自动控制原理课件

2024/4/141第1章绪论知识点 自动控制理论的发展简史 被控对象、被控量、控制装置和自动控制系统的基本概念 三种控制方式，特别是闭环控制 由系统工作原理图绘制方框图的方法，并能正确判别系统的控制方式 系统常用的分类方法及分类，各类系统的含义和信息特征 自动控制系统的基本要求2024/4/1421.1引言1.1.1自动控制技术及应用自动控制理论与实践的不断发展，为人们提供了设计最佳系统的方法，大大提高了生产率，同时促进了科学技术的进步。所谓自动控制，就是指在没有人直接参与的情况下，利用外加的设备（称为控制器）操作被控对象（如机器、设备或生产过程）的某个状态或参数（称为被控量）使其按预先设定的规律自动运行。如化工生产中合成氨反应塔内的温度和压力能够自动维持恒定不变，雷达跟踪和指挥仪所组成的防空系统能使火炮自动地瞄准目标，无人驾驶飞机能按预定轨道自动飞行，人造地球卫星能够发射到预定轨道并能准确回收等等，都是应用自动控制技术的结果。自动控制理论就是研究自动控制共同规律的技术科学，它的发展初期是以反馈理论为基础的自动调节原理，随着工业生产和科学技术的发展，现已发展成为一门独立的学科——控制论。控制论包括工程控制论、生物控制论和经济控制论。2024/4/143在科学技术飞速发展的今天，自动控制技术所起的作用越来越重要，无论是在宇宙飞船、导弹制导、雷达定位等尖端技术领域中，还是在机械制造工业、石油、化工、医药工业等的过程控制中，都有自动控制技术的应用，并且它所取得的成功都是巨大的。因此，自动控制技术已成为现代社会生活中不可缺少的重要组成部分。2024/4/1441.1.2自动控制理论的发展

随着生产的发展，控制技术也在不断地发展，尤其是计算机的更新换代，更加推动了控制理论不断地向前发展。控制理论的发展过程一般可分为三个阶段：（1）第一阶段。时间为本世纪40～60年代，称为“经典控制理论”时期。经典控制理论主要是解决单输入单输出问题，主要采用传递函数、频率特性、根轨迹为基础的频域分析方法。此阶段所研究的系统大多是线性定常系统，对非线性系统，分析时采用的相平面法一般也不超过两个变量，经典控制理论能够较好地解决生产过程中的单输入单输出问题。这一时期的主要代表人物有伯德（H.W.Bode1905～）和伊文思（W.R.Evans）。伯德于1945年提出了简便而实用的伯德图法。1948年，伊文思提出了直观而又形象的根轨迹法。2024/4/145（2）第二阶段。时间为本世纪60～70年代，称为“现代控制理论”时期。这个时期，由于计算机的飞速发展，推动了空间技术的发展。经典控制理论中的高阶常微分方程可转化为一阶微分方程组，用以描述系统的动态过程，即所谓状态空间法。这种方法可以解决多输入多输出问题，系统既可以是线性的、定常的，也可以是非线性的、时变的。这一时期的主要代表人物有庞特里亚金、贝尔曼（Bellman），及卡尔曼（R.E.Kalman，1930～）等人。庞特里亚金于1961年发表了极大值原理；贝尔曼在1957年提出了动态规化原则；1959年，卡尔曼和布西发表了关于线性滤波器和估计器的论文，即所谓著名的卡尔曼滤波。2024/4/146（3）第三阶段。时间为本世纪70年代末至今。70年代末，控制理论向着“大系统理论”和“智能控制”方向发展。前者是控制理论在广度上的开拓，后者是控制理论在深度上的挖掘。“大系统理论”是用控制和信息的观点，研究各种大系统的结构方案、总体设计中的分解方法和协调等问题的技术基础理论。而“智能控制”是研究与模拟人类智能活动及其控制与信息传递过程的规律，研究具有某些仿人智能的工程控制与信息处理系统。2024/4/1471.2自动控制技术中的基本控制方式（1）系统。即为达到某—目的，由相互制约的各个部分按—定规律组成的、具有一定功能的整体。（2）自动控制系统。指能够对被控对象的工作状态进行自动控制的系统，它一般由控制装置（控制器）和被控对象所组成。（3）控制装置。则是指对被控对象起控制作用的设备总体。（4）被控对象。是指要求实现自动控制的机器、设备或生产过程。例如，汽车、飞机、炼钢、化工生产的锅炉等。2024/4/148自动控制系统的性能，在很大程度上取决于系统中的控制器为了产生控制作用而必须接收的信息，这个信息有两个可能的来源：1）来自系统外部，即由系统输入端输入的参考输入信号。2）来自被控对象的输出端，即反映被控对象的行为或状态的信息。把从被控对象输出端获得的信息通过中间环节（称为反馈环节）再送回控制器的输入端的过程，称为反馈。传送反馈信息的载体，称为反馈信号。是否采用反馈，对控制系统的各个指标（即稳定性、快速性、准确性）影响很大。因此系统的基本控制方式也按有无反馈分为三大类：开环控制、闭环控制、复合控制。2024/4/1491.2.1开环控制开环控制是一种最简单的控制方式，其特点是在控制器与被控对象之间只有正向控制作用而没有反馈控制作用，即系统的输出量对控制量没有影响。开环控制系统的示意图如图1-1所示。图1-1开环控制系统2024/4/1410如图1-2所示，电动机拖动负载开环控制系统。图1-2电动机开环控制系统2024/4/14111.2.2闭环控制

