抛物线及其标准方程

关于抛物线及其标准方程问题探究：当e=1时，即|MF|=|MH|

，点M的轨迹是什么？探究？

可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有|MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图)

我们把这样的一条曲线叫做抛物线.M·Fl·e=1几何画板观察第2页,共57页，2024年2月25日，星期天第3页,共57页，2024年2月25日，星期天2.4.1抛物线及其标准方程第4页,共57页，2024年2月25日，星期天M·Fl·e=1

在平面内,与一个定点F和一条定直线l(不在直线上）的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫抛物线的焦点,直线l叫抛物线的准线|MF|=dd为M到l的距离准线焦点d一、抛物线的定义:第5页,共57页，2024年2月25日，星期天M·Fl·e=1二、标准方程的推导

思考：抛物线是轴对称图形吗？怎样建立坐标系,才能使焦点坐标和准线方程更简捷?第6页,共57页，2024年2月25日，星期天1.建系2.设点3.列式4.化简l解：以过F且垂直于l的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy.两边平方,整理得xKyoM(x,y)F依题意得5.检验这就是所求的轨迹方程.y如图，若以准线所在直线为y轴，则焦点F(P,0),准线L:x=0

由抛物线的定义，可导出抛物线方程为y2=2p(x-)(p＞0）p2第7页,共57页，2024年2月25日，星期天三、标准方程

把方程

y2=2px(p＞0)叫做抛物线的标准方程.其中

p为正常数,表示焦点在

x轴正半轴上.且

p的几何意义是:右焦点是：左准线方程为:

一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程有四种形式.lxKyoM(x,y)F焦点到准线的距离第8页,共57页，2024年2月25日，星期天yxo﹒﹒yxoyxo﹒yxo﹒

图形

焦点

准线

标准方程第一:一次项的变量为x(或y),则x轴(或y轴)为抛物线的对称轴,焦点就在对称轴上.第二:一次项的系数的正负决定了开口方向.

不容易错的最好方法是看看x(或y)的取值范围即：焦点与一次项变量相同；正负决定开口方向！

第9页,共57页，2024年2月25日，星期天例11）抛物线的标准方程是y2=6x，求焦点和准线方程；2）抛物线的方程是y=－6x2,求焦点坐标和准线方程；3）抛物线的焦点坐标是F（0，-2）,求它的标准方程。解:因焦点在y轴的负半轴上,且p=4,故其标准方程为:x=-8y232解：因为ｐ＝３，故焦点坐标为（－,０）32准线方程为x=-－.解:方程可化为:故焦点坐标为,准线方程为第10页,共57页，2024年2月25日，星期天焦点坐标准线方程（1）（2）（3）（4）（5，0）x=-5（0，—）18y=-—188x=—5（-—，0）58（0，-2）y=2练习1求下列抛物线的焦点和准线方程（1）y2=20x（2）y=2x2（3）2y2+5x=0（4）x2+8y=0注意：求抛物线的焦点一定要先把抛物线化为标准形式第11页,共57页，2024年2月25日，星期天练习2抛物线的顶点是坐标原点，根据下列条件，分别写出抛物线的标准方程：（1）焦点是F（3，0）；（2）准线方程是x=；（3）焦点到准线的距离是2。y2=12xy2=xy2=4x、y2=-4x、x2=4y或x2=-4y反思：已知抛物线的标准方程求其焦点和准线方程先定位，后定量第12页,共57页，2024年2月25日，星期天．AOyx解:(1)当焦点在y轴正半轴上时，把A(-3,2)代入x2=2py，得p=

(2)当焦点在x轴负半轴上时,把A(-3,2)代入y2=-2px，得p=∴抛物线标准方程为x2=y或y2=x

。练习3抛物线经过点P(4,－2)，求抛物线的标准方程。

提示：注意到P为第四象限的点，所以可以设抛物线的标准方程为y2=2px或x2=-2py例2.求顶点是坐标原点,且过A(-3,2)的抛物线的标准方程.第13页,共57页，2024年2月25日，星期天4a1∴焦点坐标是（，0），准线方程是：x=4a1例3已知抛物线方程为x=ay2（a≠0)，讨论抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程？解：抛物线的方程化为：y2=x1a即2p=1

a②当a<0时,,抛物线的开口向左p2=14a∴焦点坐标是（，0），准线方程是：x=4a114a①当a>0时,,抛物线的开口向右p2=14a第14页,共57页，2024年2月25日，星期天

