随机信号通过线性系统

关于随机信号通过线性系统15.04.20242目录5.1具有随机输入的线性时不变系统5.2平稳白噪声通过LTI系统5.3信号功率谱与带宽5.4噪声中的信号处理5.5平稳序列通过离散LTI系统第2页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202435.1具有随机输入的线性时不变系统

一个系统对输入信号x(t)的作用，可以表示为y(t)=L[x(t)]，其中x(t)是系统的输入，y(t)是系统的输出，L[x(t)]表示系统对x(t)的作用，是对信号x(t)进行运算的符号，称为运算子。L代表各种可能的数学运算方法，例如加法、减法、乘法、微分、积分以及微分方程、积分方程的求解运算等。第3页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.20244若系统输入之线性组合的响应等于各自响应之线性组合，则称该系统为线性系统。对于线性系统,若输入信号x(t)有时移,使输出y(t)也有一个相同的时移，即y(t-τ)=L[x(t-τ)],则称该线性系统为线性时不变(LTI)系统,满足以下性质：

线性性：对于任何a1,a2,x1(t),x2(t)与τ，有

时不变性：系统完全由算子L[]确定。第4页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.20245线性时不变系统的其他表示形式线性时不变系统的输出可看成是输入信号的冲激响应（严格说是零状态响应），表示为：其中第5页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.20246线性系统的输出过程当输入信号X(t,ξi)是随机过程时，系统的输出Y(t,ξi)映射为Y(t,ξi)=L[X(t,ξi)]。由于ξi在X(t)对应的整个样本空间取值，使Y(t,ξi)成为随机函数，构造出一个新的随机过程。若输入信号的均方值E|X(t)|2存在，则该类信号是稳定的。对于稳定的LTI系统，当输入信号稳定时，其输出信号也一定是稳定的。稳定系统满足第6页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.20247几种特殊情形下Y(t)的概率分布如果X(t)是高斯过程，则Y(t)也是高斯过程，且X(t)与Y(t)是联合高斯的；若窄带随机信号通过宽带系统，当在信号X(t)的通带内H(jw)几乎不变时，即Y(t)≈kX(t)，k为常数，则Y(t)与X(t)具有相似的概率特性；如果宽带随机信号X(t)通过窄带系统，当X(t)的带宽大于系统带宽约7-10倍时，可近似认为Y(t)总是高斯的，即使X(t)是一般随机信号。第7页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.20248对于时不变系统，若过程X(t)与X(t+τ)的分布特性相同，则过程Y(t)与Y(t+τ)的分布特性也相同。如X(t)是严格平稳的，则Y(t)也是严格平稳的。如X(t)是广义平稳的，则Y(t)也是广义平稳的。而且X(t)与Y(t)是联合广义平稳的。第8页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.20249系统输出过程的均值与相关函数定理5.1对于任何稳定的线性系统，有E{L[X(t)]}=L{E[X(t)]}。证明：由于是稳定的LTI系统，求均值与求积分可以交换顺序，则第9页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202410定理5.2若X(t)为平稳过程，h(t)为实LTI系统，Y(t)=X(t)*h(t)，则X(t)与Y(t)是联合广义平稳过程，并且有

(1)mY=mXH(j0)(2)RYX(τ)=RX(τ)*h(τ)(3)RXY(τ)=RX(τ)*h(-τ)(4)RY(τ)=RX(τ)*h(τ)*h(-τ)第10页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202411证明：(1)其中(2)令τ=t1-t2第11页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202412(3)令τ=t1-t2,v=-u(4)第12页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202413定义系统（冲激响应）的相关函数为|H(jw)|2称为功率传输函数输出过程的均值与相关函数第13页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202414推论若LTI系统的频响函数为H(jw)，则其互功率谱与功率谱关系如下：（1）SYX(w)=SX(w)H(jw)（2）SXY(w)=SX(w)H*(jw)（3）SY(w)=SX(w)|H(jw)|2第14页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202415第15页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202416解：（1）输入是平稳信号，则由功率谱之间的关系，有因此第16页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202417（2）由于X(t)是高斯信号，Y(t)也是高斯信号，且则（3）因为Y(t)的均值为0，故第17页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202418第18页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202419解：故X(t)是广义平稳的。第19页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202420第20页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202421输出信号的时间平均为：如果X(t)是各态历经的，则A[X(t-u)]=mX(t-u)。Y(t)均值也是各态历经的。同样，Y(t)的相关函数也是各态历经的。第21页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.2024225.2平稳白噪声通过LTI系统平稳白噪声的均值为0，相关函数与功率谱为：白噪声通过系统h(t)的输出噪声为Y(t)，功率谱为第22页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202423输出信号Y(t)的均值、相关函数与功率谱第23页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202424第24页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202425解：（1）系统的频率响应为：其冲激响应为：噪声功率谱为：输出信号功率谱为：输出信号的相关函数为：信号功率为：第25页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202426（2）因为X(t)是高斯的，由X(t)的平稳性知道，Y(t)也是高斯的，则Y(t)的均值和方差为：Y(t)的概率密度函数为：第26页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202427第27页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202428解：由定理，因为则第28页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202429白噪声通过低通与带通线性系统第29页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202430N0/20设白噪声的功率谱输出的功率谱