闭环控制是指控制装置与被控对象之间既有正向作用，又有反向联系的控制过程，即如果控制器的信息来源中包含有来自被控对象输出的反馈信息，则称为闭环控制系统，或称为反馈控制系统，如图1-3所示。2024/4/1412图1-3闭环控制系统2024/4/1413在控制系统中，控制装置对被控对象所施加的控制作用，若能取自被控量（输出量）的反馈信息（反馈量），即根据实际输出来修正控制作用，实现对被控对象进行控制的任务，那么这种控制原理称为反馈控制原理。正是由于引入了反馈信息（反馈量），使整个控制过程成为闭合的，因此，按反馈控制原理建立起来的控制系统，叫做闭环控制系统。在闭环控制系统中，其控制作用的基础是被控量（输出量）与给定值之间的偏差，这个偏差是各种实际扰动所导致的总“后果”，它并不区分其中的个别原因。因此，这种系统往往同时能够抵制多种扰动，而且对系统自身元部件参数的波动也不甚敏感。2024/4/14141.2.3其他控制方式目前以反馈原理为基础的经典控制理论已经形成完整的理论体系并有了工程实现的方法。随着空间技术的发展，特别是电子计算机已作为自动控制系统的一个重要组成部分，现代控制理论亦日益显示出其强大的生命力，并在实践中得到成功的应用。在此基础上，一些其他的控制方式也已经在工业控制过程中得到了相应的应用，如最优控制、自适应控制和智能控制等现代高精度的自动控制系统，已在国防和工业生产中得以实现。下面对这些控制方式做简要的介绍。2024/4/14151．最优控制最优控制是要求控制系统实现对某种性能标准最好的控制，这种性能标准称为性能指标（也叫目标函数）。它通常要求优质、高产、低耗、高效率，一般是与时间、燃料消耗和能源供给等有关。例如，钢铁冶炼过程往往希望时间最短或燃料最省；远程飞机希望实现每单位体积燃料的最大飞行距离，以提高飞机的远航能力；人造卫星运载火箭希望实现燃料消耗最少等。其中最简单的一种是时间最优控制（即快速最优控制），它在自动化仪表、电机电压控制及轧钢机控制中得到广泛应用。2024/4/14162．随动控制系统随动控制系统的主要特点是输入给定信号的变化规律是事先不能确定的随机信号，这类系统的任务是使输出快速、准确地跟随给定信号的变化而变化，故称作随动控制系统。显然，由于输入在不断地变化，系统跟随性能就成为这类系统中要解决的主要矛盾，当然，系统的干扰也不能忽视，但与跟随性相比，应放在第二位来解决。2024/4/14173．程序控制系统程序控制系统与随动控制系统不同之处就是它的给定输入不是随机不可知，而是按事先预定的规律变化。这类系统往往适用于特定的生产工艺或工业过程，按所需要的控制给定输入，要求输出按预定的规律变化。设计这类系统比随动系统有针对性，由于变化规律已知，可根据要求事先选择方案，保证控制性能和精度。2024/4/14181.4.2按系统特性分类任何系统都是由各种元部件组成的。从控制理论的角度看，这些元部件的性能可用其输入输出特性来进行分析，根据系统中元部件的特性不同，可以将系统分为线性系统和非线性系统，在下面具体介绍。2024/4/14191．线性系统当系统中各元件输入输出特性是线性特性，系统的状态和性能以线性微分方程或差分方程来描述时，这种系统称为线性系统。所谓线性特性是指元件的静特性是一条过原点的直线，也称这样的元件为线性元件，因此，由线性元件组成的系统是线性系统。线性系统的一个突出的特点就是满足叠加定理，所以在判别系统是线性或非线性时，可运用叠加定理来判断。2024/4/14202．非线性系统系统中只要存在一个元件为非线性元件，系统的微分方程就由非线性方程来描述，这样的系统称为非线性系统。由于非线性系统的多样性，在数学上较难处理，叠加原理也不成立，研究起来也不方便，所以只有在一定条件下用近似分析的方法来处理。2024/4/14211.4.3按系统信号形式分类1．连续控制系统连续系统的特点是系统中各元件的输入信号和输出信号都是时间的连续函数，这类系统的运动状态是用微分方程来描述的。连续系统中各元件传输的信息在工程上称为模拟量，多数实际物理系统都属于这一类，其输入输出一般用和来表示。2024/4/14222．离散控制系统控制系统中只要存在一处的信号脉冲序列或数码时，该系统即为离散系统。这种系统的状态和性能一般用差分方程来描述，实际物理系统中，信息的表现形式为离散信号的并不多见，往往是控制上的需要，将连续系统离散化，即采样。采样过程通常是通过采样开关把连续的模拟量变为脉冲序列，这样的系统一般又称为采样控制系统。2024/4/14231.5自动控制系统的基本要求1.5.1稳定性一个控制系统能正常工作的首要条件是系统必须是稳定的，由于控制系统是具有反馈作用的闭环系统，因此，系统有可能趋向振荡或不稳定，不稳定的系统是无法工作的。稳定的控制系统在阶跃信号或扰动信号的作用下，其响应的暂态过程应该是收敛的。如果系统设计不当，则在阶跃信号下或扰动信号的作用下，相应的幅值振荡可能成为等幅振荡，甚至成为振幅逐渐增大的发散振荡，发生这种情况的系统称为不稳定系统。系统稳定性包括两个方面的含义。（1）系统稳定，称为绝对稳定，即通常所说的稳定性。（2）输出响应振荡的强烈程度，称为相对稳定性。例如系统是绝对稳定的，但是在阶跃信号作用下，响应振荡很强烈，而且振荡的衰减很慢，则该系统虽然属于稳定系统，但相对稳定性差。2024/4/14241.5.2快速性在实际控制过程中，不仅要求系统稳定，而且要求被控量能迅速按照输入信号所规定的形式变化，即要求系统具有一定的响应速度。由于系统中总包含一些惯性元件，因此在输入信号作用下，系统的响应总要经过暂态过程之后才能达到稳态。在控制系统的输出响应中，调整时间是直接反映系统响应快慢的一个指标，这将在后面第三章介绍。2024/4/14251.5.3准确性对于控制系统的准确性要求是控制系统设计中需要考虑的指标之一，要求系统准确性（稳态精度）高，一般采用稳态误差来表示。系统在输入信号的作用下，其响应经过暂态过程进入稳态后，系统的输出量与希望值之间的误差，称为稳态误差。2024/4/14261.6本课程的性质和任务《自动控制原理及应用》课程是电子信息类专业，特别是自动化专业的一门专业基础课，该课程是为学生建立系统观点、掌握控制原理的一门必修课程。本门课程的前续课程是：高等数学、电工基础、工程数学等，在学习了以上内容以后进入本门课程的学习。本门课程一共包括8章，前面7章主要介绍经典控制理论的内容，第8章介绍现代控制理论的基本概念。在前面7章中，主要介绍经典控制理论的主要分析方法：数学模型的建立、时域分析法、根轨迹分析法、频率分析法、控制系统的综合与校正、采样控制系统基础；第8章主要介绍现代控制理论的相关内容。Sunday,April14,202427

