当选为该委员会第一任主席.第3页Klein数学教育观（1）数学教师应具备较高数学观点，只有观点高了，事物才能显得简单明了；（2）教育应该是发生性(数学教学是生成)；（3）应该用综合起来普通概念和方法来处理问题，而不是去钻研那种特殊解法(通法通识)；（4）应该把算术、代数和几何学方面内容，用几何形式以函数为中心观念综合起来(统一观点下、整体数学).第4页§3.1Freudenthal数学教育理论弗赖登塔尔（H.Freudenthal,1905-1990）荷兰皇家科学院院士和数学教育研究所所长专长为李群和拓扑学，后重心转向数学教育1967-1970年期间任国际数学教育委员会(ICMI)主席，倡议召开第一届ICMI；提倡数学教育研究要像研究数学一样，以科学论文形式交流，即前人作了什么，我作了什么，证据是什么，并有详细文件支持，重视学术研究规范.1987年曾来华访问（华东师大和北京师大）第5页Freudenthal数学教育理论代表作《作为教育任务数学》数学教育基本特征（现实,数学化,再创造）:——情景问题是教学平台.——数学化是数学教育目标.——学生经过自己努力得到结论和创造是教育内容一部分.——“互动”是主要学习方式.——学科交织是数学教育内容展现方式.第6页何谓数学教育中现实数学教育中现实——数学起源于现实，存在于现实，应用于现实，而且每个学生有各自不一样“数学现实”.数学教师任务之一就是帮助学生结构数学现实，并在此基础上发展他们数学现实.如：例题生活化，问题情境化.第7页利用“现实数学”进行教学第一，数学概念、运算、法则和命题，都是来自于现实世界实际需要而形成，是现实世界抽象反应和人类经验总结.第二，数学研究对象，是现实世界同一类事物或现象抽象而成量化模式.第三，数学教育应为不一样人提供不一样层次数学知识.第8页什么是数学化人们在观察、认识和改造客观世界过程中，利用数学思想方法来分析和研究客观世界种种现象并加以整理和组织过程——即数学地组织现实世界过程就是数学化.数学教学即是数学化教学.抽象化、公理化、模型化、形式化等等，都可看成是数学化.现实数学教育所说数学化形式有两种：实际问题转化为数学问题数学化；从符号到概念数学化.第9页数学化基本流程（1）实际问题转化为数学问题数学化流程：1.确定一个详细问题中包含数学成份；2.建立这些成份与学生已知数学模型之间联络;3.经过不一样方法使之形象化、符号化和公式化；4.找出蕴涵其中关系和规则；5.考虑相同数学成份在其它数学知识领域表达;6.作出形式化表述.第10页数学化基本流程（2）从符号到概念数学化基本流程：1.用数学公式表示关系；2.对相关规则作出证实；3.尝试建立和使用不一样数学模型；4.对得出数学模型进行调整和加工；5.综合不一样数学模型共性，形成新模式；6.用已知数学语言尽可能准确描述得到新概念和新方法.第11页数学学习“再创造”学生“再创造”学习数学过程实际上就是一个“做数学”(doingmathematics)过程。其关键是数学过程再现。数学学习是一个经验、了解和反思过程，强调以学生为主体学习活动对学生了解数学主要性，强调激发学生学生主动学习，做数学是学生了解数学主要路径第12页§3.2波利亚解题理论GeorgePolya(1887-1985)乔治.波利亚美籍匈牙利人，布达佩斯大学毕业(法律-语言-数学)，20世纪主要数学家，更是一位伟大数学教育家.美国国家科学院士、巴黎科学院院士、匈牙利科学院院士，1980年被选为国家数学教育大会荣誉主席.喜欢哲学，老师告诉他“学习数学与物理能够帮助人了解哲学”，他徘徊后选择数学，理由是“学物理我不够好.学哲学我又太强，数学在这二者之间.”第13页波利亚数学教育观数学研究,编写教材,教师培训.波利亚认为,中学数学教育根本目标是“教会学生思索”——有目标思索、产生式思索，也包含形式和非形式思维.学东西最好路径是自己探索、亲自去发觉它学习过程：探索，说明，吸收.好数学教师，必须具备数学和教学法两方面知识.第14页给数学教师“十条提议”：（1）对自己科目要有兴趣（2）熟知自己科目（3）知道学习路径（亲自独立发觉）（4）努力观察学生，觉察期望和困难（5）传授知识，更要传授技能，思维方式（6）让学生学会猜测问题（7）让学生学会证实问题（8）从手头上题目出发，寻找普通模式（9）不要把你全部秘诀一下子倒给学生（10）启发问题，而不要填鸭式地塞给学生第15页波利亚Polya解题理论著作《怎样解题》(1945)《数学发觉》(1954)《数学与猜测》(1962)《数学分析中定理和问题》（与G.舍贵,1925年Springer-Verlag出版）“每个大学生，每个学者，尤其是每个老师都应该读读这本引人入胜书”——范.德.瓦尔登.第16页解题(ProblemSolving)是数学特点波利亚对解题理论进行了系统、深入研究，《怎样解题(HowtoSolveIt)》,1945年由美国斯普林格大学出版，最少翻译成17种以上文字.问题是数学心脏，数学教学本质在于解题.波利亚热衷于数学与数学教育研究，尤其是中学教师培训.他指出应该给学生“以适合他们程度问题去引发他们好奇心，而且用一些吸引人问题来帮助他们解题”，这么做“会引发学生们对对立思索兴趣并教给他们一些方法”.第17页解题(ProblemSolving)是数学特点学习数学就是学习解题.解题是数学一大特点.其它学科，比如语文，也需要习作，需要命题作文，但其数量与种类均不能与数学习题相提并论。至于理化等科，它们特点是动手试验或实习.我国南宋数学家杨辉曾指出：“夫学算者，题从法取，法将题验，凡欲明一法，必设一题.”第18页解题(ProblemSolving)是数学特点学数学目标，不是别，就是为了学会解题.数学书中有不少公式、法则、定义、定理，这些都不需要死记硬背，而是要经过解题逐步地了解、掌握.所以上谕学习数学学生，都把主要精力花在解题上.“数学尖子”就是解题能力强同学.任何一本当代数学书本，都配置了相当数量习题，用以领悟巩固所学内容、方法.但做习题并不只是在学完一个方法或一些知识之后，知识、方法应该尽可能地经过问题形式引入.第19页“怎样解题表”（P48）第一，搞清问题第二，确定计划第三，实施计划第四，回顾总结为了回答“一个好解法是怎样想出来”这个感令人迷惑问题，波利亚研究了解题思维过程，并把他解题格调心路历程，概括为“怎样解题表”第20页“怎样解题表”——例1（P50~55）