输出的自相关函数

输出平均功率

输出相关系数

输出相关时间

白噪声通过理想低通线性系统第30页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202431N0/20设白噪声的功率谱输出的功率谱

输出的自相关函数

输出平均功率

输出相关系数

输出相关时间

第31页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202432N0/20设白噪声的功率谱输出的功率谱

输出的自相关函数

输出平均功率

输出相关系数

输出相关时间

第32页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202433N0/20设白噪声的功率谱输出的功率谱

输出的自相关函数

输出平均功率

输出相关系数

输出相关时间

第33页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202434N0/20设白噪声的功率谱输出的功率谱

输出的自相关函数

输出平均功率

输出相关系数

输出相关时间

结论：输出随机信号的相关时间与系统的带宽成反比。这就是说，系统带宽越宽，相关时间越小，输出随机信号随时间变化(起伏)越剧烈；反之，系统带宽越窄，则越大，输出随机信号随时间变化就越缓慢。

第34页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202435N0/2|H

(w)|0系统的中心频率远大于系统的带宽，则称这样的系统为窄带系统。白噪声通过理想带通线性系统第35页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202436若输入白噪声的功率谱为则输出的功率谱为

第36页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202437输出相关函数为

第37页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202438输出的相关系数为

带通系统输出的平均功率为

带通系统的相关时间是由相关系数的慢变部分定义的，因此带通系统的相关时间与低通系统的相关时间一致。第38页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202439第39页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202440N维密度函数为：第40页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202441系统的等效噪声带宽第41页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202442由实值系统频率响应的偶对称性WN=2πBN正好是系统功率传递函数|H(jw)|2的矩形等效带宽。第42页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202443低通和带通系统的等效噪声带宽第43页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202444例5.6求RC积分电路的等效噪声带宽。解：RC积分电路的功率传递函数为则因为故所求等效噪声带宽为第44页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202445随机信号功率谱的物理意义：SX(w0)反映的是X(t)在w0局部的功率强度，SX(w0)对任何w0都是非负的。对于SX(w0)＝0的频率处，E|Y(t)|2=0，这表示X(t)在均方意义下没有该频率分量。SX(w)指明了X(t)有效的频率范围与各频率分布的状态信息。互功率谱的物理意义：SXY(w)反映了两个信号的关联性沿w轴的密度状况。如果SXY(w)＝0，表明它们的相应频率分量是正交的。5.3信号功率谱与带宽

第45页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202446第46页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202447解：第47页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202448（1）若X(t)与Y(t)正交，RXY(τ)=0，则

RUV(τ)=0，即U(t)与V(t)正交。（2）若X(t)与Y(t)无关，RXY(τ)=mXmY，则

RUV(τ)=mXmYH1(j0)H2(j0)=[mXH1(j0)][mYH2(j0)]=mUmV

即U(t)与V(t)无关。第48页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202449（3）若H1(jw)与H2(jw)的非零频带不重叠，即H1(jw)H2(jw)=0,则SUV(w)=0，即U(t)和V(t)正交。又H1(j0)与H2(j0)中至少有一个为零，使mU与mV中至少有一个为零，因此，U(t)与V(t)也无关。（4）即使X(t)与Y(t)为同一信号，若H1(jw)与H2(jw)为不同频带的带通滤波器，U(t)和V(t)也正交且无关。结论：正交或无关的平稳信号分别经过LTI系统后仍是正交或无关的；平稳信号的不同频带内的分量总是彼此正交且无关的。第49页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202450随机信号的带宽平稳信号X(t)的（矩形）等效带宽(EquivalentBandwidth)定义为：对于低通信号，w0=0；对于带通信号，w0通常取在S(w)的最大值处。第50页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202451平稳信号X(t)的均方根带宽(RMSBandwidth)定义为对于低通信号，w0=0；对于带通信号，w0等于S(w)的重心，即第51页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.2024525.8假定随机二元传输信号的取值概率p=q=0.5，求信号的矩形等效带宽。解：当p=q=0.5时，参见例3.15。S(0)=T，故等效矩形带宽为其中，F=1/T，是二元数据宽度的倒数，称为数据率。第52页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202453匹配滤波器问题：对于有限时长的确定信号s(t)，通过接收信号X(t)检测s(t)是否出现。X(t)=x(t)+N(t)，其中N(t)是白噪声，x(t)是未知信号。当s(t)出现时，X(t)=s(t)+N(t)。解决问题的途径：设计LTI滤波器，使Y(t)=X(t)*h(t)=s(t)*h(t)+N(t)*h(t)，以便检测信号S(t)是否出现。第53页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202454检测信号时只关心在某时刻t0是否可由抽样值Y(t0)有效判定s(t)的存在。设计目标：使Y(t0)中的信号与噪声之比最大化，选择合适的门限值，当Y(t0)大于该门限时，就判定Y(t)中含有s(t)。第54页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202455因为ys(t)=s(t)*h(t)是确定量，而YN(t)=N(t)*h(t)是随机的，由下式确定Y(t0)的信噪比。令s(t)的傅里叶变换为S(jw)，考虑反变换，有由施瓦兹不等式，有当满足不等式取等号，不等式左端达到最大。第55页,共63页，2024年2月25日，星期天15.04.202456令使ys2(t0)取得最大值，则式中Es为信号能量，并且最佳滤波器的冲激响应为：第56页,共63页，