第二章控制系统的数学模型Sunday,April14,202428知识点系统微分方程的建立方法

Laplace变换的定义及性质传递函数的定义及性质控制系统中的典型环节及传递函数的数学模型动态结构图的建立方法及简化准确求取系统的传递函数自动控制系统中微分方程、传递函数、动态结构图之间的关系及相互转换Sunday,April14,2024292.1微分方程[数学模型]：描述控制系统变量（物理量）之间动态关系的数学表达式。常用的数学模型有微分方程，传递函数，结构图，信号流图，频率特性以及状态空间描述等。

例如对一个微分方程，若已知初值和输入值，对微分方程求解，就可以得出输出量的时域表达式。据此可对系统进行分析。所以建立控制系统的数学模型是对系统进行分析的第一步也是最重要的一步。

控制系统如按照数学模型分类的话，可以分为线性和非线性系统，定常系统和时变系统。概述Sunday,April14,202430[线性系统]：如果系统满足叠加原理，则称其为线性系统。叠加原理说明，两个不同的作用函数同时作用于系统的响应，等于两个作用函数单独作用的响应之和。

线性系统对几个输入量同时作用的响应可以一个一个地处理，然后对每一个输入量响应的结果进行叠加。[线性定常系统和线性时变系统]：可以用线性定常（常系数）微分方程描述的系统称为线性定常系统。如果描述系统的微分方程的系数是时间的函数，则这类系统为线性时变系统。

宇宙飞船控制系统就是时变控制的一个例子（宇宙飞船的质量随着燃料的消耗而变化）。概述Sunday,April14,202431

古典控制理论中（我们所正在学习的），采用的是单输入单输出描述方法。主要是针对线性定常系统，对于非线性系统和时变系统，解决问题的能力是极其有限的。[非线性系统]：如果不能应用叠加原理，则系统是非线性的。

下面是非线性系统的一些例子：概述Sunday,April14,202432第一节控制系统的微分方程Sunday,April14,202433

微分方程的编写应根据组成系统各元件工作过程中所遵循的物理定理来进行。例如：电路中的基尔霍夫电路定理，力学中的牛顿定理，热力学中的热力学定理等。控制系统的微分方程Sunday,April14,202434控制系统的微分方程由②：，代入①得：这是一个线性定常二阶微分方程。①②[解]：据基尔霍夫电路定理：输入输出LRCi[例2-1]：写出RLC串联电路的微分方程。Sunday,April14,202435[例2-2]求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。输入量为外力F，输出量为位移x。[解]：图1和图2分别为系统原理结构图和质量块受力分析图。图中，m为质量，f为粘性阻尼系数，k为弹性系数。mfmFF图2图1根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下：这也是一个两阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。在国际单位制中，m,f和k的单位分别为：控制系统的微分方程Sunday,April14,202436[例2-3]电枢控制式直流电动机这里输入是电枢电压ua和等效到电机转轴上的负载转矩Mc，输出是转速w

电枢回路方程为

其中ea

为反电势此时激磁电流为常数，所以Ce称为电动机电势常数

Cm称为电动机转矩常数，再根据牛顿定律可得机械转动方程电机通电后产生转矩控制系统的微分方程Sunday,April14,202437其中和分别称为电磁时间常数和机电时间常数整理得分别是转速与电压传递系数和转速与负载和传递系数。这里已略去摩擦力和扭转弹性力。控制系统的微分方程Sunday,April14,202438[需要讨论的几个问题]：1、相似系统和相似量：我们注意到例2-1和例2-2的微分方程形式是完全一样的。这是因为：若令（电荷），则例2-1①式的结果变为：可见，同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型。相似系统和相似量[定义]具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。例2-1和例2-2称为力-电荷相似系统，在此系统中分别与为相似量。[作用]利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟相对复杂的系统，实现仿真研究。Sunday,April14,2024392、非线性元件（环节）微分方程的线性化在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该系统为线性定常系统，其最重要的特性便是可以应用线性叠加原理，即系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠加得到。非线性环节微分方程的线性化Sunday,April14,202440

若描述系统的数学模型是非线性（微分）方程，则相应的系统称为非线性系统，这种系统不能用线性叠加原理。在经典控制领域对非线性环节的处理能力是很小的。但在工程应用中，除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大的情况，一般采用近似的线性化方法。对于非线性方程，可在工作点附近用泰勒级数展开，取前面的线性项。可以得到等效的线性环节。

设具有连续变化的非线性函数为:y=f(x)，若取某一平衡状态为工作点，如下图中的。A点附近有点为，当很小时，AB段可近似看做线性的。非线性环节微分方程的线性化AByx0Sunday,April14,202441AByx0设f(x)在点连续可微，则将函数在该点展开为泰勒级数，得：若很小，则，即式中，K为与工作点有关的常数，显然，上式是线性方程，是非线性方程的线性表示。为了保证近似的精度，只能在工作点附近展开。非线性环节微分方程的线性化Sunday,April14,202442对于具有两个自变量的非线性方程，也可以在静态工作点附近展开。设双变量非线性方程为：，工作点为。则可近似为：式中：，。 为与工作点有关的常数。阅读教材例[2-5]求液压伺服油缸的线性化数学模型。[注意]：⑴上述非线性环节不是指典型的非线性特性（如间隙、库仑干摩擦、饱和特性等），它是可以用泰勒级数展开的。⑵实际的工作情况在工作点附近。⑶变量的变化必须是小范围的。其近似程度与工作点附近的非线性情况及变量变化范围有关。非线性环节微分方程的线性化Sunday,April14,202443[例2-4]：倒立摆系统非线性环节微分方程的线性化

