大学高等数学第六册第一节省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

解：……P182011/41第三章中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数处理实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式(第三节)推广微分中值定理与导数应用洛必达法则22/41一、罗尔(Rolle)定理第一节二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理第三章33/41引理(费马定理）：若函数y=f(x)（1）在x0某邻域内有定义且在x0取得最值；（2）在x0处可导。则f'(x0)=0.

证：不妨设f(x0)是x0某邻域内最大值保号性定理44/41一、罗尔定理

使得条件：结论：注意：（1）罗尔定理条件充分而非必要.

几何意义：满足条件曲线在区间内必有水平切线存在.ab。(2)

定理条件不全具备,结论不一定成立.55/41证实思绪:M=mf(x)=C(a,b)内任意点可为

M≠mM,m不可能都在端点取得，设M由区间内某点取得f(a)=f(b)由引理可得结论引理(费马定理）：若函数y=f(x)（1）在x0某邻域内有定义且在x0取得最值；（2）在x0处可导。则f'(x0)=0.使得条件：结论：

注：1.惯用于判定方程根情况

2.证实关于导数命题66/41例1.

证实方程有且仅有一个小于1正实根.类似书本P13412证:

1)存在性.则在[0,1]连续,且由零点定理知存在使即方程有小于1正根2)唯一性.假设另有为端点区间满足罗尔定理条件,最少存在一点但矛盾,故假设不真!设77/41二、拉格朗日中值定理(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导最少存在一点使思绪:找出一个满足罗尔定理条件函数作辅助函数显然,在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且证:问题转化为证由罗尔定理知最少存在一点即定理结论成立.证毕注(1)用罗尔定理证实关于导数命题普通需找辅助函数，找满足罗尔定理条件辅助函数方法：

命题结论左减右,观察是那个函数导数,此函数即为所找.

(2)拉氏定理惯用于证实不等式（用于好找）.88/41拉格朗日中值定理有限增量形式:推论:若函数在区间I

上满足则在

I上必为常数.证:

在

I

上任取两点日中值公式,得由任意性知,在

I

上为常数.令则第三章第一节99/41证:

设由推论可知，

(常数)令x=0,得故所证等式成立.自证:例2.

证实等式(P134.6)1010/41例3.

证实不等式证:

设中值定理条件,即因为故所以应有第三章第一节(例1)1111/4111.(2)证证法2习题3—11212/41第三章第一节三、柯西(Cauchy)中值定理及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内满足:弦斜率切线斜率最少存在一点使1313/41分析:及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内最少存在一点使满足:要证第三章第一节结构辅助函数1414/41证:

作辅助函数且使即由罗尔定理知,最少存在一点思索:1.

柯西定理下述证法对吗?两个

不一定相同错!上面两式相比即得结论.第三章第一节以下例1515/411616/41（2）若F(x)=x,柯西定理为拉格朗日定理.所以拉格朗日定理是柯西定理特例.柯西定理则是拉格朗日定理推广。（3）柯西定理应用

（1）证实洛必达法则。

（2）证实关于两个函数导数命题.1717/41设在内可导,且证实最少存在一点使上连续,在问题转化为证设辅助函数补例：提醒：补例:设在内可导,且证实最少存在一点使上连续,在设辅助函数提醒：1818/41分析：作业51919/41补充

设最少存在一点使证:

结论可变形为设则在[0,1]上满足柯西中值定理条件,所以在(0,1)内最少存在一点

,使即证实2020/41习题3—1作业纸P2572121/41内容小结1.

微分中值定理条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.

微分中值定理应用(1)证实关于导数恒等式(2)证实不等式(3)证实方程根存在性或唯一性费马引理第三章第一节周一交作业纸

P23-24

2222/41且令得即使得解：函数在上连续，1验证罗尔定理对函数在区间上正确性。习题3—1故罗尔定理条件满足.所以罗尔定理结论成立由初等函数连续性和可导性可知在内可导，2323/41作业2在[1,2]、[2,3]、[3,4]上满足罗尔定理条件2424/41作业32525/412、解故拉格朗日定理条件满足.解得故拉格朗日定理结论成立.习题3—12626/419、

设证实证设则在上连续，在内可导，故即习题3—12727/4110、证习题3—12828/418、证习题3—12929/4112证由罗尔定理知，这与（1）矛盾下证只有唯一根习题3—13030/41思索与练习1.填空题1)

函数在区间[1,2]上满足拉格朗日定理条件,则中值2)

设有个根,它们分别在区间内.方程第三章第一节3131/412.

设且在内可导,证实最少存在一点使提醒:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设第三章第一节3232/413.

若可导,试证在其两个零点间一定有零点.提醒:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.第三章第一节3333/41费马(1601–1665)法国数学家,他是一位律师,数学只是他业余兴趣.他兴趣广泛,博览群书并善于思索,在数学上有许多重大贡献.他尤其兴趣数论,他提出费马大定理:至今还未得到普遍证实.他还是微积分学先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值方法中提炼出来.第三章第一节3434/41拉格朗日(1736–1813)法国数学家.他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了主要贡献,近百余年来,数学中许多成就都直接或间接地溯源于他工作,他是对分析数学产生全方面影响数学家之一.第三章第一节3535/41柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学贡献主要集中在微积分学,《柯西全集》共有27卷.其中最主要是为巴黎综合学校编写《分析教程》,《无穷小分析概论》,《微积分在几何上应用》等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学影他是经典分析奠人之一,他为微积分所奠定基础推进了分析发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书7本,第三章第一节3636/41备用题求证存在使1.

设可导，且在连续，证：所以最少存在显然在上满足罗尔定理条件,即设辅助函数使得第三章第一节3737/41设证实对任意有证：2.不妨设第三章第一节3838/413.

试证最少存在一点使证:

法1

用柯西中值定理.则f(x),F(x)在[1,e]上满足柯西中值定理条件,令所以即分析:第三章第一节3939/413.