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PAGEPAGE1第五章二次型练习题一、填空题1．实二次型的矩阵为，秩为__，正惯性指数为，规范形为.2．两个元实二次型等价的充分必要条件是．3．实数域上3阶对称矩阵按合同关系可分为类．任一三级实对称与下列形式之一合同标准形合同：4．A正定．．．.5．某四元二次型有标准形，则其规范形为．6.复二次型的规范形由所唯一确定.7.实二次型的矩阵为．8.二次型的矩阵为.9．二次型是正定的充分必要条件是与满足。10.是正定阵，则满足条件__________________。11.实对称阶半正定矩阵的秩为，则二次型的规范形为。12实二次型的矩阵为。13.阶实对称矩阵正定，则二次型的规范形为。三、选择题设是实对称矩阵，二次型正定的充要条件是（）。（A）；（B）负惯性指数为0；（C）的所有主对角线上的元素大于0；（D）存在可逆矩阵，使设A是任意实矩阵，那么二次型必是（）．A、半正定；B、半负定；C、正定；D、负定；实方阵为正定阵,则下列结论正确的是()。A.B.C.D.不确定已知二次型通过正交线性替换化为标准形,则矩阵（）。A.正定B.半正定C.负定D.不定二次型的系数矩阵是（）时必是正定的。A.实对称且主对角线上元素为正B.实对称且顺序主子式值都为正数C.实对称且所有元素为正D.实对称且行列式值为正数已知二次型通过非退化线性替换化为标准形,则二次型（）。A.正定B.半正定C.负定D.不定三、判断说明题（先判断正确与错误，再简述理由）1．元实二次型的符号差与秩有相同的奇偶性．2．阶实对称矩阵A若满足，则A正定．3．A为阶复对称矩阵，则与合同．4．设A，B分别是阶正定矩阵，则也是正定矩阵．5.设A、B为n阶方阵，若存在n阶方阵C，使，则A与B合同.6.若A为正定矩阵，则A的主对角线上的元素皆大于零.7．若A负定，则A的所有顺序主子式全小于零.三、计算题1．用可逆线性替换将二次型化为标准形．写出所用的线性变换及变换矩阵，并求出的正惯性指数与符号差。2.化二次型为标准形，写出所作的非退化的线性替换．并回答下列问题：（1）该二次型的正、负惯性指数及符号差是多少？（2）该二次型在复数域、实数域上的

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