例

给定正四棱台高h，上底一条边长a和下底一条边长b，求正四棱台体积F.（学生已学过棱柱、棱锥体积）

[讲解]：第一，搞清问题（问题1，2）第二，确定计划（问题3，4，5）第三，实施计划（作辅助线）第四，回顾总结（正面检核每一步，推理有效、演算准确；回顾过程，总结模式；分析方法，思维策略；心理机制；组合与分解；反思与信念）第21页12条解题要诀（单墫）1.要享受到解题乐趣（浓厚兴趣，有几分痴迷更加好）.2.要有充分信心.3.要有百折不回决心与坚忍不拔毅力.4.要做100道有质量题目.5.重复探索，大胆地跟着感觉走.6.从简单做起.7.从不一样角度看问题.8.学思结合，发挥创造性，努力产生“好想法”.9.创设条件，不停变更题目.10.因如适当字母（符号），向基本量靠拢.11.力争简单自然，直指关键.12注意总结.（每一个解题人，都有自己经验，依据自己经验总结出若干条有用要诀.）第22页§3.3建构主义数学教育理论什么是数学知识.（1）数学知识不是对现实纯粹客观反应，任何一个传载知识符号系统也不是绝对真实表征；（不过是人们对客观世界一个坚固、假设或假说）（2）数学知识不可能以实体形式存在于个体之外，真正了解只能是由学习者本身基于自己经验背景而建构.第23页什么是数学了解真正了解只能是由学习者本身基于自己经验背景而建构起来.了解，取决于个人特定情况下学习活动过程，不然就是死记硬背或生吞活剥，是被动复制式学习.学生了解只能由学生自己去进行，而且要经过对新知识进行分析、检验和批判才能真正做到了解.建构主义有些观点，也要辨证分析.第24页建构主义观下数学学习特征数学学习方式:复制式和建构式.学习不是由教师把知识简单地传递给学生，而是由学生自己建构知识过程，他人无法替换.学习不是被动接收信息刺激，而是主动地建构意义，是依据自己经验背景，对外部信息进行主动地选择、加工和处理，取得自己意义.学习意义取得，是每个学习者以自己原有知识经验为基础，对新知信息重新认识和编码，建构自己了解.——了解\情境\问题\反思\建构.第25页数学建构观基本标准1.主体标准：学生是数学学习主体.2.适应标准：教师应该从学生现实出发.3.建构标准：学生从原有经验世界中建构.4.主导标准：教师是数学建构活动设计者、参加者、指导者和评定者.5.问题处理标准：问题处理是数学教学关键.第26页数学教学中一条必须恪守主要标准：主动学习标准.它中心思想是：学习任何东西最正确路径就是靠自己去发觉.（所谓师傅引进门修行靠个人）.第27页建构主义教学观主要论点教师不应该被看成是“知识授予者”，而应该是学生学习活动促进者.对传统教学法设计理论严重挑战(彻底否定).数学教师对“什么是数学”和“应该怎样去从事数学研究”观念对教学观有直接和主要影响.不唯一着眼于结论，而愈加重视过程分析.变“问题处理”为“数学地思索”，并以此为中心.第28页建构主义教学原理应用举例传统数学概念教学步骤：概念明确（定义，名称，符号）；分类；巩固；应用与联络数学概念含有过程-对象双重性，既是逻辑分析对象，又是含有现实背景和丰富寓意数学过程。所以，必须返朴归真，揭示概念形成过程，从现实原形、抽象过程、思想指导、形式表示等多方位了解一个数学概念，使之符合学生主动建构教育原理。第29页杜宾斯基:APOS理论（以函数为例）Action阶段：经过操作活动，了解函数意义.Process阶段：把上述操作活动综合为一个函数过程.