全高等代数-考研真题详解

高等代数-考研真题详解1.设Q是有理数域，则P={a+例a邛£Q}也是数域，其中i=-J—1.( )［南京大学研］【答案】对查看答案【解析】首先0,1£P，故P非空；其次令a=a1+01i,b=。2+隙其中。1,a2邛1邛2为有理数，故a±b=(a1+p1i)±(a2+p2i)=(a1±a2)+(p1±p2)iePab=(a1+p1i)(a2+p2i)=(a1a2-p1p2)+(a1p2+a2p1)ieP又令c=a3+03i,€1=04+04,其中。3,a4邛3邛4为有理数且d/0，即a4/0邛4h0，有c/d=(%—BQi(%—/340_ 用功)一(氏巴—小尸4)i匚p综上所述得P为数域..设f(x)是数域P上的多项式，a£P,如果a是f(x)的三阶导数『'(x)的卜重根(挖1)并且f(a)=0,则a是f(x)的k+3重根.( )［南京大学研］【答案】错查看答案【解析】反例是f(x)=(x-a)k+3+(x-a)2,这里£(2)=0,并且£〃'(x)=(k+3)(k+2)(k+1)(x-a)k满足a是f(x)的三阶导数F(x)的k重根(k《1)..设f(x)=x4+4x-3,则£(乂)在有理数数或上不可约.( )［南京大学研］【答案】对查看答案【解析】令x=y+1,则f(y)=y4+4y3+6y2+8y+2,故由艾森斯坦因判别法知，它在有理数域上不可约.二、计算题.f(x)=x3+6x2+3px+8,试确定p的值，使f(x)有重根，并求其根.［清华大学研］解：f'(x)=3(x2+4x+p).且(f(x),f'(x))Hl,则将€冲它严..4»TOC\o"1-5"\h\z2# &1 / 41 和 t 1..p-44一户(1)当p=4时，有(f(x),f'(x))=x2+4x+4所以乂+2是f(x)的三重因式，即f(x)(x+2)3,这时f(x)的三个根为-2,-2,-2.(2)若p/4,则继续辗转相除，即TOC\o"1-5"\h\z1 —1 1 4 p1—1r J-5 -5p+5当p=-5时，有(f(x),f'(x))=x-1即乂-1是f(x)的二重因式，再用(x-1)2除f(x)得商式x+8.故f(x)=x3+bx2-15x+8=(x-1)2(x+8)这时f(x)的三个根为1,1,-8.2.假设fl(x)与£2(乂)为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式，且x4+x2+1整除f1(x3)+x4f2(x3)，试求f1(x)与f2(x)的最大公因式.［上海交通大学研］解：设6次单位根分别为2k笈 2k笈&=cos isin 4=。」.2、二5“ 6 6 ''''由于x6-1=(x2)3-1=(x2-1)(x4+x2+1),所以?1,?2,£4,£5是乂4+乂2+1的4个根.由于?13=？53=-1,且x4+x2+1|f1(x3)+x4f2(x3),所以，分别将?1,£5代入f1(x3)+x4f2(x3)可得［工(-1)-1)二。从而f1(_1)=f2(-1)=0即x+1是fl(x)与f2(x)的一个公因式.同理，将£2,?4代入门(乂3)+乂4£2(乂3)可得f1(1)=f2(1)=0,即x-1是fl(x)与f2(x)的一个公因式.所以(x-1)(x+1)是fl(x)与f2(x)的一个公因式.又因为门(乂)/2(乂)为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式，所以(f(x),g(x))=x2-1三、证明题.设不可约的有理分数p/q是整系数多项式f(x)=a0xn+a1xn-1+...+an-1x+an的根，证明：q|a0,p|an［华中科技大学研］证明：因为p/q是f(x)的根，所以(x-p/q)|f(x)，从而(qx-p)|是x).又因为p,q互素，所以qx-p是本原多项式［即多项式的系数没有异于士l的公因子］，且f(x)=(qx-p)(bn-1xn-1+...+b0,biez比较两边系数，得a0=qbn-1,an=-pb0nq|a0,plan.设f(x)和g(x)是数域P上两个一元多项式，k为给定的正整数.求证：f(x)lg(x)的充要条件是fk(x)lgk(x)［浙江大学研］证明：(1)先证必要性.设f(x)lg(x),则g(x)=”乂汴(乂)，其中h(x)eP(x),两边k次方得gk(x)=fk(x)hk(x),所以fk(x)|gk(x)(2)再证充分性.设fk(x)|gk(x)⑴若f(x)=g(x)=0,则f(x)|g(x)(ii)若f(x),g(x)不全为0,则令d(x)=(f(x),g(x)),那么f(x)=d(x)f1(x),g(x)=~(乂"1(乂)，且(门(乂)的1(乂))二1①所以fk(x)=dk(x)f1k(x),gk(x)=dk(x)g1k(x)因为£卜(乂)凶卜(乂)，所以存在h(x)£P冈(x),使得gk(x)=fk(x)-h(x)所以dk(x)g1k(x)=dk(x)f1k(x)-h(x),两边消去dk(x),得g1k(x)=