自动控制原理课件

自动控制理论**第一章自动控制的一般概念**

自动控制的基本原理自动控制系统的组成和分类自动控制系统的研究内容和对系统的基本要求本章主要内容**概述

自动控制原理是研究自动控制技术的基础理论和自动控制共同规律的技术科学。自动控制原理按发展过程分为经典控制理论和现代控制理论。[经典控制]：五十年代末形成了完整的体系。它以传递函数为基础，研究单输入单输出反馈控制系统(SISO)。主要采用的方法：时域分析法、根轨迹法和频率法。[现代控制]：以状态空间法为基础研究多输入多输出(MIMO)、变参数、非线性等复杂控制系统。主要采用的方法：状态空间分析法以及其它方法。当前正在发展过程中。本课程研究经典控制的主要内容和现代控制的基础内容。**

人工控制系统控制水位的过程：1、观察实际水位；2、与要求水位比较，得出偏差；3、根据偏差的大小和方向人工调节进水阀的开度，以保证要求的水位。

此系统中，水池是被控对象，实际水位是被控量。

由于人的反应速度和力量的局限性，控制效果往往是不理想的。

自动控制的基本原理[自动控制]：在无人参与的情况下，利用外加的设备或装置使整个生产过程或工作机械自动地按预定规律运行，或使其某个参数按预定的要求变化。第一节自动控制的基本原理

以水位控制系统为例说明自动控制的基本原理：见教材中图1-1（人工控制）和图1-2（自动控制）。**自动水位控制系统（见图1-2）：眼睛＋大脑判断用浮子、电位计和放大器代替；手用电动机和减速器代替。

使用自动水位控制系统能够自动而迅速精确的保持需要的水位。

自动控制的基本原理[自动控制系统]：自动控制系统是由被控对象和自动控制装置按一定的方式连接起来，完成一定的自动控制任务的总和。**

自动控制的基本原理自动水位控制系统的自动控制装置：测量元件：浮子比较元件：连杆调节元件：放大器(偏差由电位器的输出电压反映)执行元件：电动机、减速器和阀门[自动控制装置的组成]：测量元件：获得被控量的实际值并进行变换。比较元件：获得偏差=测量结果-要求值。

调节元件：通常包括放大器和校正装置。使u=f(e)

执行元件：驱动被控对象动作，使被控量达到要求值。**

自动控制的基本原理[控制系统的方块图表示]在方块图中，装置或环节用方块来表示，信号用箭头表示，分支点用点(.)表示，相加点（比较点）用表示。自动水位控制系统方块图调节元件执行元件测量元件控制对象比较元件扰动量(用水量)被控量(输出量)给定水位-实际水位给定量(输入量)连杆电机、减速器、阀门浮子放大器自动控制装置水池**

被控量称为系统的输出量，被控量是被控对象的一个参数，在水位自动控制系统中，被控量为给定的水位。影响系统输出量的量称为系统输入量。输入量有两类：给定输入：决定输出的变化规律或要求值。扰动输入：不希望的外作用，它将影响对被控量的控制。在水位控制系统中，水位要求值是给定输入量，用水量为扰动的输入量。

自动控制的基本原理

自动控制系统的输入量和输出量自动水位控制系统方块图调节元件执行元件测量元件控制对象比较元件扰动量(用水量)被控量(输出量)给定水位-实际水位给定量(输入量)连杆电机、减速器、阀门浮子放大器自动控制装置水池**

自动控制的基本原理[自动控制的特点]：

从信号传送方向来看：通过负反馈，构成闭环回路。由负反馈构成闭环——结构特点。

从控制作用的产生看：由偏差引起的控制作用使系统沿减小或消除偏差的方向运动。——有上述两个特点的控制系统称为：反馈控制系统或闭环控制或偏差控制。其工作原理称为反馈控制原理。自动水位控制系统方块图调节元件执行元件测量元件控制对象比较元件扰动量(用水量)被控量(输出量)给定水位-实际水位给定量(输入量)连杆电机、减速器、阀门浮子放大器自动控制装置水池**一、按信号传送的特点或系统的结构特点分为：开环和闭环控制系统。

开环控制系统：输出量对系统的控制作用无任何影响。扰动控制系统是开环控制系统。

闭环控制系统：负反馈偏差控制系统。偏差控制系统是闭环控制系统。二、按控制作用产生的原因分为：扰动控制系统和复合控制系统。

扰动控制系统：控制作用由扰动产生，不构成闭环。

复合控制系统：同时具有开环结构和闭环结构或同时具有偏差和扰动产生作用的控制系统。

自动控制系统的种类第二节自动控制系统的种类**图1.5(原理图)（方块图）M功放+-+-n1.“转速控制系统”之“开环控制系统”

自动控制系统的种类功放

电动机n扰动负载[工作原理]将电压ug经功率放大后获得ua，由ua驱动电动机旋转。ua和n具有一一对应的关系，如当ug=ug1，n=n1。但是，当电动机的负载改变时，ug=ug1时，可能n=n1+△n，也就是说，ug和n的关系是不准确的。——开环系统的输出易受到扰动的影响而无能为力。**[工作原理]当负载扰动变化时（如变大），则n,,,n。可见，该系统可以自动地进行转速调节，以减小或消除偏差。2.“转速控制系统”之“闭环控制系统”

自动控制系统的种类[注意]：在上图中，在比较点上进行运算的各个量应具有相同的量纲。比如都是电压量。（电压）称为偏差，而输出量和要求值之差（物理量）称为系统误差。显然偏差和误差是不同的。我们可以发现，这两者是有一定的对应的关系的。可以用偏差反映系统的误差。M+n-测速装置功放

电动机n测速装置比较点功放-负载扰动**[注意]一个补偿装置只能补偿一个与之相应的扰动，对于其他的扰动则不起作用。本图可以补偿由负载扰动引起的电动机转速n的变化。扰动控制属开环控制。3.“转速控制系统”之“扰动控制系统”

