特殊函数的不定积分

关于特殊函数的不定积分第三节几种特殊函数的不定积分一、有理函数的积分二、三角函数有理式的积分三、简单无理函数的积分第2页,共29页，2024年2月25日，星期天基本积分法:

换元积分法;分部积分法.初等函数求导初等函数积分例如,下列函数积分都不是初等函数直接积分法;在概率论、数论、光学、傅里叶分析等领域有重要应用的积分,都属于“积不出”的范围.第3页,共29页，2024年2月25日，星期天有理函数的定义两个多项式的商表示的函数一、有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式真分式;假分式.第4页,共29页，2024年2月25日，星期天例多项式的积分容易计算.真分式的积分.只讨论:多项式真分式有理函数相除多项式+真分式分解若干部分分式之和第5页,共29页，2024年2月25日，星期天

对一般有理真分式的积分,代数学中下述定理起着关键性的作用.定理第6页,共29页，2024年2月25日，星期天部分分式(最简分式).第7页,共29页，2024年2月25日，星期天

用此定理有理函数的积分就易计算了.且由下面的例题可看出:

有理函数的积分是初等函数.注系数的确定,一般有三种方法:(1)等式两边同次幂系数相等;(2)赋值;(3)求导与赋值结合使用.第8页,共29页，2024年2月25日，星期天例

求解由多项式除法,有

说明:当被积函数是假分式时,应把它分为一个多项式和一个真分式,分别积分.假分式第9页,共29页，2024年2月25日，星期天例

求解

比较系数

因式分解第10页,共29页，2024年2月25日，星期天第11页,共29页，2024年2月25日，星期天代入特殊值来确定系数取取取例求解

二次质因式第12页,共29页，2024年2月25日，星期天第13页,共29页，2024年2月25日，星期天注任意有理真分式的不定积分都归纳为下列其中A,B,a,p,q都为常数,并设

几种典型部分分式的积分之和n为大于1的正整数.第14页,共29页，2024年2月25日，星期天类型解决方法作代换去掉根号.二、简单无理函数的积分第15页,共29页，2024年2月25日，星期天回代例

解令原式=第16页,共29页，2024年2月25日，星期天解

令

分部积分

回代例

第17页,共29页，2024年2月25日，星期天三角有理式的定义：

由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数.一般记为如三、三角函数有理式的积分和分部积分法讨论过一些.对于三角函数有理式的积分,曾用换元法

是否任何一个三角函数有理式的积分都有原函数

回答是肯定的.?第18页,共29页，2024年2月25日，星期天

由三角学知识可通过变换事实上,由半角变换(或称万能代换）则表示.化为有理函数的积分.第19页,共29页，2024年2月25日，星期天u的有理函数第20页,共29页，2024年2月25日，星期天例求解由万能代换第21页,共29页，2024年2月25日，星期天回代第22页,共29页，2024年2月25日，星期天例求解

法一回代第23页,共29页，2024年2月25日，星期天

法二修改万能代换公式令说明及的有理式的积分时,更方便.用代换通常求含第24页,共29页，2024年2月25日，星期天

例求解原式=这是有理函数的积分.如按部分分式法很麻烦.使分母为单项,作变换分析分母是100次多项式,如作一个适当的变换,而分子为多项,除一下,化为和差的积分.第25页,共29页，2024年2月25日，星期天例求解原式=

分项

凑微分

约去公因子

配方第26页,共29页，2024年2月25日，星期天例求解

比较系数

二次质因式第2