思考:M是抛物线y2=2px（p＞0）上一点，若点M

的横坐标为x0，则x0+—2pOyxFM这就是抛物线的焦半径公式!yxoFMyxoFMyxoFMx0–(–—)2p第15页,共57页，2024年2月25日，星期天例4抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的横坐标为3的点M到焦点的距离等于6，求抛物线的标准方程.y2=2px(p>0)由抛物线的定义知3-(-)=6,即p=6.数形结合,用定义转化条件,解:因为是焦点在x

轴上且过M点的抛物线,所以设标准方程为所求抛物线标准方程为y2=12x变式：抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(3,m)到焦点的距离等于6，求抛物线的标准方程.OyxFMx0–(–—)2p第16页,共57页，2024年2月25日，星期天过抛物线的焦点F作x轴的垂线交抛物线与Ａ、Ｂ两点，且。34页作业9第17页,共57页，2024年2月25日，星期天变式2平面上到定点和到定直线距离相等的点的轨迹为()(A)直线(B)抛物线(C)双曲线(D)椭圆变式3点M与点F(2，0)的距离比它到直线l:x+4=0的距离小2,求点M的轨迹方程?例5平面上到定点和到定直线距离相等的点的轨迹为()(A)直线(B)抛物线(C)双曲线(D)椭圆变式1平面上到定点和到定直线距离相等的点的轨迹为()(A)直线(B)抛物线(C)双曲线(D)椭圆OyxFM35页作业11第18页,共57页，2024年2月25日，星期天第2课时第19页,共57页，2024年2月25日，星期天准线方程焦点坐标标准方程焦点位置

图

形不同位置的抛物线

x轴的正方向

x轴的负方向

y轴的正方向

y轴的负方向y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2pyF(----yxo﹒﹒yxoyxo﹒yxo﹒第20页,共57页，2024年2月25日，星期天OyxFMyxoFMyxoFMyxoFMx0–(–—)2p抛物线的焦半径公式第21页,共57页，2024年2月25日，星期天例1抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的横坐标为-3的点M到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程.y2=-8x变式１：抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程，并求m的值.OyxFM—–x0

2p变式２：在抛物线y2=-8x上，到焦点的距离等于5的点的坐标.35页作业10第22页,共57页，2024年2月25日，星期天第23页,共57页，2024年2月25日，星期天36页作业8(改)35页作业5（改）第24页,共57页，2024年2月25日，星期天37页作业7（改）练习第25页,共57页，2024年2月25日，星期天后备练习.已知抛物线x2=4y的焦点F和点A(-1，8)，P为抛物线上一点，则|PA|+|PF|的最小值是()(A)16(B)6(C)12(D)9D第26页,共57页，2024年2月25日，星期天第3课时第27页,共57页，2024年2月25日，星期天直线与抛物线位置关系种类xyO1、相离:2、相切:3、相交:（一个交点，两个交点）（一个交点）（没有交点）第28页,共57页，2024年2月25日，星期天(0,1)第29页,共57页，2024年2月25日，星期天判断直线是否与抛物线的对称轴平行不平行直线与抛物线相交(一个交点)平行

计算判别式>0=0<0相交相切相离(0,1)第30页,共57页，2024年2月25日，星期天K=1/2K=0K=-1若直线l与抛物线有公共点,l在y轴上截距的最小值?第31页,共57页，2024年2月25日，星期天变式1:已知实数x,y满足方程y2=4x,求函数的最值变式3:点(x,y)在抛物线y2=4x上运动,求函数z=x-y的最值.本题转化为过定点(-2,1)的直线与抛物线有公共点时斜率的最值问题.本题转化为直线y=x-z与抛物线有公共点时z的最值问题.无最大值变式2:点(x,y)在椭圆x2/4+y2=1上运动,求点(0,-2)与椭圆上任一点连线的斜率k的范围.第32页,共57页，2024年2月25日，星期天第33页,共57页，2024年2月25日，星期天第34页,共57页，2024年2月25日，星期天第4课时第35页,共57页，2024年2月25日，星期天例１斜率为1的直线经过抛物线的焦点,与抛物线相交于A,B,求线段AB的长。

yxo∴|AB|==8方法(1)