若转速的变化主要由负载干扰引起的，并且负载干扰可测，则可以形成如下图所示的扰动控制系统。

自动控制系统的种类M+n-比较器功放i负载干扰n-功放电动机补偿装置**

右上图中，1是放大器，2是功放，3是电动机，4是测速装置，5，6是扰动通道传递函数。4.“转速控制系统”之“复合控制系统”

自动控制系统的种类

该图由扰动控制（开环控制）和偏差控制（闭环控制）组成。扰动控制补偿负载干扰的影响，偏差控制补偿其他因素产生的偏差。M+n-功放i测速装置-放大器放大器321564n--负载干扰**三、按照输入作用的变化将反馈控制系统分成两类：

恒值控制系统：给定值不变。由于扰动的存在，将使被控量偏离给定值。控制系统能自动地根据偏差产生控制作用，使被控量恢复到给定值。如上述的水位和转速控制系统。

随动系统（自动跟踪系统或伺服系统）：给定值是预先未知的随时间任意变化的函数。控制系统能够使被控量以尽可能小的误差跟随给定值。随动系统也能克服各种扰动的影响，但一般来说，扰动的影响是次要的。

自动控制系统的种类**[随动系统的例子]

船舶驾驶舵角位置跟踪系统。目的是希望船舵转角跟随驾驶舵转动。在方块图中，我们看到：输出量直接反馈到输入端，这种系统称为单位反馈系统或直接反馈控制系统。一般随动系统常具有这种形式。

自动控制系统的种类随动系统的例子**四、按数学模型分为两类：线性和非线性控制系统。

自动控制系统的种类五、按控制作用和控制时间分：分为连续控制系统和离散控制系统**研究内容有二：一为系统分析，二为系统的设计（包括系统综合）

系统设计：寻求一个能完成一定控制任务，满足一定控制要求的控制系统。

系统综合：控制系统设计好后，即控制系统的主要元件和结构确定后，为了满足系统的性能指标，需要改变控制系统的某些参数或结构或附加某种装置。这个过程称为系统的校正或系统的综合。

系统分析：已知系统的结构和参数，研究它在某种典型输入信号作用下，被控量变化的全过程。从这个变化过程得出其性能指标，并讨论性能指标和系统的结构、参数的关系。自动控制系统的研究内容和对系统的基本要求第三节自动控制系统的研究内容和对系统的基本要求**[对控制系统的基本要求]

可以归结为系统的稳定性、快速性和准确性，即稳、准、快的要求。

稳：要求系统是稳定的，不稳定的系统不能正常使用；

准：稳态误差要小；

快：瞬态响应快，超调量小，调节时间短。自动控制系统的研究内容和对系统的基本要求**本章小结

自动控制和自动控制系统的含义；反馈和反馈控制的概念，自动控制的原理；控制系统的组成和分类；能够确定实际控制系统的被控对象，被控量和给定量(输入量和输出量)；能够绘制控制系统的方块图；能分析实际控制系统的控制原理。**Sunday,April14,202422

第二章自动控制系统的数学模型Sunday,April14,202423本章的主要内容

控制系统的微分方程-建立和求解控制系统的传递函数控制系统的结构图-等效变换控制系统的信号流图-梅逊公式脉冲响应函数各种数学模型的相互转换Sunday,April14,202424概述[数学模型]描述控制系统变量（物理量）之间动态关系的数学表达式。常用的数学模型有微分方程、传递函数、结构图、信号流图、频率特性以及状态空间描述等。

例如对一个微分方程，若已知初值和输入值，对微分方程求解，就可以得出输出量的时域表达式。据此可对系统进行分析。所以建立控制系统的数学模型是对系统进行分析的第一步也是最重要的一步。

控制系统如按照数学模型分类的话，可以分为线性和非线性系统，定常系统和时变系统。概述Sunday,April14,202425[线性系统]

如果系统满足叠加原理，则称其为线性系统。叠加原理说明，两个不同的作用函数同时作用于系统的响应，等于两个作用函数单独作用的响应之和。

线性系统对几个输入量同时作用的响应可以一个一个地处理，然后对每一个输入量响应的结果进行叠加。[线性定常系统和线性时变系统]

可以用线性定常（常系数）微分方程描述的系统称为线性定常系统。如果描述系统的微分方程的系数是时间的函数，则这类系统为线性时变系统。

宇宙飞船控制系统就是时变控制的一个例子（宇宙飞船的质量随着燃料的消耗而变化）。概述Sunday,April14,202426

经典控制理论中（我们正在学习的），采用的是单输入单输出描述方法。主要是针对线性定常系统，对此有一套完整的理论和方法。但对于非线性系统和时变系统，解决问题的能力是极其有限的，可以在一定的近似条件下简化为线性系统。[非线性系统]如果系统不能满足叠加原理，则系统是非线性的。概述

下面是非线性系统的一些例子：典型非线性环节：饱和、滞环、间隙、干摩擦等Sunday,April14,202427

微分方程的编写应根据组成系统各元件工作过程中所遵循的物理定理来进行。例如：电路中的基尔霍夫电路定理，力学中的牛顿定理，热力学中的热力学定理等，这种方法称为用分析法建立系统的数学模型。另外一种方法是实验法。即人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当地数学模型逼近，这种方法又成为系统辨识，现在成为一门独立学科分支。控制系统的微分方程第一节控制系统的微分方程本节讨论用分析法建立系统的数学模型。Sunday,April14,202428输入输出LRCi例2-1写出RLC串联电路的微分方程。①②[解]：根据电路定理：由②：，代入①得：这是一个线性定常二阶微分方程。Sunday,April14,202429例2-2

求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。输入量为外力F，输出量为位移x。[解]：图1和图2分别为系统原理结构图和质量块受力分析图。图中，m为质量，f为粘性阻尼系数，k为弹性系数。mfmFF图2图1控制系统的微分方程根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下：这也是一个二阶定常微分方程。x为输出量，F为输入量。在国际单位制中，m,f和k的单位分别为：Sunday,April14,202430[需要讨论的几个问题]1、相似系统和相似量：我们注意到例2-1和例2-2的微分方程形式是完全一样的。这是因为：若令（电荷），则例2-1①式的结果变为：可见，同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型。相似系统和相似量[定义]具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。例2-1和例2-2称为力-电荷相似系统，在此系统中，分别与为相似量。[作用]