如x→x2，x→f(x).Object阶段：把函数过程当组一个独立对象来处理，可进行函数加减乘除、复合运算.Scheme阶段：函数概念以一个综合心理图式存于大脑，形成知识体系（完整）.第30页APOS理论（以代数式为例）代数式本质在于“不定元”和数字能够像数一样进行运算.A：经过运算活动了解详细代数式.P：体验代数式过程.O：对代数式形式化表示.S：建立综合心理图式.建立代数式心理表征：详细实例，运算过程，字母表示数思想，代数式定义，能利用.第31页瑞士心理学家哲学家J.Piaget关于智力发展四个阶段：1、感觉运动阶段（0~2岁）2、前运算阶段（2~7岁）3、详细运算阶段（7~12岁）4、形式运算阶段（12~15岁）即命题运算思维智力发展理论概念：图式，同化，顺应，平衡第32页在中学数学教学中应用学习要有准备详细运算阶段利用数学符号语言和概念有困难初中生处于详细和形式运算两个阶段——提供适合运算学习策略，设计对应教学活动。比如，初中生喜欢经过图表、模型和其它详细伎俩进行数学学习。智力源于动作（活动）缺点:影响智力发展原因还有社会文化语言等第33页§6.4Ausubel有意义学习理论讲授法至今仍是学校教学中最为惯用一个主要教学方法美国认知心理学家奥苏伯尔提出了有意义言语学习理论。他认为，讲解法是一个非常有效教学方法，并提倡应该愈加致力于发展有效讲解教学技巧，包含一个有意义学习有效讲解过程。第34页学习类型及学习条件依据课堂学习中知识起源和学习过程性质，将学习划分为“机械—意义”“接收—发觉”两个维度。机械学习与有意义学习——前者实质是形成文字符号表面联络，学生不了解文字符号实质；后者是指以符号为代表新知识与学习者认知结构中已经有适当知识建立非人为和实质性联络。接收学习与发觉学习——全部学习内容是以定论形式展现给学生者；学生需要进行独立或有指导发觉。概念学习是有意义学习关键，概念同化是经典有意义接收学习第35页有意义接收学习条件学习材料本身应有逻辑意义，它必须符合非人为和实质性标准；（外部原因）学习者认知结构中必须具备适当知识，方便与新知识进行联络；（认知原因）学习者必须具备有意义学习意向，即学习者具备主动主动地把符号所代表新知识与其认知结构中原有适当观念加以联络倾向。（情感原因）第36页§6.5中国数学“双基”教学理论数学双基教学，是中华文化组成部分，含有悠久历史.稻作文化精耕细作；儒家文化重视基础；科举考试、考据文化严谨推演——这些传统协力形成双基.认知心理学研究支持——人专长是由自动化技能、概念性了解和策略性知识组成；有意义接收学习，更是重视“双基”接收与形成；“熟能生巧”当代研究表明数学是“做”出来.这些都是与“双基”息息相关。“双基”教学是一个精细优质教学.第37页中国数学“双基”教学理论特征第一，记忆通向了解形成直觉（记忆背诵，熟能生巧，促进了解）第二，运算速度赢得思维效率（条件反射，算法直觉，高级思维）第三，逻辑演绎保持严谨准确（抽象定义，逻辑表示，理性思维）第四，“重复”练习依赖变式提升（在改变中求得重复，在重复中获取改变；概念变式、过程变式、问题变式，等；提倡各种不一样算法和各种不一样了解）数学“双基”教学，还有纵向3个层次：双基基桩建设——以双基模块教学——构建双基平台