该系统由小车和安装在小车上的倒立摆构成。倒立摆是不稳定的，如果没有适当的控制力作用到它上面，它将随时可能向任何方向倾倒。这里我们只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图所在的平面内运动。若有合适的控制力u作用于小车上可使摆杆维持直立不倒。这实际是一个空间起飞助推器的姿态控制模型(姿态控制问题的目的是要把空间助推器保持在垂直位置)。设小车和摆杆的质量分别为M和m，摆杆长为，且重心位于几何中点处，小车距参考坐标的位置为，摆杆与铅垂线的夹角为，摆杆重心的水平位置为，垂直位置为

Sunday,April14,202444画出倒立摆系统隔离体受力图非线性环节微分方程的线性化设摆杆和小车结合部的水平反力和垂直反力为H和V，略去摆杆与小车、小车与地面的摩擦力。可得方程如下：

⒈摆杆围绕其重心的转动运动⑴

式中J为摆杆围绕其重心的转动惯量，为垂直力关于其重心的力矩，为水平力关于其重心的力矩。

⒉摆杆重心的水平运动 ⑵

⒊摆杆重心的垂直运动 ⑶

⒋小车的水平运动 ⑷

Sunday,April14,202445因为在这些方程中包含和，所以它们是非线性方程。

非线性环节微分方程的线性化若假设角度很小，则和。可得下列线性化方程：

⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻由⑹和⑻可得 ⑼由⑸、⑺和⑻得 ⑽

当忽略转动惯量J时当考虑转动惯量时Sunday,April14,2024463.线性系统微分方程的编写步骤：⑴确定系统和各元部件的输入量和输出量。⑵对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的物理的方程。⑶对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小的次要因素，对非线性元部件进行线性化等。⑷从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，在所有元部件的方程中消去中间变量，最后得到描述系统输入和输出关系的微分方程。线性系统微分方程的编写步骤Sunday,April14,202447[例2-6]：编写下图所示的速度控制系统的微分方程。负载-+-+

功率放大器测速发电机[解]：⑴该系统的组成和原理；⑵该系统的输出量是，输入量是，扰动量是线性系统微分方程的编写例子[例2-6]Sunday,April14,202448线性系统微分方程的编写例子[例2-6]⑸消去中间变量：推出之间的关系：显然，转速既与输入量有关，也与干扰有关。⑷各环节微分方程：运放Ⅰ：，运放Ⅱ：功率放大：，反馈环节：电动机环节：见例2-4测速-运放Ⅰ运放Ⅱ功放电动机⑶速度控制系统方块图：Sunday,April14,202449线性系统微分方程的编写例子[例2-6]⑴对于恒值调速系统，=常量，则。转速的变化仅由负载干扰引起。增量表达式如下：⑵对于随动系统，则=常数，，故：根据上式可以讨论输出转速跟随给定输入电压的变化情况。⑶若和都是变化的，则对于线性系统应用叠加原理分别讨论两种输入作用引起的转速变化，然后相加。[增量式分析](上式等号两端取增量)：Sunday,April14,202450①定义：如果有一个以时间t为自变量的函数f(t)，它的定义域t>0，那么下式即是拉氏变换式：

,式中s为复数。记作一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是：⑴t<0时，f(t)=0；⑵t≥0时，f(t)分段连续；⑶。F(s)—象函数，f(t)—原函数。记为反拉氏变换。复习拉氏变换4、复习拉氏变换Sunday,April14,202451⑴线性性质：⑵微分定理：⑶积分定理：（设初值为零）⑷时滞定理：⑸初值定理：复习拉氏变换②性质：Sunday,April14,202452⑹终值定理：⑺卷积定理：③常用函数的拉氏变换：单位阶跃函数：单位脉冲函数：单位斜坡函数：单位抛物线函数：正弦函数：其他函数可以查阅相关表格获得。复习拉氏变换Sunday,April14,2024535、线性方程的求解：研究控制系统在一定的输入作用下，输出量的变化情况。方法有经典法，拉氏变换法和数字求解。在自动系统理论中主要使用拉氏变换法。[拉氏变换求微分方程解的步骤]：①对微分方程两端进行拉氏变换，将时域方程转换为s域的代数方程。②求拉氏反变换，求得输出函数的时域解。线性方程的求解Sunday,April14,202454[例子]求[例2-6]速度控制系统微分方程的解。假设没有负载干扰，并且各项初值均为零。[解]速度控制系统微分方程为：对上式各项进行拉氏变换，得：即：当输入已知时，求上式的拉氏反变换，即可求得输出的时域解。线性方程的求解（例子）Sunday,April14,202455小结系统微分方程的列写；相似量、相似系统，非线性环节的线性化；线性方程的求解（用拉氏变换法）；拉氏变换及性质。4/14/20247:17:51PM562.2Laplace变换基础控制系统的微分方程，是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以得到系统的输出响应，这种方法比较直观，尤其是借助于电子计算机，可迅速而准确地求解结果。但是，如果系统中某个参数变化或者结构形式改变，则需要重新列写并求解微分方程，不便于对系统进行分析与设计。用拉氏变换将线性常微分方程转化为易处理的代数方程，可以得到系统在复数域中的数学模型，称为传递函数。它不仅可以表征系统动态特性，而且可以研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。经典控制理论广泛应用的频率法和根轨迹法，就是在传递函数基础上建立起来的。因此，拉氏变换成为自动控制理论的数学基础。4/14/20247:17:51PM572.2.1拉氏变换的概念若将实变量t的函数f(t)，乘以指数函数e-st（其中s=σ+jω，是一个复变数），再在0到∞之间对t进行积分，就得到一个新的函数F(s)。F(s)称为f(t)的拉氏变换，可用符号L[f(t)]表示。4/14/20247:17:51PM582.2.2常用函数的拉氏变换实用中，常把原函数与象函数之间的对应关系列成对照表的形式。通过查表，就能够知道原函数的象函数，或象函数的原函数，常用函数的拉氏变换的对照表如表2-1所示。4/14/20247:17:51PM592.2.3拉氏变换的基本定理（1）线性定理。两个函数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的和，即：（2-26）函数放大倍的拉氏变换等于函数拉氏变换的倍，即：（2-27）（2）微分定理。函数求导的拉氏变换，等于函数拉氏变换乘以的求导次幂（初始条件需为零）。即当初始条件时，。同理，若初始条件为：（2-28）4/14/20247:17:51PM602.3传递函数4/14/20247:17:51PM61