利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟相对复杂的系统，实现仿真研究。Sunday,April14,2024312、非线性元件（环节）微分方程的线性化在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该系统为线性定常系统，其最重要的特性便是可以应用线性叠加原理，即系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠加得到。非线性环节微分方程的线性化

若描述系统的数学模型是非线性（微分）方程，则相应的系统称为非线性系统，这种系统不能用线性叠加原理。在经典控制领域对非线性环节的处理能力是很小的。但在工程应用中，除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大的情况，一般采用近似的线性化方法。对于非线性方程，可在工作点附近用泰勒级数展开，取前面的线性项。可以得到等效的线性环节。Sunday,April14,202432

设具有连续变化的非线性函数为:y=f(x)，若取某一平衡状态为工作点，如右图中的。A点附近有点为，当很小时，AB段可近似看做线性的。非线性环节微分方程的线性化AByx0Sunday,April14,202433AByx0设f(x)在点连续可微，则将函数在该点展开为泰勒级数，得：若很小，则，即式中，K为与工作点有关的常数，显然，上式是线性方程，是非线性方程的线性近似。为了保证近似的精度，只能在工作点附近展开。非线性环节微分方程的线性化Sunday,April14,202434对于具有两个自变量的非线性方程，也可以在静态工作点附近展开。设双变量非线性方程为：，工作点为。则可近似为：式中：，。 为与工作点有关的常数。阅读教材例2-5求液压伺服油缸的线性化数学模型。[注意]：⑴上述非线性环节不是指典型的非线性特性（如间隙、库仑干摩擦、饱和特性等），它是可以用泰勒级数展开的。⑵实际的工作情况在工作点附近。⑶变量的变化必须是小范围的。其近似程度与工作点附近的非线性情况及变量变化范围有关。非线性环节微分方程的线性化Sunday,April14,2024353.线性系统微分方程的编写步骤：⑴确定系统和各元部件的输入量和输出量。⑵对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的物理的方程。⑶对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小的次要因素，对非线性元部件进行线性化等。⑷从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，在所有元部件的方程中消去中间变量，最后得到描述系统输入和输出关系的微分方程。线性系统微分方程的编写步骤Sunday,April14,202436例2-6

编写下图所示的速度控制系统的微分方程。负载-+-+

功率放大器测速发电机[解]：⑴该系统的组成和原理；⑵该系统的输出量是，输入量是，扰动量是线性系统微分方程的编写例子[例2-6]Sunday,April14,202437线性系统微分方程的编写例子[例2-6]⑸消去中间变量：推出之间的关系：显然，转速既与输入量有关，也与干扰有关。⑷各环节微分方程：运放Ⅰ：，运放Ⅱ：功率放大：，反馈环节：电动机环节：见例2-4测速-运放Ⅰ运放Ⅱ功放电动机⑶速度控制系统方块图：Sunday,April14,202438线性系统微分方程的编写例子[例2-6]⑴对于恒值调速系统，=常量，则。转速的变化仅由负载干扰引起。增量表达式如下：⑵对于随动系统，则=常数，，故：根据上式可以讨论输出转速跟随给定输入电压的变化情况。⑶若和都是变化的，则对于线性系统应用叠加原理分别讨论两种输入作用引起的转速变化，然后相加。[增量式分析](上式等号两端取增量)：Sunday,April14,202439①定义：如果有一个以时间t为自变量的函数f(t)，它的定义域t>0，那么下式即是拉氏变换式：

,式中s为复数。记作一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是：⑴t<0时，f(t)=0；⑵t≥0时，f(t)分段连续；⑶。F(s)—象函数，f(t)—原函数。记为反拉氏变换。复习拉氏变换4、复习拉氏变换Sunday,April14,202440⑴线性性质：⑵微分定理：⑶积分定理：（设初值为零）⑷时滞定理：⑸初值定理：复习拉氏变换②性质：Sunday,April14,202441⑹终值定理：⑺卷积定理：③常用函数的拉氏变换：单位阶跃函数：单位脉冲函数：单位斜坡函数：单位抛物线函数：正弦函数：其他函数可以查阅相关表格获得。复习拉氏变换Sunday,April14,2024425、线性方程的求解：研究控制系统在一定的输入作用下，输出量的变化情况。方法有经典法，拉氏变换法和数字求解。在自动系统理论中主要使用拉氏变换法。[拉氏变换求微分方程解的步骤]：①对微分方程两端进行拉氏变换，将时域方程转换为s域的代数方程。②求拉氏反变换，求得输出函数的时域解。线性方程的求解Sunday,April14,202443例子求[例2-6]速度控制系统微分方程的解。假设没有负载干扰，并且各项初值均为零。解速度控制系统微分方程为：对上式各项进行拉氏变换，得：即：当输入已知时，求上式的拉氏反变换，即可求得输出的时域解。线性方程的求解（例子）Sunday,April14,202444小结系统微分方程的列写；相似量、相似系统；非线性环节的线性化；线性方程的求解（用拉氏变换法）；拉氏变换及性质。Sunday,April14,202445第二节控制系统的传递函数Sunday,April14,202446传递函数的基本概念

传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之一。利用传递函数，在系统的分析和综合中可解决如下问题：

不必求解微分方程就可以研究初始条件为零的系统在输入信号作用下的动态过程。

可以研究系统参数变化或结构变化对系统动态过程的影响，因而使分析系统的问题大为简化。

可以把对系统性能的要求转化为对系统传递函数的要求，使综合问题易于实现。Sunday,April14,202447系统或环节的微分方程为：式中：x（t）—输入，y（t）—输出为常系数一、传递函数的基本概念将上式求拉氏变化，得(令初始值为零）

称为系统或环节的传递函数，即：环节的传递函数是它的微分方程在零初始条件下输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换之比。也可写成：Y(s)=G(s)X(s)。通过拉氏反变换可求出时域表达式y(t)。传递函数的基本概念Sunday,April14,202448传递函数的基本概念[总结]:

传递函数是由线性微分方程（线性系统）当初始值为零时进行拉氏变化得到的。

已知传递函数G(s)和输入函数X(s)，可得出输出Y(s)。通过反变换可求出时域表达式y(t)。可以由环节的微分方程直接得出传递函数，只要将各阶导数用各阶s代替即可。即：Sunday,April14,202449传递函数的基本概念||例2-8运放Ⅰ：运放Ⅱ：功放：[例2-8]求速度控制系统的传递函数。[解]各环节的微分方程和传递函数分别为：直流电动机：Sunday,April14,202450传递函数的基本概念||例2-8

上式有两个输入量，而传递函数只能处理单输入-单输出系统。对于线性系统，可以将多个输入分别独立处理，然后叠加起来。下面分别讨论两个输入单独作用时的传递函数。令，得转速对电枢电压的传递函数：令，得转速对负载力矩的传递函数：最后利用叠加原理得转速表示为：

反馈环节：Sunday,April14,202451求下图系统的传递函数。RLCi方法1：见例2-1求上式的拉氏变换，得：传递函数为：传递函数的基本概念||例2-8a

方法2：复阻抗（电阻、电容和电感）分别为。则：Sunday,April14,202452传递函数的基本概念||例2-9[例2-9]求下图的传递函数：B为虚地点，所以所以：Sunday,April14,202453传递函数的概念适用于线性定常系统，它与线性常系数微分方程一一对应。且与系统的动态特性一一对应。传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数。而研究某传递函数所得结论可适用于具有这种传递函数的各种系统。传递函数仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入无关。只反映了输入和输出之间的关系，不反映中间变量的关系。传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统。若系统有多个输入信号，在求传递函数时，除了一个有关的输入外，其它的输入量一概视为零。传递函数忽略了初始条件的影响。传递函数传递函数是s的有理分式，对于大多数实际系统，分母的阶次n大于分子的阶次m，此时称为n阶系统。传递函数的基本概念[关于传递函数的几点说明]Sunday,April14,202454传递函数的表现形式[传递函数的几种表现形式]：

表示为有理分式形式：式中：—为实常数，一般n≥m上式称为n阶传递函数，相应的系统为n阶系统。

表示成零点、极点形式：式中：称为传递函数的零点，称为传递函数的极点。—传递系数（零极点形式传递函数增益）Sunday,April14,202455传递函数的表现形式

写成时间常数形式：分别称为时间常数，K称为放大系数显然：Sunday,April14,202456传递函数的表现形式若零点或极点为共轭复数，则一般用2阶项来表示。若为共轭复极点，则：或：其中系数由或求得。同样，共轭复零点可表示如下：或：Sunday,April14,202457传递函数的表现形式若再考虑有n个零值极点，则传递函数的通式可以写成：

从上式可以看出：传递函数是一些基本因子的乘积。这些基本因子就是典型环节所对应的传递函数，是一些最简单、最基本的一些形式。式中：或：比例环节积分环节惯性环节二阶微分振荡环节一阶微分Sunday,April14,202458比例环节二、典型环节及其传递函数

典型环节有比例、积分、惯性、振荡、微分和延迟环节等多种。以下分别讨论典型环节的时域特征和复域（s域）特征。时域特征包括微分方程和单位阶跃输入下的输出响应。s域特性研究系统的零、极点分布。

比例环节又称为放大环节。k为放大系数。实例：分压器，放大器，无间隙无变形齿轮传动等。（一）比例环节：时域方程：传递函数：Sunday,April14,202459积分环节

有一个零值极点。在图中极点用表示，零点用“”表示。k表示比例系数，T称为时间常数。（二）积分环节：时域方程：传递函数：0S平面j0Sunday,April14,202460积分环节实例积分环节实例：①RC图中，为转角，为角速度。可见，为比例环节， 为积分环节。②电动机（忽略惯性和摩擦）齿轮组Sunday,April14,202461（三）惯性环节时域方程：传递函数：

当输入为单位阶跃函数时,有，可解得： ，式中：k为放大系数，T为时间常数。惯性环节

当k=1时，输入为单位阶跃函数时,时域响应曲线和零极点分布图如下：通过原点的斜率为1/T。只有一个极点（-1/T）。jRe0S平面Sunday,April14,202462

求单位阶跃输入的输出响应的方法：

可见：y(t)是非周期单调升的，所以惯性环节又叫作非周期环节。惯性环节的单位阶跃响应Sunday,April14,202463①R2C-+R1而R②C两个实例：惯性环节实例Sunday,April14,202464振荡环节（四）振荡环节：时域方程：传递函数：上述传递函数有两种情况：当时，可分解为两个惯性环节相乘。即：传递函数有两个实数极点：Sunday,April14,202465振荡环节分析[分析]：y(t)的响应过程是振幅按指数曲线衰减的的正弦运动。与有关。反映系统的阻尼程度，称为阻尼系数，称为无阻尼振荡圆频率。当时，曲线单调上升,无振荡。当时，曲线衰减振荡。越小，振荡越厉害。若，传递函数有一对共轭复数极点。传函可写成：对阶跃输入：单位阶跃响应曲线0极点分布图Sunday,April14,202466解：当时，有一对共轭复数极点。所以：解得：[例]：求质量-弹簧-阻尼系统的和。（见例2-2，p11）振荡环节例子Sunday,April14,202467微分环节（五）微分环节：微分环节的时域形式有三种形式：①②③相应的传递函数为：①②③分别称为：纯微分，一阶微分和二阶微分环节。微分环节没有极点，只有零点。分别是零、实数和一对共轭零点（若）。在实际系统中，由于存在惯性，单纯的微分环节是不存在的，一般都是微分环节加惯性环节。Sunday,April14,202468式中：y(t)x(t)R1R2C[实例]微分环节实例Sunday,April14,202469延迟环节（六）延迟环节：又称时滞，时延环节。它的输出是经过一个延迟时间后，完全复现输入信号。如右图所示。其传递函数为：延迟环节是一个非线性的超越函数，所以有延迟的系统是很难分析和控制的。为简单起见，化简如下：或x(t)ty(t)tSunday,April14,202470（七）其他环节：还有一些环节如等，它们的极点在s平面的右半平面，我们以后会看到，这种环节是不稳定的。称为不稳定环节。其他环节Sunday,April14,202471小结传递函数的基本概念传递函数的列写（由微分方程和系统原理图出发）传递函数的适用范围和局限性典型环节及其传递函数（单位阶跃响应及其零极点分布）Sunday,April14,202472第三节结构图及其等效变换Sunday,April14,202473结构图的基本概念一、结构图的基本概念：

