微分方程的应用举例市公开课一等奖省赛课获奖课件_第1页
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文档简介

微分方程应用第1页数学模型依据研究对象内在规律利用适当数学工具建立起来一个数学结构。

微分方程是建立数学模型时应用得最为广泛工具之一。第2页一、微分方程建模基本步骤：

1、依据已知规律建立微分方程；2、依据已知条件找出初始条件；3、解微分方程(求通解、特解)；4、用所得结果解释实际问题。第3页二、生物医药模型举例第4页例1.（放射性元素衰变）放射性元素因不停放射出各种射线而逐步降低其质量现象，称为衰变。

由原子物理学知道，放射性元素镭衰变速度与存量成正比，百分比系数为k（k>0）。假如当初间t=0时，镭质量为，求镭质量M关于时间t改变规律。第5页解：

依据导数定义，镭衰变速度就是镭消耗量关于时间导数，即将“镭衰变速度与存量成正比”表示成数学语言，即写成微分方程，得设镭在时刻t留存量为M(t)，则镭从时刻0到时刻t消耗量为。第6页分离变量、两边积分，得将初始条件代入，得所以镭质量M关于时间t改变规律为：第7页当变量关于时间改变率与变量量成正比时，这个变量总是按指数规律改变。比如，牛顿冷却定律、化学中一级反应、早期肿瘤生长、药品分解等自然现象，都按指数规律改变。指数生长模型第8页例2.（细菌增殖模型）理想环境：（1）除系统本身繁殖外，没有由系统外向系统内迁入和由系统内向外迁出等情况；（2）系统本身繁殖不受空间和营养供给限制；（3）温度、湿度等各项环境原因均对系统适宜。第9页检验人员对某蓄水池定时抽取单位容积水样观察，测得该水池中大肠杆菌相对增殖率为单位时间内单位数量生物增加。试分析该水池中大肠杆菌繁殖规律。第10页解：

将关于相对增殖率关系式进行变量分离，得两边积分，得：假设首次取样即t=0时，代入上式，有第11页于是有或即是该蓄水池中大肠杆菌密度极限值。自然生长方程第12页例3.（药品动力学一室模型）药品动力学是一门研究药品、毒物及其代谢物在机体内吸收、分布、代谢和排泄过程定量规律科学。假定药品以恒定速率进行静脉滴注，试求体内药量随时间改变规律。第13页解：

假定药品在体内按一级速率过程消除，消除速率常数为k

.设静脉滴注t时刻体内药量为x(t),则有第14页此方程是一个可分离变量一阶微分方程，易求得其在初始条件t=0时x=0下特解为

静脉滴注速率越大，最终体内药量稳定水平越高。第15页例4.（流行病数学模型）无移除流行病模型：（1）感染经过一个团体组员之间接触而传输，感染者不因死亡、痊愈或隔离而被移除；（2）团体是封闭，总人数为N，最初假设只有一个感染者；（3）团体种各组员之间接触机会均等，所以易感者转化为感染者改变率与当初易感人数和感染人数乘积成正比。第16页解：

记时刻t未感染人数为S，已感染人数为I，依据以上假设即可建立下面微分方程：其中代入上式，得第17页分离变量后积分，得再由初始条件

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