天津武清区梅厂中学高二数学文上学期摸底试题含解析

天津武清区梅厂中学高二数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）已知a+b＞0，b＜0，那么a，b，﹣a，﹣b的大小关系是（）A．a＞b＞﹣b＞﹣aB．a＞﹣b＞﹣a＞bC．a＞﹣b＞b＞﹣aD．a＞b＞﹣a＞﹣b参考答案：C法一：∵A、B、C、D四个选项中，每个选项都是唯一确定的答案，∴可用特殊值法．令a=2，b=﹣1，则有2＞﹣（﹣1）＞﹣1＞﹣2，即a＞﹣b＞b＞﹣a．法二：∵a+b＞0，b＜0，∴a＞﹣b＞0，﹣a＜b＜0，∴a＞﹣b＞0＞b＞﹣a，即a＞﹣b＞b＞﹣a．2.已知y=f（x）的导函数为y=f'（x），且在x=1处的切线方程为y=﹣x+3，则f（1）﹣f'（1）=（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由已知切线的方程，结合导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，计算即可得到所求值．【解答】解：由f（x）在x=1处的切线方程为y=﹣x+3，可得则f（1）﹣f'（1）=3﹣1﹣（﹣1）=3．故选：B．3.数列{an}满足a1=1，an+1＞an，且（an+1﹣an）2﹣2（an+1+an）+1=0，计算a2，a3，然后猜想an=（）A．n B．n2 C．n3 D．﹣参考答案：B【考点】数列递推式．【分析】由题设条件知（a2﹣1）2﹣2（a2+1）+1=0，所以a2=4．由（a3﹣4）2﹣2（a3+4）+1=0，知a3=9由此猜想an=n2．【解答】解：∵a1=1，an+1＞an，且（an+1﹣an）2﹣2（an+1+an）+1=0，∴（a2﹣1）2﹣2（a2+1）+1=0，整理得a22﹣4a2=0，∴a2=4或a2=0（舍）．（a3﹣4）2﹣2（a3+4）+1=0，整理，得a32﹣10a3+9=0，a3=9或a3=1（舍）．由此猜想an=n2．故选B．4.△ABC中，“sinA>cosB”是“△ABC是锐角三角形”的（

）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也必要条件参考答案：B5.直线与抛物线交于A，B两点，若|AB|=4，则弦AB的中点到直线的距离等于（

）A．

B．

C．4

D．2参考答案：B直线4kx﹣4y﹣k=0可化为k（4x﹣1）﹣4y=0，故可知直线恒过定点（，0）∵抛物线y2=x的焦点坐标为（，0），准线方程为x=﹣，∴直线AB为过焦点的直线∴AB的中点到准线的距离∴弦AB的中点到直线x+=0的距离等于2+=.故选B．

6.函数的定义域为（

）A．[1，2)∪(2，+∞）

B．(1，+∞）

C．[1，2)

D．[1，+∞)参考答案：A略7.设数列的前n项和为，令，称为数列，，……，的“理想数”，已知数列，，……，的“理想数”为2004，那么数列2，，，……，的“理想数”为 （

） A．2002

B．2004

C．2006

D．2008参考答案：A8.下列说法错误的是：

（

）A．命题“”的逆否命题是：“”.B．“x>1”是“”的充分不必要条件.C．若且为假命题，则均为假命题.D．命题

，则.参考答案：C

解析:若且为假命题，则与的真假包括两种情况：其中可以有一个是真命题，或者与都是假命题.

9.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为，体积为，则这个球的表面积是

（▲） Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、参考答案：C10.函数的定义域为（

）A．

B.

C.