我们可以用结构图表示系统的组成和信号流向。在引入传递函数后，可以把环节的传递函数标在结构图的方块里，并把输入量和输出量用拉氏变换表示。这时Y(s)=G(s)X(s)的关系可以在结构图中体现出来。[定义]表示变量之间数学关系的方块图称为函数结构图或方块图。X(t)Y(t)电位器[例]：结构：结构图：微分方程：y(t)=kx(t)

若已知系统的组成和各部分的传递函数，则可以画出各个部分的结构图并连成整个系统的结构图。X(s)G(s)=KY(s)Sunday,April14,202474结构图的基本概念[例2-10].求例2-6所示的速度控制系统的结构图。各部分传递函数见例2-8，罗列如下：比较环节：运放Ⅰ：运放Ⅱ：功放环节：Sunday,April14,202475

将上面几部分按照信号传递方向连接起来，形成下页所示的完整结构图。通常将输入信号画在最左边,输出信号画在最右边.反馈环节：电动机环节：-Sunday,April14,202476

在结构图中，不仅能反映系统的组成和信号流向，还能表示信号传递过程中的数学关系。系统结构图也是系统的数学模型，是复域的数学模型。结构图的基本概念-Sunday,April14,202477结构图的等效变换二、结构图的等效变换：[定义]：在结构图上进行数学方程的运算。[类型]：①环节的合并；

--串联

--并联

--反馈连接

②信号分支点或相加点的移动。[原则]：变换前后环节的数学关系保持不变。Sunday,April14,202478（一）环节的合并：有串联、并联和反馈三种形式。

环节的并联：

反馈联接：环节的合并

环节的串联：…Sunday,April14,202479（二）信号相加点和分支点的移动和互换：

如果上述三种连接交叉在一起而无法化简，则要考虑移动某些信号的相加点和分支点。①信号相加点的移动：把相加点从环节的输入端移到输出端信号相加点的移动Sunday,April14,202480信号相加点的移动和互换

把相加点从环节的输出端移到输入端：Sunday,April14,202481②信号分支点的移动：分支点从环节的输入端移到输出端信号分支点的移动和互换Sunday,April14,202482信号相加点和分支点的移动和互换

分支点从环节的输出端移到输入端：[注意]：

相临的信号相加点位置可以互换而不改变其等效性；见下例Sunday,April14,202483信号相加点和分支点的移动和互换

同一信号的分支点位置可以互换而不改变其等效性；见下例

相加点和分支点在一般情况下，不能互换。常用的结构图等效变换见表2-1在一般情况下，相加点向相加点移动，分支点向分支点移动。Sunday,April14,202484例子：方法一：方法二：Sunday,April14,202485结构图等效变换例子||例2-11[例2-11]利用结构图等效变换讨论两级RC串联电路的传递函数。[解]：不能把左图简单地看成两个RC电路的串联,因有负载效应。根据电路定理，有以下等式和结构图：---Sunday,April14,202486结构图等效变换例子||例2-11总的结构图如下：------Sunday,April14,202487

为了求出总的传递函数，需要进行适当的等效变换。一个可能的变换过程如下：--------Sunday,April14,202488------Sunday,April14,202489-Sunday,April14,202490---------解法二：Sunday,April14,202491-Sunday,April14,202492解法三：---------+Sunday,April14,202493---+-+-+Sunday,April14,202494-+-Sunday,April14,202495结构图等效变换例子||例2-12[解]：结构图等效变换如下：[例2-12]系统结构图如下，求传递函数。-+相加点移动-+①Sunday,April14,202496-+②结构图等效变换例子||例2-12Sunday,April14,202497[补例]系统结构图如下，求传递函数。Sunday,April14,202498Sunday,April14,202499Sunday,April14,2024100Sunday,April14,2024101Sunday,April14,2024102结构图等效变换例2Sunday,April14,2024103Sunday,April14,2024104闭环系统的传递函数三、闭环系统的传递函数：

闭环控制系统的典型结构图如下图所示：-+

图中，，为输入、输出信号，为系统的偏差，为系统的扰动量，这是不希望的输入量。由于传递函数只能处理单输入、单输出系统，因此，我们分别求 对和对的传递函数，然后叠加得出总的输出量。Sunday,April14,2024105给定输入作用下的闭环系统的传递函数（一）给定输入作用下的闭环系统：令，则有：-输出量为：上式中，称为前向通道传递函数，前向通道指从输入端到输出端沿信号传送方向的通道。前向通道和反馈通道传递函数的乘积称为开环传递函数。含义是主反馈通道断开时从输入信号到反馈信号之间的传递函数。Sunday,April14,2024106又若单位反馈系统H(s)=1，则有：开环传递函数=前向通道传递函数。系统的偏差E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)就是系统误差。系统偏差传递函数：-给定输入作用下的闭环系统的传递函数（也可直接写出该偏差传递函数）Sunday,April14,2024107扰动输入作用下的闭环系统的传递函数（二）扰动作用下的闭环系统：此时R(s)=0,结构图如下：输出对扰动的传递函数为：输出为：一般要求由扰动量产生的输出量应为零。系统的误差为-C(s),偏差E(s)=0-B(s)=-H(s)C(s)，扰动作用下偏差传递函数为：-+Sunday,April14,2024108给定输入和扰动输入作用下的闭环系统的传递函数(三）给定输入和扰动输入同时作用下的闭环系统根据线性迭加原理：输出：偏差：[说明]：各个传递函数都具有相同的分母，分母称为控制系统的特征表达式。作业：2-8，2-9，2-11Sunday,April14,2024109小结结构图的概念和绘制方法；结构图的等效变换（环节的合并和分支点、相加点的移动）；给定作用和扰动作用共同时的闭环系统的传递函数；特征表达式（特征方程）。Sunday,April14,2024110-+-++++[补充题一]某系统的结构图如图所示。试求系统的传递函数。Sunday,April14,2024111[补充题二]某系统的结构图如图所示。试求系统的传递函数。Sunday,April14,2024112第四节控制系统的信号流图Sunday,April14,2024113

