02-2005年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国卷2)及答案

数学（必修＋选修Ⅱ）试题第1页（共4页）2005年普通高等学校招生全国统一考试全国卷II（吉林、黑龙江、内蒙、广西）理科数学（必修＋选修Ⅱ）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。3.本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果事件、互斥，那么如果事件、相互独立，那么如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率球的表面积公式其中表示球的半径球的体积公式其中表示球的半径一．选择题函数的最小正周期是(A) (B) (C) (D)正方体中，、、分别是、、的中点．那么，正方体的过、、的截面图形是(A)三角形 (B)四边形 (C)五边形 (D)六边形函数的反函数是(A) (B)(C) (D)已知函数在内是减函数，则(A) (B) (C) (D)设、、、，若为实数，则(A) (B) (C) (D)已知双曲线的焦点为、，点在双曲线上且轴，则到直线的距离为(A) (B) (C) (D)锐角三角形的内角、满足，则有(A) (B) (C) (D)已知点，，．设的一平分线与相交于，那么有，其中等于(A)2 (B) (C) (D)已知集合，，则为(A)或 (B)或(C)或 (D)或点在平面上作匀速直线运动，速度向量(即点的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位)．设开始时点的坐标为，则5秒后点的坐标为(A) (B) (C) (D)如果为各项都大于零的等差数列，公差，则(A) (B) (C) (D)将半径为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里．这个正四面体的高的最小值为(A) (B) (C)(D)第Ⅱ卷注意事项：1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。3.本卷共10小题，共90分。二．填空题：本大题共有4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．圆心为且与直线相切的圆的方程为_____________________．设为第四象限的角，若，则__________________．在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_____________个．下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.其中，真命题的编号是______________．(写出所有真命题的编号）三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(本小题满分12分)设函数，求的的取值范围．(本小题满分12分)已知是各项为不同的正数的等差数列，、、成等差数列．又，．(Ⅰ)证明为等比数列；(Ⅱ)如果无穷等比数列各项的和，求数列的首项和公差．(注：无穷数列各项的和即当时数列前项和的极限)(本小题满分12分)ABCDEFP甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6．本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响ABCDEFP(本小题满分12分)如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，、分别为、的中点．(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)设，求与平面所成的角的大小．(本小题满分14分)、、、四点都在椭圆上，为椭圆在轴正半轴上的焦点．已知与共线，与共线，且．求四边形的面积的最小值和最大值．(本小题满分12分)已知，函数．(Ⅰ)当为何值时，取得最小值？证明你的结论；(Ⅱ)设在上是单调函数，求的取值范围．参考答案一、选择题123456789101112CDBBCCACACBC二、填空题13、14、15、19216、①④17、本小题主要考查指数函数的性质、不等式性质和解法，考查分析问题的能力和运算能力，满分12分。解：即解分三类①②③①②③求并集得的取值范围是[18．本小题主要考查等差数列、等比数列的基本知识以及运用这些知识的能力，满分12分。解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，依题意，由得即，得因当=0时，{an}为正的常数列就有当=时，,就有于是数列{}是公比为1或的等比数列（Ⅱ）如果无穷等比数列的公比=1，则当→∞时其前项和的极限不存在。因而=≠0，这时公比=，这样的前项和为则S=由，得公差=3，首项==319、本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力，满分12分。解：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6=0.4比赛三局结束有两种情况，甲队胜3局或乙队胜3局，因而=0.28比赛4局结束有两种情况：前3局甲队胜2局，第4局甲队胜；或前3局中乙队胜2局，第4局乙队胜，因而比赛5局结束有两种情况：前4局中甲队胜2局，乙队胜2局，第5局甲胜或乙胜，因而，所以的概率分布表如下3450.280.37440.3456所以的数学期望是E=3×0.28+4×0.3744+5×0.3456=4.065620、本小题主要考查直线与平面垂直，直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力，满分12分。ABABCDEFPHG(I)证明：连结EP∵PD⊥底面ABCD，DE在平面ABCD内∴PD⊥DE，又CE=ED，PD=AD=BC∴Rt△BCE≌Rt△PDE∴PE=BE∵F为PB的中点∴EF⊥PB∵DA⊥AB由三垂线定理得PA⊥AB∴在Rt△PAB中PF=AF，又PE=BE=EA∴△EFP≌△EFA∴EF⊥FA∵PB、FA为平面PAB内的相交直线∴EF⊥平面PAB(II)解：不妨设BC=1，则PD=AD=1，AB=，PA=，AC=∴△PAB为等腰直角三角形，且PB=2，F为其斜边中点，BF=1且AF⊥PB∵PB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直∴PB⊥平面AEF连结BE交AC于G，作GH∥BP交EF于H，则GH∥平面AEF∠GAH为AC与平面AEF所成的角由△EGC∽△BGA可知EG=GB，EG=EB，AG=AC=由△EGH∽△EBF可知GH=BF=∴∠GAH=ABCDEABCDEFP方法二以D为坐标原点，DA的长为单位，建立如图所示的直角坐标系。(I)证明：设E(，0,0)，其中>0，则C(2，0,0)，A(0,1，0)，B(2，1,0)，P(0,0，1)，F(，，)。，∴EF⊥PB，∴EF⊥AB又PB平面PAB，AB平面PAB，PB∩AB=B∴EF⊥平面PAB(II)解：由AB=BC得=，可得∴异面直线AC、PB所成的角为∴=0，PB⊥AF又PB⊥EF，EF、AF为平面AEF内两条相交直线∴PB⊥平面AEF∴AC与平面AEF所成的角为－即AC与平面AEF所成的角为。另法：（Ⅱ）解：建系，并设BC=1，则AB=，就有A（1，0，0）C（0，，0）P（0，0，1），B（1，，0），所以因为PA=，所以三角形PAB为等腰直角三角形，所以PB⊥AE又PB⊥EF，所以为平面AEF的法向量。设AC与平面AEF所成的角为则sin=cos〈〉=，所以，所求角为arcsin21、本小题主要考查椭圆和直线的方程与性质，两条直线垂直的条件、两点间的距离了，不等式的性质等基本知识及综合分析能力，满分14分解：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且PQ⊥MN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为K，又PQ过点F(0,1)，故PQ的方程为=+1将此式代入椭圆方程得(2+)+2－1=0设P、Q两点的坐标分别为(，)，(，)，则QPNMFQPNMFO从而亦即(1)当≠0时，MN的斜率为－，同上可推得故四边形面积令=得∵=≥2当=±1时=2，S=且S是以为自变量的增函数∴②当=0时，MN为椭圆长轴，|MN|=2，|PQ|=。∴S=|PQ||MN|=2综合①②知四边形PMQN的最大值为2，最小值为。另法：∵椭圆，。。。。①，故F（0，1）由，可得MN⊥PQ设直线MN的斜率存在且为k，（k≠0）则MN方程：y=kx+1。。。。。②PQ方程：y=。。。。③①②联立消y并整理得可得①③联立,同理可得所以,四边形PMQN的面积S=则S=显然当t(1,2)时函数ss递减，当时函数s递增所以当t=2时（即k=时）最小的面积为s=而最大面积为，（注：此时MN在y轴上，PQ在x轴上）22、本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力，满分12分。解：（I）对函数求导数得令得［+2(1－)