第九章弯曲变形和刚度计算

第九章梁的弯曲变形与刚度计算工程力学2、挠曲线的近似微分方程3、用积分法求梁的变形4、用叠加法求梁的变形

第九章梁的弯曲变形与刚度计算5、梁的刚度计算及提高梁的刚度的措施1、工程中的弯曲变形问题6、简单超静定梁7、梁的弯曲应变能9.1工程中的弯曲变形问题弯曲变形

弯曲构件除了要满足强度条件外,还需满足刚度条件。如车床主轴的变形过大会引起加工零件的误差。

车间内的吊车梁若变形过大，将使吊车梁上的小车行走困难，出现爬坡现象。4

汽车车架处的钢板弹簧应有较大的变形，才能更好地缓冲减振。PAB9.2挠曲线的近似微分方程一、弯曲变形的量度yx1.挠曲线：变形后梁的轴线。2.挠度ω：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。向上为正。x挠曲线方程：3.转角θ：横截面绕中性轴转过的角度，即y轴与挠曲线法线的夹角，或x轴与挠曲线切线的夹角。逆时针方向为正。小变形：挠曲线弯曲变形即:截面转角近似等于挠曲线在该截面处的斜率。弯曲变形

横力弯曲时,如果是细长梁,可略去剪力对梁的变形的影响，但M和

都是x的函数：纯弯曲时曲率与弯矩的关系式为：

由几何关系知,平面曲线w=f(x)上任意一点的曲率可写作：8

由于挠曲线是一条非常平坦的曲线,ω'2远比1小,可以略去不计,于是上式可写成：称为梁的挠曲线近似微分方程M

0yxMMM<0MM弯矩M与二阶导数ω''的正负号始终一致EI称为梁的弯曲刚度,EI越大弯曲后梁的变形（挠度和转角）越小，梁抵抗弯曲变形的能力越强。99.3用积分法求梁的变形挠曲线近似微分方程：C、D——积分常数；由边界条件和连续性条件确定。弯曲变形若为等截面直梁,其抗弯刚度EI为一常量,上式可改写成：上式积分一次得转角方程：再积分一次,得挠度方程：弯曲变形

在简支梁中,左右两铰支座处的挠度wA和wB都应等于零。

在悬臂梁中,固定端处的挠度wA和转角

A都应等于零。ABwA＝0wB＝0ABwA＝0

A

＝0边界条件(boundarycondition)ABAB不可能不可能连续性条件(Continuitycondition)

在挠曲线的任一点上,有唯一确定的挠度和转角。如:11问题讨论：xycBA分几段？

问题的边界条件、连续条件？边界条件连续条件A处：wA=0B处：wB=0AB、BC两段B处：w1=w2

q1=q2A处：wA=0，qA=0分OA一段。OqA12例：图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁,在自由端受一集中力F作用。试求梁的挠度方程和转角方程,并确定其最大挠度wmax和最大转角

max。ABlxxy解：以梁左端A为原点,取直角坐标系如图，令x轴向右,y轴向上为正。(1)列弯矩方程F(2)列挠曲线近似微分方程并积分13(3)由边界条件确定积分常数代入式(a)和(b),得：C1＝0,C2＝0ABlxxyF在x＝0处:w＝0

θ＝0

14ABlxxwF(4)建立转角方程和挠度方程将C1和C2代入式(a)和(b),得梁的转角方程和挠度方程分别为：(5)求最大转角和最大挠度自由端B处的转角和挠度绝对值最大。wmax

max

所得的挠度为负值,说明B点向下移动;转角为负值,说明横截面B沿顺时针转向转动。15RBRAlABq例：用积分法求挠度方程和转角方程，并确定绝对值最大的转角和最大的挠度。设EI为常量。解：(1)求支座反力，写弯矩方程(2)建立挠曲线近似微分方程，并积分(3)利用边界条件确定积分常数16(5)求转角和挠度的最大值(4)求转角方程、挠度方程弯曲变形的对称点：θ＝0。弯曲变形ABqxyqAqBwmaxl/217例：图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在D点处受一集中力F的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并求其最大挠度和最大转角。解:

（1）写出弯矩方程

以左端A为坐标原点，将梁分为I和II两段,其弯矩方程分别为:求出梁的支反力为:xlABFabFAFBDIII18梁段I(0

x

a)梁段II(

a

x

l)（2）建立挠曲线近似微分方程并积分积分一次转角方程再积分得挠曲线方程挠曲线近似微分方程

在对梁段II进行积分运算时,对含有(x-a)的弯矩项不要展开,而以(x-a)作为自变量进行积分,这样可使下面确定积分常数的工作得到简化。19D点的连续条件：在x=a处,q1＝q2,w1＝w2边界条件:在x=0处,w1＝0在x=l处,w2＝0代入方程可解得:（3）由边界条件和连续条件确定积分常数xlABFabFAFBDIII20梁段I(0

x

a)梁段II(a

x

l)将积分常数代入得：转角方程挠曲线方程21

对于简支梁而言，最大转角一般发生在梁的两端截面处，将x=0和x=l分别代入转角方程有：当a>b时,右支座处截面的转角绝对值为最大:（4）确定最大转角与最大挠度xlABFabFAFBDIII22

根据极值条件，在w'＝0即q=0处，w取得极值。研究第一段梁,令w'1＝0得：

当a>b时,x1<a,最大挠度确实发生在第一段梁中，该最大值为：xlABFabFAFBDIII23讨论:上例中，梁中点挠度与最大挠度的关系？

则：当F从梁中点位置向B支座移动时，b值减小时，x1从0.5L向0.577L趋近（当F接近B点时）；

此时最大挠度的位置离梁中点最远，梁中点挠度与最大挠度应该差距较大。在极端情况下,当b非常小,以致b2与l2项相比可以略去不计时：xlABFabFAFBDIII24梁中点C处的挠度为：