传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之一。利用传递函数，可以：

不必求解微分方程就可以研究零初始条件系统在输入作用下的动态过程。

了解系统参数或结构变化时系统动态过程的影响--分析

可以对系统性能的要求转化为对传递函数的要求---综合传递函数的基本概念4/14/20247:17:51PM62一、传递函数的基本概念将上式求拉氏变化，得(令初始值为零）当传递函数和输入已知时Y(s)=G(s)X(s)。通过反变换可求出时域表达式y(t)。传递函数的基本概念传递函数的定义：线性定常系统在零初始条件下输出量的拉氏变换与输出量的拉氏变换之比。称为环节的传递函数式中：x（t）—输入，y（t）—输出为常系数设系统或元件的微分方程为：4/14/20247:17:51PM63[关于传递函数的几点说明]传递函数的概念适用于线性定常系统，它与线性常系数微分方程一一对应。且与系统的动态特性一一对应。传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数。而研究某传递函数所得结论可适用于具有这种传递函数的各种系统。传递函数仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入无关。只反映了输入和输出之间的关系，不反映中间变量的关系。传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统。若系统有多个输入信号，在求传递函数时，除了一个有关的输入外，其它的输入量一概视为零。传递函数忽略了初始条件的影响。传递函数传递函数是s的有理分式，对实际系统而言分母的阶次n大于分子的阶次m，此时称为n阶系统。传递函数的基本概念4/14/20247:17:51PM64传递函数的基本概念例１[例1]求电枢控制式直流电动机的传递函数。[解]已知电枢控制式直流电动机的微分方程为：方程两边求拉氏变换为：令，得转速对电枢电压的传递函数：令，得转速对负载力矩的传递函数：最后利用叠加原理得转速表示为：4/14/20247:17:51PM65传递函数的基本概念例2[例2]求下图的传递函数：4/14/20247:17:51PM66传递函数的基本概念例2[例2]求下图的传递函数：4/14/20247:17:51PM67传递函数的表现形式[传递函数的几种表达形式]：表示为有理分式形式：式中：—为实常数，一般n≥m上式称为n阶传递函数，相应的系统为n阶系统。表示成零点、极点形式：式中：称为传递函数的零点，称为传递函数的极点。—传递系数4/14/20247:17:51PM68传递函数的表现形式写成时间常数形式：分别称为时间常数，K称为放大系数显然：，若零点或极点为共轭复数，则一般用2阶项来表示。若为共轭复极点，则：或其系数由或求得；4/14/20247:17:51PM69若有零值极点，则传递函数的通式可以写成：传递函数的表现形式

从上式可以看出：传递函数是一些基本因子的乘积。这些基本因子就是典型环节所对应的传递函数，是一些最简单、最基本的一些形式。式中：或：4/14/20247:17:51PM70比例环节二、典型环节及其传递函数

典型环节有比例、积分、惯性、振荡、微分和延迟环节等多种。以下分别讨论典型环节的时域特征和复域（s域）特征。时域特征包括微分方程和单位阶跃输入下的输出响应。s域特性研究系统的零极点分布。

比例环节又称为放大环节。k为放大系数。实例：分压器，放大器，无间隙无变形齿轮传动等。（一）比例环节：时域方程：传递函数：4/14/20247:17:51PM71积分环节

有一个0值极点。在图中极点用“”表示，零点用“”表示。K表示比例系数，T称为时间常数。（二）积分环节：时域方程：传递函数：0S平面j04/14/20247:17:51PM72积分环节实例积分环节实例：①RC图中，为转角，为角速度。可见，为比例环节， 为积分环节。②电动机（忽略惯性和摩擦）齿轮组4/14/20247:17:51PM73（三）惯性环节时域方程：传递函数：当输入为单位阶跃函数时,有，可解得： ，式中：k为放大系数，T为时间常数。当k=1时，输入为单位阶跃函数时,时域响应曲线和零极点分布图如下：通过原点的斜率为1/T，且只有一个极点（-1/T）。1yt00.632T通过原点切线斜率为1/TjRe0S平面惯性环节4/14/20247:17:51PM74求单位阶跃输入的输出响应：

可见，y(t)是非周期单调升的，所以惯性环节又叫作非周期环节。惯性环节的单位阶跃响应4/14/20247:17:51PM75①R2C-+R1而R②C两个实例：惯性环节实例4/14/20247:17:51PM76振荡环节（四）振荡环节：时域方程：传递函数：上述传递函数有两种情况：当时，可分为两个惯性环节相乘。即：传递函数有两个实数极点：4/14/20247:17:51PM77振荡环节分析y(t)t0单位阶跃响应曲线极点分布图[分析]：y(t)的上升过程是振幅按指数曲线衰减的的正弦运动。与有关。反映系统的阻尼程度，称为阻尼系数，称为无阻尼振荡圆频率。当时，曲线单调升，无振荡。当时，曲线衰减振荡。越小，振荡越厉害。若，传递函数有一对共轭复数。还可以写成：设输入为：则4/14/20247:17:51PM78解：当时，有一对共轭复数极点。所以：解得：[例]：求质量-弹簧-阻尼系统的和。（见例2-2，p11）振荡环节例子4/14/20247:17:51PM79微分环节（五）微分环节：微分环节的时域形式有三种形式：①②③相应的传递函数为：①②③分别称为：纯微分，一阶微分和二阶微分环节。微分环节没有极点，只有零点。分别是零、实数和一对共轭零点（若）。在实际系统中，由于存在惯性，单纯的微分环节是不存在的，一般都是微分环节加惯性环节。4/14/20247:17:51PM80式中：y(t)x(t)R1R2C[实例]微分环节实例4/14/20247:17:51PM81延迟环节（六）延迟环节：又称时滞，时延环节。它的输出是经过一个延迟时间后，完全复现输入信号。如右图所示。其传递函数为：延迟环节是一个非线性的超越函数，所以有延迟的系统是很难分析和控制的。为简单起见，化简如下：或x(t)ty(t)t4/14/20247:17:51PM82（七）其他环节：还有一些环节如等，它们的极点在s平面的右半平面，我们以后会看到，这种环节是不稳定的。称为不稳定环节。其他环节4/14/20247:17:51PM83小结传递函数的基本概念；传递函数的列写（由微分方程和系统原理图出发）；典型环节及其传递函数（单位阶跃响应及其零极点分布）。Sunday,April14,2024842.4典例环节及传递函数Sunday,April14,202485结构图的基本概念一、结构图的基本概念：