D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，则___________．参考答案：-1【分析】由分段函数的解析式，先求出的值，从而可得.【详解】∵函数，则f（–1）=3–1=，∴f（f（–1））=f（）==–1，故答案为：–1．【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.当出现的形式时，应从内到外依次求值．12.一只虫子从点(0,0)出发，先爬行到直线上的P点，再从P点出发爬行到点，则虫子爬行的最短路程是__________．参考答案：2如图所示：设关于直线的对称点是，连接和直线交于点，则最短，由，解得，故直线和的交点是，故．故答案为：．13.不论k为何实数，直线与曲线恒有交点，则实数a的取值范围是

参考答案：

；14.点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值是__.参考答案：15.已知点（2，﹣1）在直线l上的射影为（1，1），则直线l的方程为．参考答案：x﹣2y+1=0考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由已知得直线l的斜率kl=，且过（1，1），由此能求出直线l的方程．解答：解：∵点（2，﹣1）在直线l上的射影为（1，1），k==﹣2，∴直线l的斜率kl=，∴直线l的方程y﹣1=（x﹣1），整理，得x﹣2y+1=0．故答案为：x﹣2y+1=0．点评：本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两直线位置关系的合理运用．16.若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有

项．参考答案：13【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】已知前三项和后三项的和，根据等差数列的性质，可用倒序相加法求解．【解答】解：由题意可知：a1+a2+a3+an﹣2+an﹣1+an=3（a1+an）=180，∴s=×n=30n=390，∴n=13．故答案为13．【点评】本题考查了等差数列的性质及前n项和公式，巧妙地利用了倒序相加法对数列求和．17.若要做一个容积为108的方底(底为正方形)无盖的水箱，则它的高为时，材料最省.参考答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}的各项均为正整数，对于任意n∈N*，都有2+＜＜2+成立，且a2=4．（1）求a1，a3的值；（2）猜想数列{an}的通项公式，并给出证明．参考答案：考点：数学归纳法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）直接利用已知条件，通过n=1，直接求a1，n=2，求解a3的值；（2）通过数列的前3项，猜想数列{an}的通项公式，然后利用数学归纳法的证明步骤证明猜想即可．解答： 解：（1）因为，a2=4当n=1时，由，即有，解得．因为a1为正整数，故a1=1．

…当n=2时，由，解得8＜a3＜10，所以a3=9．

…（2）由a1=1，a2=4，a3=9，猜想：…下面用数学归纳法证明．1°当n=1，2，3时，由（1）知均成立．…2°假设n=k（k≥3）成立，则，由条件得，所以，…所以

…因为k≥3，，，又，所以．即n=k+1时，也成立．由1°，2°知，对任意n∈N*，．

…点评：本题考查递推数列的应用，数学归纳法的应用，考查分析问题解决问题的能力．19.已知数列{an}满足递推式an=2an﹣1+1（n≥2），其中a4=15．（1）求证：数列{an+1}为等比数列；

（2）求数列{an}的前n项和Sn．参考答案：【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）由an=2an﹣1+1变形为：an+1=2（an﹣1+1），利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由，利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】（1）证明：由an=2an﹣1+1变形为：an+1=2an﹣1+2，即an+1=2（an﹣1+1），∴{an+1}是以a1+1=2为首项以2为公比的等比数列；（2）解：∵，∴Sn=a1+a2+a3+…+an=（21﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n﹣1）=（21+22+23+…+2n）﹣n==2n+1﹣2﹣n．【点评】本题考查了递推关系的应用、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.已知点和点，记满足的动点P的轨迹为曲线C.

（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）已知直线l：与曲线C有两个不同的交点M、N，且l与x轴相交于点E.若，O为坐标原点，求△MON面积.参考答案：解：（Ⅰ）设点为曲线C上任意一点由得整理得（）为所求（Ⅱ）设，，且由得∴依题意，直线显然不平行于坐标轴，且不经过点A或点B故可化为由得

且又

∴消去，整理得

即∴的面积21.已知抛物线，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点，M是FQ的中点，求点M的轨迹方程．参考答案：22.已知函数.(1)判断函数的单调性;(2)若+的图像总在直线的上方,求实数的取值范围;(3)若函数与的图像有公共点,且在公共点处的切线相同，求实数的值.参考答案：(1)可得.当