解：如图:由抛物线的标准方程可知,抛物线的焦点坐标为F(1,0),所以直线AB的方程为即A,B的坐标分别为:

(,)(,)

解得,

得①②由代入方程①问题(1)试问还有其他方法或更简捷一点的解法么?方法(2)

(弦长公式)|AB|=第36页,共57页，2024年2月25日，星期天yxo方法(3)由抛物线定义|AB|=|AF|+|BF|问题(1)试问还有其他方法或更简捷一点的解法么?

=|AA´|+|BB´|==8

A´B´方法(４)焦半径公式例１斜率为1的直线经过抛物线的焦点,与抛物线相交于A,B,求线段AB的长。

第37页,共57页，2024年2月25日，星期天|PF|=x0+p/2FP抛物线的焦半径公式：FPFPFP|PF|=-x0+p/2|PF|=y0+p/2|PF|=-y0+p/2第38页,共57页，2024年2月25日，星期天xyOFABB’A’方法(４)焦半径公式例１斜率为1的直线经过抛物线的焦点,与抛物线相交于A,B,求线段AB的长。

第39页,共57页，2024年2月25日，星期天§

抛物线的焦点弦

问题（2）从方法（4）中你能得到什么结论？

过抛物线y²=2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A,B两点则|AB|=问题（3）能否把例（2）推广到一般性的命题呢？

斜率为k的直线经过抛物线(p>0)的焦点，与抛物线相交于A，B，求线段AB的长。（用k,p表示）解：设直线AB的方程为

x1+x2+p∴|AB|=即:()y²=2px消y得:由第40页,共57页，2024年2月25日，星期天斜率为k的直线经过抛物线(p>0)的焦点，与抛物线相交于A，B，求线段AB的长。（用k,p表示）解：设直线AB的方程为()

y²=2px

消y得:

即:

|AB|=

由此可得,即通径.问题(4):把上题中的斜率k换成直线的倾斜角呢?(0<<)通径是抛物线的焦点弦中最短的弦.xOyFP(分类讨论合并，即分斜率存在或不存在)第41页,共57页，2024年2月25日，星期天练习.过抛物线y2=4x的焦点，作直线L交抛

物线于A、B两点，若线段AB中点的横

坐标为3，则|AB|=______.8焦点弦的长度公式第42页,共57页，2024年2月25日，星期天焦半径公式例１斜率为1的直线经过抛物线的焦点,与抛物线相交于A,B,求线段AB的长。

第43页,共57页，2024年2月25日，星期天斜率为k的直线经过抛物线(p>0)的焦点，与抛物线相交于A，B，求线段AB的长。（用k,p表示）解：设直线AB的方程为()

y²=2px

消y得:

即:

命题:如果过抛物线(p>0)的焦点的一条直线和此抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1x2=p2/4,y1y2=-p2第44页,共57页，2024年2月25日，星期天第5课时第45页,共57页，2024年2月25日，星期天xy问题(6):过抛物线(p>0)焦点的一条直线与它相交于A,B两点,经过A和抛物线顶点的直线交准线于点C

(2001高考题－作业本３９页第８题)设抛物线(p>0)的焦点F,经过F的直线交抛物线A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴,证明:AC经过原点O.那么BC与抛物线的对称轴有什么关系呢?(证KOC=KOA)∴BC平行于对称轴.(的结论略证)

当时

(x2,y2)(x1,y1)则直线OA的方程证明:设A(),B(),C()第46页,共57页，2024年2月25日，星期天问题(6):有什么几何意义呢?

(x1,y1)(x2,y2)xyF´B´A´结论:Q(2)以Q为圆心,以A´B´为直径的圆切AB于F点.

△AQA´与△AQF全等第47页,共57页，2024年2月25日，星期天问题(6):有什么几何意义呢?(x1,y1)(x2,y2)xyF´B´A´结论:Q(2)以Q为圆心,以为直

径的圆切AB于F点.P(3)以P为圆心以AB为直径的圆切A’B’于Q点

QP=1/2(AA´+BB´)AA´+BB´=AF+BF=ABQ