（程序性知识）（知识链网络）（综合发展基础）参见：张奠宙，“中国数学‘双基’教学理论框架”《数学教育学报》，第3期第1-3页第38页“双基”数学教学发展数学“双基”要求应该与时俱进：双基+创新=优质数学问题处理教学数学建模教学数学开放题教学数学文化教学数学双基和计算机信息技术相结合——没有基础创新是空想，没有创新基础是傻练第39页数学“双基”教学策略“双基”教学理论是以重视逻辑演绎为主要特征，是“熟能生巧”一个继续.数学“双基”教学策略包含三个主要步骤：（1）以问题驱动引入；（2）师生互动交流；（3）精讲多练变式.一些详细做法:情境创设；对话提问；巩固练习；启发式；

熟能生巧，精讲多练，变式训练，题海战术；

小步走,小转弯,小坡度;大容量,快节奏,高密度.第40页建构主义教学观下“双基”教学准确把握建构主义数学教育观，促进数学“双基”科学有效地进行：第一，学生学习与教师教学是一个统一过程，学习观与教学观应作为一个整体对待.第二，数学基本技能在数学学习过程有着尤其主要意义.第三，教师应该树立正确“学生观”，“吃透两头”（教材和学生）：宽容、适应、尊重、创造.第四，教师中心任务是围绕主题，精心设计.第41页变式教学成为中国数学教学特征变式教学普通含义：

在教学中使学生确切掌握概念主要方法之一。即在教学中用不一样形式直观材料或事例说明事物本质属性，或变换同类失去非本质属性特征以突出事物本质特征。目标在于使学生了解哪些是事物本质特征，哪些是事物非本质特征，从而对一事物形成科学概念。（顾明远.〈教育大辞典〉上海教育出版社，1999）第42页我国数学教学中“问题变式”中国问题处理教学，包含习题和考题，“问题变式”早已为广大数学教师广泛使用。翻开任何一本数学习题辅导书，其中例题和习题，都是使用边式方法，由浅入深地排列，循序渐进地解答。是一个精巧“变式”教学设计。例证：3个详细例子（P68-69）第43页中国优质数学教学若干特点1．突出知识性详细目标（三维目标）2．教学中长于由“旧知”引出“新知”（复习引入）3．重视对新知内部深入了解（沟通联络、建立关系、形成体系）4．强调解题，关注方法和重视技巧（思想方法）5．重视及时巩固、强化练习和记忆有法（参见：涂荣豹、宋晓平，《课程教材教法》第2期，第43-46页）第44页经过教“问题处理”，培养

