2013年1月自考02198线性代数试题及答案含解析

线性代数年月真题

0219820131

1、【单选题】设_A、_B为同阶方阵，则必有

|_A_+_B_|=|A|+|_B_|

_AB_=_BA_

A:

(_AB_)T=_A_T_B_T

B:

|_AB_|=|_BA_|

C:

答D:案：D

解析：只有D选项为矩阵的性质|_AB_|=|_BA_|=|A||B|.

2、【单选题】设_n阶方阵_A、_B、_C满足_ABC=_E，则必有

_ACB_=E

_CBA_=_E_

A:

_BCA_=_E_

B:

_BAC_=_E_

C:

答D:案：C

解析：因为ABC=E，可以得到矩阵AB与矩阵C互为逆矩阵，所以CAB=E矩阵A与矩阵BC

互为逆矩阵，所以BCA=E。

3、【单选题】设_A为三阶方阵，且|_A|=2，则|-2_A|=

-16

-4

A:

4

B:

16

C:

答D:案：A

解析：

由矩阵的性质

4、【单选题】若同阶方阵_A与_B等价，则必有

|_A_|=|_B_|

_A_与_B_相似

A:

B:

_R_(_A_)=_R_(_B_)

C:

答D:案：C

解析：因为等价矩阵有相同的等价标准型，故秩相等。

5、【单选题】设α1=(1，0，0)、α2=(2，0,0)、α3=(1，1，0)，则

α1，、α2、α3线性无关

α3可由α1、α2线性表示

A:

α1可由α2、α3线性表示

B:

α1、α2、α3的秩等于3

C:

答D:案：C

解析：

由，秩为2.可知线性相关；

的秩为2；不能由线性表示；为一个极大无关组。所以

可以由线性表示，且．

6、【单选题】设向量空间_V={(_x1，_x2，_x3)|_x1+_x2+_x3=0}，则_V的维数是

0

1

A:

2

B:

3

C:

答D:案：C

解析：向量空间V是方程_x_1+_x_2+_x_3=0的解空间，V的维数即为方程的基础解

系的个数。因为未知数n=3,系数矩阵的秩r=1。所以解空间维数为n-r=2.

7、【单选题】若3阶方阵_A与对角阵_=相似，则下列说法错误的是

|_A_|=0

|_A_+_E_|=0

A:

_A_有三个线性无关特征向量

B:

_R_(_A_)=2

C:

答D:案：B

解析：

A选项：A与对角阵相似，A的特征值为2、0、3，所以

B选项：A的特征值为2、0、3，则A+E的特征值分别为3、1、

4，所以|A+E|=12.此选项错误。C选项：A与对角阵相似，则A有3个线性无关的特征向

量。D选项：R(A)=R()=2.

8、【单选题】齐次方程_x1+_x2-_x3=0的基础解系所含向量个数是

0

1

A:

2

B:

3

C:

答D:案：C

解析：

齐次线性方程组的系数矩阵的秩为r=１,方程未知数个数n=3所以基础解系所含解向量的

个数为。

9、【单选题】若α=（1，1，_t）与β=(1，1，1)正交，则_t=

-2

-1

A:

0

B:

C:

1

答D:案：A

解析：

由

10、【单选题】对称矩阵A=是

负定矩阵

正定矩阵

A:

半正定矩阵

B:

不定矩阵

C:

答D:案：B

解析：

由,可得A的特征值为

A的特征值皆为正,所以A为正定矩阵.

11、【问答题】设_A、_B均为三阶可逆方阵，且|_A|=2，则|-2B-1_A2

_B|=__________．

答案：

解析：

12、【问答题】四阶行列式中项α21α32α13α44的符号为_____________．

答案：正号

解析：

由因为2314的逆序数为偶数,所以的符号为正.

13、【问答题】设_A=,则_A-1=________________.

答案：

解析：

若,则所以

14、【问答题】设_A=，且_R(_A)=2，则_t=_____________．

答案：

解析：

由R(A)=2，得

15、【问答题】设三阶方阵_A=[α1,α2,α3]，其中_αi为_A的3维列向量，且|

_A|=3，若B=[α1,α1+α2,α1+α2+α3]，则|_B|=_________．

答案：3.

解析：

由行列式的性质

16、【问答题】三元方程组的结构解是________．

答案：

解析：

系数矩阵得等价方程组令自由未知

量,得方程组的通解为

17、【问答题】设_A=,则_A的特征值是____________.

答案：

解析：

由,可得A的特征值

为

18、【问答题】若三阶矩阵_A的特征值分别为1,2,3，则|_A+2_E|=____________．

答案：60

解析：

A的特征值分别为1，2，3,所以A+2E的特征值分别为3，4，5由特征值的性质，

19、【问答题】若_A=与_B=相似，则_x=__________．

答案：0.

解析：

因为A与B相似，由相似矩阵的性质，，即

。

20、【问答题】二次型_f(_x1，_x2，_x3)=(_x1-_x2+_x3)2对应的对称矩阵是

_________.

答案：

解析：

二次型

所以其对应的对称矩阵为

21、【问答题】计算四阶行列式.

答案：

22、【问答题】设_A=，_B是三阶方阵，且满足_AB-A2=_B-_E，

求_B．

答案：

由

又因为。所以矩阵A-E是可逆矩阵则

23、【问答题】求向量组

的一个最大无

关组，并把其余向量表示为这个最大无关组的线性组合．

答案：

所

以可以做为向量组的一个极大无关组。，

。（本题也可以选择作为极大无关组）

24、【问答题】设四元方程组，问_t取何值时该方程组

有解？并在有解时求其结构解．

答案：

先把增广矩阵化简：

当时，第三个方程是矛盾方程，无解。当时，增广矩阵继续化简

得到同解方程组

令，求出特解原方程的导

出组的同解方程组为分别令，求得导出组的基础

解系为于是可以求出通解，k,l

为任意实数。

25、【问答题】已知_A=的一个特征向量是=（1，1，-1）_T(1)

求_a，_b；(2)求_A的全部特征值及特征向量．

答案：

（1）由特征值、特征向量的定义设为A的特征值，则有即

得

（2）

得到A的特征值为当时

求得特征向量为属

于特征值的所有特征向量为，k为任意非零常数。

26、【问答题】求正交变换_X=_PY，化二次型f(_xl,_x2,_x3)=-2_x1_x2+2_x1

_x3+2_x2_x3为标准形．

答案：

二次型的矩阵

所

以的特征值为。时，

所以与等价的方

程组为其正交基础解系为标准化为

时，

所以与

等价的方程组为其正交基础解系为标

准化为令，则