信号流图可以表示系统的结构和变量传送过程中的数学关系。它也是控制系统的一种数学模型。在求复杂系统的传递函数时较为方便。一、信号流图及其等效变换组成：信号流图由节点和支路组成。见下图：信号流图的概念-+Sunday,April14,2024114上图中，两者都具有关系:。支路对节点来说是输出支路，对节点y来说是输入支路。

节点：节点表示信号，输入节点表示输入信号，输出节点表示输出信号。支路：连接节点之间的线段为支路。支路上箭头方向表示信号传送方向，传递函数标在支路上箭头的旁边，称支路传输。信号流图的概念Sunday,April14,2024115信号流图的术语[几个术语]：

输出节点(阱点)：只有输入支路的节点。如：X8。

混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。如：X2,X3,X4,X5,X6,X7。混合节点相当于结构图中的信号相加点和分支点。它上面的信号是所有输入支路引进信号的叠加。

通路：沿支路箭头方向穿过各个相连支路的路线，起始点和终点都在节点上。若通路与任一节点相交不多于一次，且起点和终点不是同一节点称为开通路。起点在源点，终点在阱点的开通路叫前向通路。

输入节点(源点)：只有输出支路的节点。如：X1，X9。Sunday,April14,2024116

回路(闭通路)：通路与任一节点相交不多于一次，但起点和终点为同一节点的通路称为回路。

互不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路称为互不接触回路。信号流图的术语

通路传输(增益)：通路中各支路传输的乘积称为通路传输或通路增益。前向通路中各支路传输的乘积称为前向通路传输或前向通路增益。

回路传输(增益)：回路上各支路传输的乘积称为回路传输或回路增益。Sunday,April14,2024117信号流图的等效变换

串联支路合并：

并联支路的合并：

回路的消除：Sunday,April14,2024118

混合支路的清除：

自回路的消除：信号流图的等效变换Sunday,April14,2024119信号流图的性质节点表示系统的变量。一般，节点自左向右顺序设置，每个节点标志的变量是所有流向该节点的信号之代数和，而从同一节点流向各支路的信号均用该节点的变量表示。支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。信号在支路上只能沿箭头单向传递，即只有前因后果的因果关系。对于给定的系统,节点变量的设置是任意的，因此信号流图不是唯一的。信号流图的性质Sunday,April14,2024120信号流图的绘制[信号流图的绘制]：根据结构图列出系统各环节的拉氏方程，按变量间的数学关系绘制

先在结构图上标出节点，如上图所示。然后画出信号流图如下图所示。例1：速度控制系统的结构图为：Sunday,April14,2024121例2:

已知结构图如下，可在结构图上标出节点，如上图所示。然后画出信号流图如下图所示。Sunday,April14,2024122信号流图的绘制例2:

按微分方程拉氏变换后的代数方程所表示的变量间数学关系绘制。如前例所对应的代数方程为:按方程可绘制信号流图。Sunday,April14,2024123梅逊公式

用梅逊公式可不必简化信号流图而直接求得从输入节点到输出节点之间的总传输。（即总传递函数）其表达式为：式中：总传输（即总传递函数）；从输入节点到输出节点的前向通道总数；第k个前向通道的总传输；流图特征式；其计算公式为：二、梅逊增益公式Sunday,April14,2024124（正负号间隔）式中：流图中所有不同回路的回路传输之和；所有互不接触回路中，每次取其中两个回路传输乘积之和；

所有互不接触回路中，每次取其中三个回路传输乘积之和；

第k个前向通道的特征余子式；其值为中除去与第k个前向通道接触的回路后的剩余部分。梅逊公式Sunday,April14,2024125梅逊公式||例2-13a[解]：前向通道有一条；有一个回路；例2-13a：求速度控制系统的总传输。（不计扰动）Sunday,April14,2024126梅逊公式||例2-13[解]：先在结构图上标出节点，再根据逻辑关系画出信号流图如下：[例2-13]：绘出两级串联RC电路的信号流图并用Mason公式计算总传递函数。---Sunday,April14,2024127图中，有一个前向通道；有三个回路；有两个互不接触回路；（因为三个回路都与前向通道接触。）总传输为：梅逊公式||例2-13（正负号间隔）式中：流图中所有不同回路的回路传输之和；所有互不接触回路中，每次取其中两个回路传输乘积之和；

所有互不接触回路中，每次取其中三个回路传输乘积之和；Sunday,April14,2024128梅逊公式||例2-13讨论：信号流图中，a点和b点之间的传输为1，是否可以将该两点合并。使得将两个不接触回路变为接触回路？如果可以的话，总传输将不一样。不能合并。因为a、b两点的信号值不一样。上图中，ui和ue，I1和I，a和b可以合并。Sunday,April14,2024129梅逊公式||例2-14例2-14：使用Mason公式计算下述结构图的传递函数解：在结构图上标出节点，如上图。然后画出信号流图，如下：++--Sunday,April14,2024130回路有三，分别为：有两个不接触回路，所以：梅逊公式||例2-14求：前向通道有二，分别为:Sunday,April14,2024131梅逊公式||例2-14求：（兰线表示）

不变。（红线表示）注意：上面讲不变，为什么？是流图特征式，也就是传递函数的特征表达式。对于一个给定的系统，特征表达式总是不变的，可以试着求一下。Sunday,April14,2024132梅逊公式注意事项注意：梅森公式只能求系统的总增益，即输出对输入的增益。而输出对混合节点（中间变量）的增益不能直接应用梅森公式。也就是说对混合节点，不能简单地通过引出一条增益为一的支路，而把非输入节点变成输入节点。对此问题有两种方法求其传递函数：一、把该混合节点的所有输入支路去掉，然后再用梅森公式。二、分别用梅森公式求取输出节点及该节点对输入节点的传递函数，然后把它们的结果相比，即可得到输出对该混合节点的传递函数。Sunday,April14,2024133梅逊公式||例2-15例2-15：数数有几个回路和前向通道。

