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文档简介

第一章线性方程组1.1线性方程组

1.2矩阵及其初等变换

1.3线性方程组的矩阵解法

1.1线性方程组

一引例解路口A:路口B:路口C:路口D:即1交通问题

2化学方程式

解适当地选择

,使化学反应的方程式

为平衡方程式.令方程式两边的碳、氢和氧原子分别相等,得n元线性方程组的一般形式:齐次线性方程组:非齐次线性方程组:线性方程组的解集:方程组解的全体二.基本概念(1)如何判别方程组无解?有唯一解?有无穷多解?(2)如何求方程组的通解?(3)根据方程组解的判别定理,进行理论证明。要解决的问题:(3)去掉,这里并没有涉及三解法1线性方程组的初等变换

(1)交换任意两个方程的位置;(2)任一个方程的两边同乘一个非零的实数;(3)任一个方程的倍数加到另一个方程上

【注】线性方程组的初等变换是同解变换2求解举例例1.1解线性方程组

回代

例1.2解引例1.1中的方程组

一定义1.2矩阵及其初等变换(1)1×1的矩阵就是一个数。(2)行数与列数都等于n的矩阵A,称为n阶方阵或n阶矩阵。(3)只有一行的矩阵称为行矩阵或n

维行向量。ai称为A的第i个分量。称为列矩阵或m

维列向量。(4)只有一列的矩阵【注】几种特殊矩阵(5)元素全为零的矩阵称为零矩阵,记为O

。(6)矩阵(约定未写出元素全为零)称为单位矩阵。(7)矩阵称为对角矩阵。记作二两个矩阵相等设,如果则称A与B相等,记作A=B。问:与相等吗?(3)把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上,矩阵的三种初等行变换(1)交换矩阵的某两行,记为(2)以不等于0的数乘矩阵的某一行,记为记为类似定义三种初等列变换以上六种变换统称为矩阵的初等变换三矩阵的初等变换【注1】线性方程组也由其增广矩阵表示,方程组的三种变换也可利用矩阵的初等行变换表示。如前例中:【注2】初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同.初等列变换也有类似的结果…逆变换逆变换逆变换观察上面4个矩阵有什么特点?

形如(1)、(2)的矩阵称为行阶梯形矩阵,形如(3)(4)的矩阵称为行最简(阶梯)形矩阵.(行最简形就是所谓的最简单的“代表”)最后一名话不要下面矩阵也是行阶梯形矩阵下面矩阵是行最简阶梯形矩阵定义…定义…【定理1.1】

每个非零矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵,进而化为行最简阶梯形矩阵.

例1【问题】如果可以利用初等列变换,矩阵B可以化简成的最简单形式是什么?加注:阶梯形不唯一,最简阶梯形唯一此问题可以考虑不要接例1形状为等价标准形是唯一的。【结论】用初等变换必能将矩阵化为如下等价标准形此页可以考虑不要1.3线性方程组的矩阵解法

线性方程组系数矩阵:增广矩阵:前面已经用增广矩阵求解了?【注】线性方程组与其增广矩阵是一一对应的,如系数矩阵:增广矩阵:例1.4判断下列线性方程组是否有解,若有解求其解.解

因为,所对应的方程组中出现矛盾方程

“0=1”故原方程组无解.例1.5判断下列线性方程组是否有解,若有解求其解.解对应的同解方程组为:移项并配齐变量令为任意实数,则原方程组的通解为【定理1.2】

非齐次线性方程组解的存在性定理

非齐次线性方程组有解的充分必要条件是方程组对应增广矩阵的阶梯形矩阵中没有形如的行.例1.6求齐次线性方程组的通解解对系数矩阵A进行初等行变换化为最简阶梯形再加上:在有解时,如果出现自由变量如何?如果没有如何?同解方程组为移项并配齐变量令为任意实数,则原方程组的通解为【定理1.3】如果齐次线性方程组未知量个数(系数矩阵的列数)

大于方程个数(系数矩阵的行数),则该方程组必

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