我们可以用结构图表示系统的组成和信号流向。在引入传递函数后，可以把环节的传递函数标在结构图的方块里，并把输入量和输出量用拉氏变换表示。这时Y(s)=G(s)X(s)的关系可以在结构图中体现出来。[定义]：表示变量之间数学关系的方块图称为函数结构图或方块图。X(t)Y(t)电位器[例]：结构：结构图：微分方程：y(t)=kx(t)

若已知系统的组成和各部分的传递函数，则可以画出各个部分的结构图并连成整个系统的结构图。X(s)G(s)=KY(s)Sunday,April14,202486结构图的基本概念[例2-10].求例2-6所示的速度控制系统的结构图。各部分传递函数见例2-8，罗列如下：比较环节：运放Ⅰ：运放Ⅱ：功放环节：Sunday,April14,202487

将上面几部分按照逻辑连接起来，形成下页所示的完整结构图。反馈环节：返回例2-8电动机环节：-Sunday,April14,202488

在结构图中，不仅能反映系统的组成和信号流向，还能表示信号传递过程中的数学关系。系统结构图也是系统的数学模型，是复域的数学模型。结构图的基本概念-Sunday,April14,202489结构图的等效变换二、结构图的等效变换：[定义]：在结构图上进行数学方程的运算。[类型]：①环节的合并；

--串联

--并联

--反馈连接

②信号分支点或相加点的移动。[原则]：变换前后环节的数学关系保持不变。Sunday,April14,202490（一）环节的合并：有串联、并联和反馈三种形式。

环节的并联：

反馈联接：环节的合并

环节的串联：…Sunday,April14,202491（二）信号相加点和分支点的移动和互换：

如果上述三种连接交叉在一起而无法化简，则要考虑移动某些信号的相加点和分支点。①信号相加点的移动：把相加点从环节的输入端移到输出端信号相加点的移动Sunday,April14,202492信号相加点的移动和互换

把相加点从环节的输出端移到输入端：Sunday,April14,202493②信号分支点的移动：分支点从环节的输入端移到输出端信号分支点的移动和互换Sunday,April14,202494信号相加点和分支点的移动和互换

分支点从环节的输出端移到输入端：[注意]：相临的信号相加点位置可以互换；见下例Sunday,April14,202495信号相加点和分支点的移动和互换

同一信号的分支点位置可以互换：见下例

相加点和分支点在一般情况下，不能互换。常用的结构图等效变换见表2-1

所以，一般情况下，相加点向相加点移动，分支点向分支点移动。Sunday,April14,202496结构图等效变换例子||例2-11[例2-11]利用结构图等效变换讨论两级RC串联电路的传递函数。[解]：不能把左图简单地看成两个RC电路的串联,有负载效应。根据电路定理，有以下式子：---Sunday,April14,202497结构图等效变换例子||例2-11总的结构图如下：

为了求出总的传递函数，需要进行适当的等效变换。一个可能的变换过程如下：-----①--②Sunday,April14,202498结构图等效变换例子||例2-11--③-④Sunday,April14,202499结构图等效变换例子||例2-12[解]：结构图等效变换如下：[例2-12]系统结构图如下，求传递函数。-+相加点移动-+①Sunday,April14,2024100-+②结构图等效变换例子||例2-12Sunday,April14,2024101闭环系统的传递函数三、闭环系统的传递函数：

闭环控制系统（也称反馈控制系统）的典型结构图如下图所示：-+

图中，，为输入、输出信号，为系统的偏差，为系统的扰动量，这是不希望的输入量。由于传递函数只能处理单输入、单输出系统，因此，我们分别求 对和对的传递函数，然后叠加得出总的输出量。Sunday,April14,2024102给定输入作用下的闭环系统的传递函数（一）给定输入作用下的闭环系统：令，则有：-输出量为：上式中，称为前向通道传递函数，前向通道指从输入端到输出端沿信号传送方向的通道。前向通道和反馈通道的乘积称为开环传递函数。含义是主反馈通道断开时从输入信号到反馈信号之间的传递函数。Sunday,April14,2024103又若单位反馈系统H(s)=1，则有：开环传递函数=前向通道传递函数。系统的偏差E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)就是系统误差。系统偏差传递函数：-给定输入作用下的闭环系统的传递函数Sunday,April14,2024104扰动输入作用下的闭环系统的传递函数（二）扰动作用下的闭环系统：此时R(s)=0,结构图如下：输出对扰动的传递函数为：输出为：一般要求由扰动量产生的输出量应为零。系统的误差为-C(s),偏差E(s)=0-B(s)=-H(s)C(s)，扰动作用下偏差传递函数为：-+Sunday,April14,2024105给定输入和扰动输入作用下的闭环系统的传递函数(三）给定输入和扰动输入同时作用下的闭环系统根据线性迭加原理：输出：偏差：[提示]：各个传递函数都具有相同的分母，分母称为控制系统的特征表达式。Sunday,April14,20241062.5、2.6动态结构图的等效变换结构图的概念和绘制方法；结构图的等效变换（环节的合并和分支点、相加点的移动）；闭环系统的传递函数（给定作用和扰动作用共同下）；特征表达式（特征方程）。作业：2-8，2-9，2-11Sunday,April14,20241072.3、2.4、2.5动态结构图Sunday,April14,2024108结构图的基本概念一、结构图的基本概念：