有四个回路，分别是：它们都是互相接触的。

有九条前向通道，分别是：Sunday,April14,2024134梅逊公式||例2-15

对应的结构图为：--+++++为节点注意：①信号流图与结构图的对应关系；②仔细确定前向通道和回路的个数。作业：2-12，2-13Sunday,April14,2024135小结

信号流图的组成；术语；信号流图的绘制和等效变换；梅逊公式极其应用；信号流图和结构图之间的关系。小结Sunday,April14,2024136梅逊公式的推导附录：梅逊公式的推导如前例已知信号流图如图所示，所对应的代数方程为以R为输入，V2为输出则可整理成下列方程Sunday,April14,2024137于是可求得该方程组的系数行列式和

梅逊公式的推导Sunday,April14,2024138根据克莱姆法则得

于是传递函数为

分析上式可以看到，传递函数的分子和分母取决于方程组的系数行列式，而系数行列式又和信号流图的拓扑结构有着密切的关系。从拓扑结构的观点，信号流图的主要特点取决于回路的类型和数量。而信号流图所含回路的主要类型有两种：单独的回路和互不接触回路。梅逊公式的推导Sunday,April14,2024139图中所示信号流图共含有五个单独回路和三对互不接触回路（回路Ⅰ和Ⅲ、Ⅰ和Ⅳ、Ⅱ和Ⅳ）

所有单独回路增益之和为两两互不接触回路增益乘积之和为

而△值恰好为

可见，传递函数的分母△取决于信号流图的拓扑结构特征。

梅逊公式的推导Sunday,April14,2024140

如果把△中与第k条前向通道有关的回路去掉后，剩下的部分叫做第k条前向通道的余子式，并记为△k。由图可得，从输入到输出的前向通道和其增益以及响应的余子式如下表所示前向通道前向通道增益余子式R→V1→V3→V2→CP1=bde△1=1R→V2→CP2=f△2=1－m－ldR→V1→V2→CP3=bg△3=1梅逊公式的推导Sunday,April14,2024141故用信号流图拓扑结构的术语，系统的传递函数可表示为

梅逊公式的推导传递函数的分子等于系数行列式△２除以R(s)。而恰好为

前向通道前向通道增益余子式R→V1→V3→V2→CP1=bde△1=1R→V2→CP2=f△2=1－m－ldR→V1→V2→CP3=bg△3=1Sunday,April14,2024142第五节脉冲响应函数Sunday,April14,2024143

①

理想单位脉冲函数：[定义]：，且，其积分面积为1。

出现在时刻，积分面积为A的理想脉冲函数定义如下：且

脉冲响应函数表示零初始条件时，线性系统对理想单位脉冲输入信号的响应。它也是线性系统的数学模型。

实际单位脉冲函数：和当时，脉冲函数Sunday,April14,2024144

以下讨论线性控制系统在单位脉冲作用下的输出响应g(t)，称为脉冲响应函数。

从上式可以看出，g(t)是系统的脉冲响应函数，它等于系统传递函数的拉氏反变换。g(t)与G(s)有一一对应的关系。g(t)也是线性控制系统的数学模型。故：[例2-16]：设系统的脉冲响应函数是，求G(s)。[解]：脉冲响应函数Sunday,April14,2024145

我们还可以不证明地表示出：利用脉冲响应函数，可以求出系统在任何输入x(t)下的输出响应y(t)。或式中，g(t)是脉冲响应函数，上述两式称为卷积。表示为：用脉冲响应函数表示输出

回忆拉氏变换的卷积定理，有L[y(t)]=L[x(t)*g(t)]，所以：Y(s)=X(s)G(s)Sunday,April14,2024146则输出：单位阶跃响应函数：②

单位阶跃响应函数：单位阶跃响应函数也是线性控制系统的一种数学模型。它是在单位阶跃函数1(t)的作用下的输出响应h(t).单位阶跃响应函数Sunday,April14,2024147③脉冲响应函数和单位阶跃响应函数之间的关系：根据积分定理：当零初值时，有Sunday,April14,2024148小结

脉冲响应函数；脉冲响应函数与传递函数之间的关系；单位阶跃响应函数；脉冲响应函数和单位阶跃响应函数之间的关系。Sunday,April14,2024149本章总结

本章讨论了控制系统数学模型问题，数学模型是实际系统与控制理论联系的桥梁，建立系统的数学模型是对系统进行分析的第一步。本章介绍了时域和频域的数学模型：系统的微分方程，传递函数，结构图，信号流图，脉冲响应函数等。请注意各种数学模型之间的联系。本章研究的数学模型是基于线性定常控制系统的，是研究输入输出之间的关系，不涉及系统内部状态的变化，故称为输入输出模型。Sunday,April14,2024150基本要求：

会列写控制系统中常用元件的数学模型以及根据系统的组成列写系统的微分方程；根据微分方程求传递函数的方法；熟悉绘制结构图和信号流图的方法；熟悉由结构图和信号流图求取传递函数的方法－结构图和信号流图的等效变换－在结构图和信号流图上，用列方程的方法求传递函数－梅逊公式Sunday,April14,2024151第三章自动控制系统的时域分析Sunday,April14,2024152典型输入作用和时域性能指标一阶系统的瞬态响应二阶系统的瞬态响应高阶系统分析稳定性和代数稳定判据稳态误差分析本章主要内容Sunday,April14,2024153第一节典型输入作用和时域性能指标Sunday,April14,2024154什么是时域分析?