数学教师研究性教学意识教师不但要能有效地组织教学，而且必须含有一定教学研究能力。数学教师基本素质组成中，坚实数学基础理论和广博专业知识是尤其必要。因为数学教学根本目标是教会学生怎样学习、研究与应用数学，所以数学教师对数学本身进行研究是尤其需要，不然教学只能是就事论事、照本宣科。第45页“问题处理”是数学教育关键问题是数学心脏，“数学真正组成部分是问题和解。”（P.R.Halmos）数学教育活动中，“解题”是最基本活动形式。美国数学家Halmos在《解题教学》中指出：“为了培养学生研究性意识，每位教师都应该作好研究工作，而且在做研究工作方面训练有素——那是保持研究意识经久不衰而且一直处于一个能传递给他人良好状态唯一方法。”（《数学译林》1990年第3期）第46页G.Polya要求数学教师需提供“从事适当水平创造性工作机会”，“假如一个教师连非常规问题都没有处理过，从没有经历过发觉担心和成功喜悦，假如他也看不到自己学生有过这种担心和成功，那么他就应该另找职业，而不应再教数学。”荷兰数学教育家H.Freudenthal提出：中学数学教师最低要求其中之一就是“对于怎样进行数学研究有初步概念。”他说：“数学知识既不是教出来也不是学出来，而是研究出来。”第47页研究意味着发觉与创造所谓发觉和创造，并非高深莫测。法国数学家阿达玛指出：“一个学生处理某一个代数问题或几何问题过程，与数学家做出发觉和创造过程含有相同性质，至多只有程度上差异。”这也正是把研究引入数学教学过程中依据和意义所在。（程向阳.问题处理与研究性教学意识培养.《阜阳师范学院学报（自然科学版）》，第18卷第1期，第61-64页）第48页“创新”与“研究”是密不可分教育部在《深入加强高等学校本科教学工作若干意见》中，尤其提倡“主动推进研究性教学，提升大学生创新能力.”国家最近提出“落实科学发展观，建设创新型国家”战略构想.参见：汪劲松，等《实施研究性教学，推进创新型教育》，《中国高等教育》第6期第26页第49页做一名研究型数学教师只有研究型教师才能胜任教育改革和创新要联络课改实际开展教育科研要有科学态度和方法行动研究是中学教师进行教育科研基本方法—在研究中行动，在行动中反思，在思索中研究第50页[美]国家研究理事会《教育科学研究》关于研究设计要求:

提出主要可进行实证研究问题；建立研究和相关理论联络；使用能够直接研究问题研究方法；提供一条严密明确推理链；实施重复验证和研究推广；公开研究结果以勉励专长、检验和批评。第51页研究设计基本内容:研究目标（假设）、内容、关键概念界定选题意义、国内外研究现实状况评述研究思绪、研究技术路线和方法、步骤研究结果及评价立项论证与开题论证目标不一样论证侧重点不一样体例不完全相同第52页§6.6差异教学理论面向全体是优质教育主要特征，而“面向全体”在某种意义上说与“照料差异”是同义语。差异教学，是班集体课堂教学中立足于学生个性差异，满足学生个别学习需要，以促进每个学生在原有基础上得到充分发展教学。认可个性差异是差异教学前提，学生个体差异表现为家庭文化背景差异、先前知识基础差异、志向水平或学习动机差异、智力差异、能力倾向差异、学习方式差异和性别学习差异等。差异是课堂教学动力基础和可能性条件，应把学生差异作为教学起点和归宿。第53页准确地说，差异教学，不但是一个教学模式，更是表达了一个教学思想、教学理念.是一个指导教学设计基本原理，它能够经过各种详细教学方式、方法表达出来.同时，它又是一个开放性体系，能够不停地吸收新教学经验、教学方法、教学思想，不停完善和发展，利用不一样教学模式，有详细操作步骤.第54页数学差异教学对数学后进生教学对数学优异生教学男女生数学学习差异研究有特殊学习需要学生课堂