我们可以用结构图表示系统的组成和信号流向。在引入传递函数后，可以把环节的传递函数标在结构图的方块里，并把输入量和输出量用拉氏变换表示。这时Y(s)=G(s)X(s)的关系可以在结构图中体现出来。[定义]：表示变量之间数学关系的方块图称为函数结构图或方块图。X(t)Y(t)电位器[例]：结构：结构图：微分方程：y(t)=kx(t)

若已知系统的组成和各部分的传递函数，则可以画出各个部分的结构图并连成整个系统的结构图。X(s)G(s)=KY(s)Sunday,April14,2024109结构图的基本概念[例2-10].求例2-6所示的速度控制系统的结构图。各部分传递函数见例2-8，罗列如下：比较环节：运放Ⅰ：运放Ⅱ：功放环节：Sunday,April14,2024110

将上面几部分按照逻辑连接起来，形成下页所示的完整结构图。反馈环节：返回例2-8电动机环节：-Sunday,April14,2024111

在结构图中，不仅能反映系统的组成和信号流向，还能表示信号传递过程中的数学关系。系统结构图也是系统的数学模型，是复域的数学模型。结构图的基本概念-Sunday,April14,2024112结构图的等效变换二、结构图的等效变换：[定义]：在结构图上进行数学方程的运算。[类型]：①环节的合并；

--串联

--并联

--反馈连接

②信号分支点或相加点的移动。[原则]：变换前后环节的数学关系保持不变。Sunday,April14,2024113（一）环节的合并：有串联、并联和反馈三种形式。

环节的并联：

反馈联接：环节的合并

环节的串联：…Sunday,April14,2024114（二）信号相加点和分支点的移动和互换：

如果上述三种连接交叉在一起而无法化简，则要考虑移动某些信号的相加点和分支点。①信号相加点的移动：把相加点从环节的输入端移到输出端信号相加点的移动Sunday,April14,2024115信号相加点的移动和互换

把相加点从环节的输出端移到输入端：Sunday,April14,2024116②信号分支点的移动：分支点从环节的输入端移到输出端信号分支点的移动和互换Sunday,April14,2024117信号相加点和分支点的移动和互换

分支点从环节的输出端移到输入端：[注意]：相临的信号相加点位置可以互换；见下例Sunday,April14,2024118信号相加点和分支点的移动和互换

同一信号的分支点位置可以互换：见下例

相加点和分支点在一般情况下，不能互换。常用的结构图等效变换见表2-1

所以，一般情况下，相加点向相加点移动，分支点向分支点移动。Sunday,April14,2024119结构图等效变换例子||例2-11[例2-11]利用结构图等效变换讨论两级RC串联电路的传递函数。[解]：不能把左图简单地看成两个RC电路的串联,有负载效应。根据电路定理，有以下式子：---Sunday,April14,2024120结构图等效变换例子||例2-11总的结构图如下：

为了求出总的传递函数，需要进行适当的等效变换。一个可能的变换过程如下：-----①--②Sunday,April14,2024121结构图等效变换例子||例2-11--③-④Sunday,April14,2024122结构图等效变换例子||例2-12[解]：结构图等效变换如下：[例2-12]系统结构图如下，求传递函数。-+相加点移动-+①Sunday,April14,2024123-+②结构图等效变换例子||例2-12Sunday,April14,2024124结构图等效变换例2[例2]系统结构图如下，求传递函数。Sunday,April14,2024125结构图等效变换例2Sunday,April14,2024126结构图等效变换例2Sunday,April14,2024127结构图等效变换例2Sunday,April14,2024128闭环系统的传递函数三、闭环系统的传递函数：

闭环控制系统（也称反馈控制系统）的典型结构图如下图所示：-+

图中，，为输入、输出信号，为系统的偏差，为系统的扰动量，这是不希望的输入量。由于传递函数只能处理单输入、单输出系统，因此，我们分别求 对和对的传递函数，然后叠加得出总的输出量。Sunday,April14,2024129给定输入作用下的闭环系统的传递函数（一）给定输入作用下的闭环系统：令，则有：-输出量为：上式中，称为前向通道传递函数，前向通道指从输入端到输出端沿信号传送方向的通道。前向通道和反馈通道的乘积称为开环传递函数。含义是主反馈通道断开时从输入信号到反馈信号之间的传递函数。Sunday,April14,2024130又若单位反馈系统H(s)=1，则有：开环传递函数=前向通道传递函数。系统的偏差E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)就是系统误差。系统偏差传递函数：-给定输入作用下的闭环系统的传递函数Sunday,April14,2024131扰动输入作用下的闭环系统的传递函数（二）扰动作用下的闭环系统：此时R(s)=0,结构图如下：输出对扰动的传递函数为：输出为：一般要求由扰动量产生的输出量应为零。系统的误差为-C(s),偏差E(s)=0-B(s)=-H(s)C(s)，扰动作用下偏差传递函数为：-+Sunday,April14,2024132给定输入和扰动输入作用下的闭环系统的传递函数(三）给定输入和扰动输入同时作用下的闭环系统根据线性迭加原理：输出：偏差：[提示]：各个传递函数都具有相同的分母，分母称为控制系统的特征表达式。Sunday,April14,2024133小结结构图的概念和绘制方法；结构图的等效变换（环节的合并和分支点、相加点的移动）；闭环系统的传递函数（给定作用和扰动作用共同下）；特征表达式（特征方程）。Sunday,April14,20241342.6动态结构图的等效变换Sunday,April14,20241352.6.1动态结构图的等效变换法则

动态结构图的等效变换是利用方框图进行数学运算，并对方框图进行变换和简化。对于复杂的系统结构图，其方框图之间的连接可能是错综复杂的，但都是从三种最基本的连接方式演变出来的。这就是结构图等效变换中的环节合并，另一类是引出点或相加点的移动，在下面的内容中具体介绍。1．给定输入信号作用下系统的闭环传递函数

（1）串联环节的合并。相互间无负载效应的环节串联，如图2-23所示，即前一个环节的输出是后一个环节的输入，各环节依次连接。Sunday,April14,2024136U(s)R(s)C(s)G1(s)G2(s)C(s)R(s)G1(s)G2(s)