指控制系统在一定的输入信号作用下，根据输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、瞬态性能和稳态性能。

时域分析是一种在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观和准确的优点。由于系统的输出量的时域表达式是时间的函数，所以系统的输出量的时域表达式又称为系统的时间响应。系统输出量的时域表示可由微分方程得到，也可由传递函数得到。在初值为零时，可利用传递函数进行研究，用传递函数间接的评价系统的性能指标。

控制系统的性能指标，可以通过在输入信号作用下系统的瞬态和稳态过程来评价。系统的瞬态和稳态过程不仅取决于系统本身的特性，还与外加输入信号的形式有关。时域分析Sunday,April14,2024155典型初始状态这表明，在外作用加入系统之前系统是相对静止的，被控制量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零。典型初始状态:规定控制系统的初始状态均为零状态，即在时Sunday,April14,2024156典型输入作用脉冲函数：阶跃函数：A阶跃幅度，A=1称为单位阶跃函数，记为1（t）。

其拉氏变换后的像函数为：

斜坡函数（速度阶跃函数）：B=1时称为单位斜坡函数。

其拉氏变换后的像函数为：典型输入作用Sunday,April14,2024157典型输入作用[提示]：上述几种典型输入信号的关系如下：抛物线函数（加速度阶跃函数）：C=1时称为单位抛物线函数。

其拉氏变换后的像函数为：正弦函数：，式中，A为振幅，为频率。

其拉氏变换后的像函数为：Sunday,April14,2024158

分析系统特性究竟采用何种典型输入信号，取决于实际系统在正常工作情况下最常见的输入信号形式。当系统的输入具有突变性质时，可选择阶跃函数为典型输入信号；当系统的输入是随时间增长变化时，可选择斜坡函数为典型输入信号。讨论系统的时域性能指标时，通常选择单位阶跃信号作为典型输入信号。Sunday,April14,2024159典型响应典型响应：⒈单位脉冲函数响应：⒉单位阶跃函数响应：

⒊单位斜坡函数响应：⒋单位抛物线函数响应：[提示]：上述几种典型响应有如下关系：单位脉冲函数响应单位阶跃函数响应单位斜坡函数响应单位抛物线函数响应积分积分积分微分微分微分Sunday,April14,2024160线性微分方程的解时域分析以线性定常微分方程的解来讨论系统的特性和性能指标。设微分方程如下：式中，x(t)为输入信号，y(t)为输出信号。

我们知道，微分方程的解可表示为：，其中，为对应的齐次方程的通解，只与微分方程（系统本身的特性或系统的特征方程的根）有关。对于稳定的系统，当时间趋于无穷大时，通解趋于零。所以根据通解或特征方程的根可以分析系统的稳定性。

为特解，与微分方程和输入有关。一般来说，当时间趋于无穷大是特解趋于一个稳态的函数。线性微分方程的解Sunday,April14,2024161

系统达到稳态过程之前的过程称为瞬态过程。瞬态分析是分析瞬态过程中输出响应的各种运动特性。理论上说，只有当时间趋于无穷大时，才进入稳态过程，但这在工程上显然是无法进行的。在工程上只讨论输入作用加入一段时间里的瞬态过程，在这段时间里，反映了主要的瞬态性能指标。

综上所述，对于稳定的系统，对于一个有界的输入，当时间趋于无穷大时，微分方程的全解将趋于一个稳态的函数，使系统达到一个新的平衡状态。工程上称为进入稳态过程。线性微分方程的解某系统单位阶跃响应曲线如下：瞬态过程稳态过程瞬态过程稳态过程Sunday,April14,2024162瞬态过程的性能指标（衰减振荡）瞬态过程的性能指标（一）衰减振荡：具有衰减振荡的瞬态过程如图所示：瞬态过程的性能指标（衰减振荡）⒈延迟时间：输出响应第一次达到稳态值的50%所需的时间。⒉上升时间：输出响应第一次达到稳态值y(∞)所需的时间。或指由稳态值的10%上升到稳态值的90%所需的时间。

通常以阶跃响应来衡量系统控制性能的优劣和定义瞬态过程的时域性能指标。稳定的随动系统（不计扰动）的单位阶跃响应函数有衰减振荡和单调变化两种。Sunday,April14,2024163⒋最大超调量(简称超调量)：式中：—输出响应的最大值；—稳态值；瞬态过程的性能指标（衰减振荡）输出响应超过稳态值达到第一个峰值ymax所需要的时间。⒊峰值时间：瞬态过程中输出响应的最大值超过稳态值的百分数。⒌调节时间或过渡过程时间：当和之间的误差达到规定的范围之内［一般取的±5%或±2%，称允许误差范围，用D表示］且以后不再超出此范围的最小时间。即当，有：Sunday,April14,2024164瞬态过程的性能指标⒍振荡次数N：在上述几种性能指标中，表示瞬态过程进行的快慢，是快速性指标；而反映瞬态过程的振荡程度，是振荡性指标。其中和是两种最常用的性能指标。在调节时间内，y(t)偏离的振荡次数。Sunday,April14,2024165瞬态过程的性能指标（二）单调变化单调变化响应曲线如图所示：

这种系统就无需采用峰值时间和最大超调量这两个指标。此时最常用的是调节时间这一指标来表示瞬态过程的快速性。有时也采用上升时间这一指标。Sunday,April14,2024166主要是稳态误差。式中：e(t)=给定输入值-实际输出值（单位反馈）；E(s)是系统的偏差。稳态过程的性能指标稳态过程的性能指标对一个控制系统的要求系统应该是稳定的；系统达到稳态时，应满足给定的稳态误差的要求；系统在瞬态过程中应有好的快速性。简称为：稳、准、快对一个控制系统的要求Sunday,April14,2024167小结典型输入作用极其之间的关系典型响应及其之间的关系线性微分方程的解瞬态过程和稳态过程瞬态过程的性能指标(有衰减振荡和单调变化之分)稳态过程的性能指标(稳态误差)对一个控制系统的要求(稳、准、快)Sunday,April14,2024168第三节二阶系统的瞬态响应Sunday,April14,2024169一、典型二阶系统的数学模型

由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。它在控制工程中的应用极为广泛。许多高阶系统在一定的条件下，也可简化为二阶系统来研究。开环传递函数为:闭环传递函数为:-

称为典型二阶系统