北京市西城区2019年高三一模数学试题及答案(理科)

数学试卷PAGE北京市西城区2019年高三一模试卷数学（理科）2019.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集，集合，，则集合（）（A）（B）（C）（D）2.已知平面向量，，.若，则实数的值为（）（A）（B）（C）（D）3．在极坐标系中，过点且与极轴平行的直线方程是（）（A）（B）（C）（D）开始输出a结束否是输入a,b4．执行如图所示的程序框开始输出a结束否是输入a,b（A）（B）（C）（D）5．下列函数中，对于任意，同时满足条件和的函数是（）（A）（C）（B）（D）6．“”是“方程表示双曲线”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件7．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产.第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元.设该设备使用了年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（）（A）（B）（C）5（D）68.如图，设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（）BBADC.P（A）4个（B）6个（C）10个（D）14个第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．设复数，其中，则______．10.若抛物线的焦点在直线上，则_____；的准线方程为_____．11．已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是________.12．若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数的取值范围是_______.13.科技活动后，3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念（每名教师只指导一名学生），要求6人排成一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法种数是______.（用数字作答）14．如图，在直角梯形中，，，，，，P为线段（含端点）上一个动点，设，，对于函数，给出以下三个结论：ABDCPeq\o\ac(○,1)当时，函数的值域为；ABDCPeq\o\ac(○,2)，都有成立； eq\o\ac(○,3)，函数的最大值都等于4.其中所有正确结论的序号是_________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. （Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）如果，，求△ABC的面积.16．（本小题满分13分）在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下.根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.寿命（天）频数频率20307050合计200（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b的值；（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了个，如果这n个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值；（Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X的分布列和数学期望.17．（本小题满分14分）ABA1B1DCABA1B1DCED1C（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：//平面；（Ⅲ）若平面与平面所成的锐二面角的大小为，求线段的长度.18．（本小题满分13分）已知函数其中．（Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意，且，都有，求的取值范围.19．（本小题满分14分）已知椭圆，直线l与W相交于两点，与x轴、轴分别相交于、两点，O为坐标原点.（Ⅰ）若直线的方程为，求外接圆的方程；（Ⅱ）判断是否存在直线，使得是线段的两个三等分点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.20．（本小题满分13分）在数列中，.从数列中选出项并按原顺序组成的新数列记为，并称为数列的项子列.例如数列为的一个4项子列.（Ⅰ）试写出数列的一个3项子列，并使其为等差数列；（Ⅱ）如果为数列的一个5项子列，且为等差数列，证明：的公差满足；（Ⅲ）如果为数列的一个项子列，且为等比数列，证明：.

北京市西城区2019年高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（理科）2019.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C2．B3．D4．C5．D6．A7．A8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．10．11．12．13．14．eq\o\ac(○,2),eq\o\ac(○,3)注：第10题第一问2分，第二问3分.第14题若有错选、多选不得分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为，所以，………………3分又因为，所以.………………5分（Ⅱ）解：因为，，所以.………………7分由正弦定理，………………9分得.………………10分因为，所以，解得，因为，所以.………………11分故△ABC的面积.………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：，.………………2分（Ⅱ）解：由表可知：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，所以优等品、正品和次品的比例为.………………4分所以按分层抽样法，购买灯泡数，所以的最小值为．………………6分（Ⅲ）解：的所有取值为.………………7分由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为，………8分从本批次灯泡中购买3个，可看成3次独立重复试验，所以，，，.………………11分所以随机变量的分布列为：0123………………12分所以的数学期望．………………13分（注：写出，，.请酌情给分）17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为底面和侧面是矩形，所以，，又因为，所以平面，………………2分因为平面，所以.………………4分（Ⅱ）证明：因为，所以四边形是平行四边形.连接交于点，连接，则为的中点.在中，因为，，所以.………………6分ABA1BABA1B1DCED1CzyxFG所以平面.………………8分（Ⅲ）解：由（Ⅰ）可知，又因为，，所以平面.………………9分设G为AB的中点，以E为原点，EG，EC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴如图建立空间直角坐标系，设，则.设平面法向量为，因为，由得令，得.………………11分设平面法向量为，因为，由得令，得.………………12分由平面与平面所成的锐二面角的大小为，得，………………13分解得.………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得，其中，………………2分 所以，又因为，所以函数的图象在点处的切线方程为.………………4分（Ⅱ）解：先考察函数，的图象，配方得，………………5分所以函数在上单调递增，在单调递减，且.………………6分因为对于任意，且，都有成立，所以.………………8分以下考察函数，的图象，则，令，解得.………………9分随着变化时，和的变化情况如下：↘↗即函数在上单调递减，在上单调递增，且.………………11分因为对于任意，且，都有成立，所以.………………12分因为（即），所以的取值范围为.………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为直线的方程为，所以与x轴的交点，与轴的交点.………………1分则线段的中点，，………………3分即外接圆的圆心为，半径为，所以外接圆的方程为.………………5分（Ⅱ）解：结论：存在直线，使得是线段的两个三等分点.理由如下：由题意，设直线的方程为，，，则，，………………6分由方程组得，………………7分所以，（*）………………8分由韦达定理，得,.………………9分由是线段的两个三等分点，得线段的中点与线段的中点重合.所以，………………10分解得.………………11分由是线段的两个三等分点，得.所以，………………12分即，解得.………………13分验证知（*）成立.所以存在直线，使得是线段的两个三等分点，此时直线l的方程为，或.………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：