（a）

（b）

图2-23串联连接由图2-23（a）图可知：消去中间变量，可得：

则等效传递函数为：Sunday,April14,2024137（2-54）

由此，我们可以得知，两个或两个以上环节串联（相互间无负载效应的影响），其等效传递函数等于各个环节传递函数的乘积。（2）并联环节的合并。并联各环节有相同的输入量，而输出量等于各环节输出量之代数和，如图2-24所示。R(s)G1(s)G2(s)C1(s)C2(s)C(s)±R(s)G1(s)±G1(s)C(s)

（a）（b）图2-24并联连接Sunday,April14,2024138由图2-24（a）可知：消去中间变量、可得：则等效传递函数为：

（2-55）由此可知，两个或两个以上的环节并联，其等效传递函数为各个环节传递函数的代数和。Sunday,April14,2024139（3）反馈连接。连接形式是两个方框反向并联，如图2-25所示，相加点处做加法时为正反馈，做减时为负反馈。R(s)E(s)B(s)C(s)H(s)G(s)±R(s)C(s)C(s)1G(s)H(s)

（a）（b）图2-25反馈连接由图2-25（a）可知：Sunday,April14,2024140消去中间变量、可得等效传递函数为：G(S)（2-56）2．分支点（或引出点）的移动

在前面，我们介绍了环节的合并，接下来介绍分支点（或引出点）的移动，其具体的法则如下：（1）分支点前移。分支点前移的等效变换法则是：乘C分支点所经过的传递函数。如图2-26所示。Sunday,April14,2024141RCCCCRG(s)前移G(s)G(s)图2-26分支点前移（2）分支点后移分支点后移的等效变换法则是：除以分支点所经过的传递函数。如图2-27所示。

CRRG(s)G(s)后移R1G(s)RC图2-27分支点后移

Sunday,April14,20241423．相加点移动

在前面，我们介绍了分支点（或引出点）的移动，接下来介绍相加点的移动，其具体的法则如下：（1）相加点前移。相加点前移等效变换法则：除以相加点所经过的传递函数。如图2-28所示。RG(s)前移X±C±G(s)1G(s)XCR图2-28相加点前移Sunday,April14,2024143（2）相加点后移。相加点后移等效变换法则：乘以相加点所经过的传递函数。如图2-29所示。后移RG(s)CX±G(s)G(s)±XCR图2-29相加点后移2.6.2动态结构图的等效变换举例

Sunday,April14,2024144

例2.7：图2-30网络的动态结构图如图2-31（a）。图中有方框的并联连接、串联连接和反馈连接，对结构图进行等效变换，求出网络的传递函数。R1C+R2uruC+--图2-30RC网络

解：首先用并联连接将2-31（a）变换为（b）；再用串联连接法则将结构图等效为典型的单回路结构（见图（c））；最后用反馈法则将图（c）等效为图（d）。Sunday,April14,2024145方框内是网络的传递函数，，，则网络的传递函数为：，即为所求。GsurucR2-1R2GsurucR2-1R2

（a）（b）Sunday,April14,2024146uruc-ucur

（a）（b）图2-31RC网络动态结构图例2.8：系统结构图如图2-32所示，求传递函数。G1G2G3H1H2H3R(s)---C(s)图2-32系统结构图

Sunday,April14,2024147解：由图2-32可得图2-33化简动态结构图：经过化简，得到传递函数为：

由上面的例子，我们可以总结出简化结构图的步骤：（1）确定系统的输入量和输出量。如果系统有多个输入量，每次只保留一个输入量，令其他输入量为零，分别对每个输入量进行结构图简化，求得有关的传递函数。对于有多个输出量的系统，也应该按类似的方法分别处理。（2）如果结构图中有交叉连接，应移动某些引出点或相加点，将交叉点连接消除。（3）对于多回路无交叉连接的结构图，应从内回路开始，由里向外进行变换，直至将结构图变为一个等效的方框，得到所求的传递函数。Sunday,April14,2024148H3G1R(s)-H1G2G3H2C(s)1G3--1G3（a）

G1H3R(s)-G2H3--H1G3H1G3C(s)（b）Sunday,April14,2024149G1R(s)-G1G31+G2G3H3+G2G2H1G3C(s)图2-33化简动态结构图的步骤Sunday,April14,20241502.7自动控制系统的传递函数Sunday,April14,2024151脉冲函数2.7.1闭环控制系统的开环传递函数

自动控制系统一般受到两类输入信号作用，一类是对系统有用的信号，或称给定信号；另一类信号是扰动信号，或称干扰信号。给定信号通常加在控制装置的输入端；干扰信号一般作用在被控对象上，也可能出现在其他元部件上，甚至可能混杂在输入信号中。一个系统往往有多个扰动信号，但是一般只考虑其中最主要的。在下面的内容中，主要介绍自动控制系统中常用的传递函数。如图2-34所示，闭环控制系统典型结构图。在该结构图中，从输入信号到输出信号之间的通道，称为前向通道；从输出信号到反馈信号之间的通道，称为反馈通道。Sunday,April14,2024152

将图2-34所示方框的输出信号线断开，即断开系统的反馈通道。这时反馈信号与输入信号之比，称为系统的开环传递函数。（2-57）

即系统的开环传递函数等于前向通道传递函数与反馈通道传递函数的乘积。Sunday,April14,2024153G1(s)R(s)-B(s)N(s)C(s)G2(s)H(s)-图2-34闭环控制系统结构图例2.9：求例2.7所求得的系统的动态结构图的开环传递函数。解：该系统是一个双回路控制系统，先求内环的传递函数为：。

Sunday,April14,2024154

这样，前向通道有两个串联方框，反馈通道传递函数，故系统的开环传递函数为前向通道两个方框传递函数和反馈通道传递函数的乘积，即开环传递函数为：。2.7.2闭环传递函数

1．给定输入信号作用下系统的闭环传递函数

令扰动量，由图2-34即可得到图2-35，输出量 与输入量之间的闭环传递函数为：Sunday,April14,2024155G1(s)R(s)-B(s)C(s)