高数-函数省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

第一节函数一、集合二、函数概念三、函数几个特征四、反函数与复合函数五、初等函数六、双曲函数第1页一、集合含有某种特定性质事物总体；组成这个集合事物称为该集合元素.元素a属于集合M:元素a不属于集合M:记作记作定义第2页集合表示法：列举法描述法集合间关系:第3页例1：数集N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集它们间关系:例2不含任何元素集合称为空集.比如,要求空集为任何集合子集.第4页运算设A、B是两集合则交“AB”

{xxA且xB}并“AB”

{xxA或xB}差“A-B”

{xxA但xB}其运算律：补（余）

I-A其中I为全集（1）AB=BAAB=BA（2）（AB)C=A(BC)

(AB)=A(BC)（3）（AB)C=(AC)(BC)（AB)C=(AC)(BC)第5页注意（4）A与B直积AB

{(x,y)xA且yB}比如：RR={(x,y)xR且yR}表示xoy面上全体点集合RR常记为R2第6页区间:是指介于某两个实数之间全体实数.这两个实数叫做区间端点.称为开区间,称为闭区间,第7页称为半开区间,称为半开区间,以上都是有限区间，以下是无限区间：区间长度定义:两端点间距离(线段长度)称为区间长度.第8页邻域:注意：邻域总是开集。记作第9页常量与变量:在某过程中数值保持不变量称为常量,注意常量与变量是相对于“自变量改变过程”而言.通惯用字母a,b,c等表示常量,而数值改变量称为变量.常量与变量表示方法：用字母x,y,t等表示变量.第10页二、函数概念定义设x和y是两个变量，D是一给定数集。假如对于每个数xD,变量y按照一定法则总有确定数值和它对应，则称y是x函数，记着y=f(x).数集D叫做这个函数定义域，X叫做自变量，y叫做因变量。第11页函数三要素自变量x因变量y对应法则f1.函数定义域D2.函数对应法则y=f(x)3.函数值域w={y|y=f(x),x

D}第12页注意：

如f(x)=lg2x

和g(x)=2lgx就不是同一个函数，为何？2．求定义域方法：应用题由实际意义确定；形式题就是自变量所能取使算式有意义一切实数值。1.当两个函数定义域和对应法则都相等时，二者才是同一个函数。第13页假如在D中任取一个x,对应函数值都只有一个，这种函数称单值函数，不然称多值函数。y=2x为单值函数，凡未作尤其说明，本教材提到“函数”都是指单值函数即为多值函数。y=x2比如，3.第14页M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX1．函数有界性:三、函数几个特征第15页2．函数单调性:xyo第16页xyo第17页3．函数奇偶性:偶函数yxox-x第18页奇函数yxox-x第19页4．函数周期性:（通常说周期函数周期是指其最小正周期）.第20页DWDW四、反函数与复合函数第21页

直接函数与反函数图形关于直线对称.第22页注意：1.直接函数定义域（或值域）是其反函数值域（或定义域）;2.单值函数反函数不一定是单值函数。如y=a+bx反函数为y=(x-a)/b。可解出反函数。（称为直接函数）假如由x为自变量，y为因变量函数y=f(x)y为自变量,x为因变量函数则称y=(x)

为y=f(x)

x=(y)记为:y=f-1(x)第23页

3．在区间I上定义单值且严格单调函数反函数在W={y

y=f(x),x∈I}上也是单值且严格单调函数。比如，y=x2在区间[0，+∞)上是单值且严格单调函数，其反函数也是单值且严格单调函数（在y=x2值域[0,)上）第24页4.

把直接函数y=f(x)和反函数y=

(x)图形画在同一个坐标平面上，这两个图形关于直线y=x是对称。第25页复合函数设有函数y=u2

和函数u=1-sinx,则y=(1-sinx)2是二者复合函数。普通地:若函数y=f(u)定义域为D1,U=φ(x)定义域为D2值域w2={uu=φ(x)x∈D2}且W2D1

,这么得到以x为自变量,y为因变量函数称为由函数y=f(u)和u=φ(x)复合而成复合函数,其中u称为中间变量。函数还可进行三重，四重和多重复合。y=f[φ(x)],X

W2D1第26页注意：条件W2D1

必不可少，不然两个函数就不一定能组成一个复合函数。和u=2+x2就不能组成一个复合函数。(值域w2为[2,)，定义域D1为[-1，1])如y=arcsinu第27页五、初等函数基本初等函数第28页1、幂函数第29页2、指数函数第30页3、对数函数第31页4、三角函数正弦函数第32页余弦函数第33页正切函数第34页余切函数第35页正割函数第36页余割函数第37页5、反三角函数第38页第39页第40页幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.第41页六、双曲函数第42页思索题：双曲函数是不是初等函数？双曲函数