结论:在简支梁中,不论它受什么荷载作用,只要挠曲线上无拐点,其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替,其精确度是能满足工程要求的。略去b2项,得:a例：用积分法求C截面的转角和挠度，设EI为常量。lABPC解：(1)求支座反力，分段写弯矩方程(2)分段建立挠曲线近似微分方程，并积分RARB(3)确定积分常数ABPC边界条件：连续性条件：(4)C截面的挠度和转角27条件：由于梁的变形微小,梁变形后其跨长的改变可略去不计,且梁的材料在线弹性范围内工作,因而梁的挠度和转角均与作用在梁上的载荷成线性关系。

在这种情况下,梁在几项载荷(如集中力、集中力偶或分布力)同时作用下某一横截面的挠度和转角,就分别等于每项载荷单独作用下该截面的挠度和转角的叠加，此即为叠加原理。9.4用叠加法求梁的变形28例：一抗弯刚度为EI的简支梁受荷载如图。试按叠加原理求梁跨中点的挠度wC和支座处横截面的转角

A

,

B。BAqlMeC解：将梁上荷载分解为荷载q和Me单独作用的简支梁。表9.3第9、5栏29例：悬臂梁受力如图所示，梁的抗弯刚度为EI。求梁自由端B的转角θB和挠度yB

。alPBCθ

CyCyB解：查表9.3第2栏：结果第3栏30=+PL1L2ABCBCPL2w1w2等价等价PL1L2ABC刚化AC段PL1L2ABC刚化BC段PL1L2ABCM例：叠加法（逐段刚化法)梁抗弯刚度为EI，求B处的挠度与转角、C处的转角。31w2PL1L2ABCMPL1L2ABCBCPL2w1例：等截面平面刚架求自由端A的水平位移xA和竖直位移yA。abEICEIPAB刚化ABABPC刚化BCPCABABCPa等价等价PAB解：(1)刚化AB段：(2)刚化BC段：刚化AB:刚化BC:(3)叠加：ABCPaPAB*逐段刚化法34例:试利用叠加法,求图示抗弯刚度为EI的简支梁跨中点的挠度wC。Bql/2ACl/2Bq/2ACBACq/2q/2解：该荷载可视为正对称载荷与反称对载荷两种情况的叠加。(1)正对称载荷作用下(2)反对称荷载作用下，跨中挠度wC2等于零。(3)将相应的位移进行叠加（）35例：悬臂梁受力如图所示，梁的抗弯刚度为EI。求梁自由端B的转角θB和挠度yB

。yB解：（1）载荷分解：（2）分别计算：（a）y11（b）y2（c）y3336（3）叠加：（c）y332aABq例：用叠加法求梁中点C挠度和梁端截面B的转角。CDE2l解：荷载对跨中C对称，故C截面的转角为0。表9.3第2栏在RB作用下：表9.3第4栏在q作用下：BEqBElqBEa9.5梁的刚度计算及提高梁的刚度的措施一、刚度条件：叠加：二、应用三种刚度计算：2

设计截面1刚度校核3

确定许可载荷

弯曲变形例：一空心圆梁，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，梁的E=210GPa，工程规定C点的[w]=0.00001m,B点的[

]=0.001弧度,试校核此梁的刚度.=++==++图1图2解：

结构变换，查表求简单荷载下的变形。

叠加求复杂载荷下的变形

校核刚度所以刚度是足够。空心圆梁Iz:提高弯曲刚度的措施

由表9-3可见,梁的位移(挠度和转角)除了与梁的支承和荷载情况有关外,还取决于以下三个因素,即材料——梁的位移与材料的弹性模量E成反比；截面——梁的位移与截面的惯性矩I成反比；跨长——梁的位移与跨长l的n次幂成正比(在各种不同荷载形式下,n分别等于1,2,3或4)。wθ梁的弯曲刚度条件：由此可见,为了减小梁的位移,可以采取下列措施：一、选择合理的截面，增大梁的弯曲刚度EI若IZ对于面积相等的不同形状的截面，则ω、θ梁的抗弯刚度提高。工字形、槽形、T形截面比面积相等的矩形截面有更高的弯曲刚度。说明：各种钢材的弹性模量E大致相同，故采用高强度钢材不能提高弯曲刚度。选择截面的原则（安全而经济）：IZA选择——较大的截面44截面形状截面面积(cm2)

截面尺寸(cm)I(cm4)圆形35.5D=6.72101.3矩形35.5B=4.21H=8.43210.56工字形35.520a2370452．调整跨长和改变结构46lABq

要求解如图所示的超静定梁，可以以B端的活动铰支座为多余约束，将其撤除后而形成的悬臂梁即为原超静定梁的基本静定梁。ABqFB

为使基本静定梁的受力及变形情况与原静不定梁完全一致，还要求基本静定梁满足一定的变形协调条件。9.6简单超静定梁此即应满足的变形协调条件(或变形相容条件)47ABq建立补充方程ABFBwBFwBqABqFB

由图可见，B端的挠度为零，可将其视为均布载荷引起的挠度wBq与未知支座反力FB引起的挠度wBF的叠加结果，即:48ABqABFBwBFwBq

由表9.3查得力与变形间的物理关系：将其代入前式得：即得补充方程ABqFB49由此解出多余约束反力