新高一衔接课程第一讲-二次函数专题

第一局部二次函数的图象和性质函数二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)aa＞0a＜0图象开口方向抛物线开口向，并向上无限延伸抛物线开口向，并向下无限延伸对称轴直线x=-直线x=-顶点坐标(-，)(-，)最值抛物线有最低点，当x=-时，y有最小值，y最小值=抛物线有最高点，当x=-时，y有最大值，y最大值=增减性在对称轴的左侧，即当x＜-时，y随x的增大而；在对称轴的右侧，即当x＞-a时，y随x的增大而，简记左减右增在对称轴的左侧，即当x＜-时，y随x的增大而；在对称轴的右侧，即当x＞-时，y随x的增大而，简记左增右减考点一、二次函数图象上点的坐标特点例1二次函数y=a〔x-2〕2+c〔a＞0〕，当自变量x分别取、3、0时，对应的函数值分别：y1，y2，y3，那么y1，y2，y3的大小关系正确的选项是〔〕A．y3＜y2＜y1B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2训练：二次函数y=x2-7x+，假设自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，那么对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的选项是〔〕A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＞y3＞y1D．y2＜y3＜y1考点二、二次函数的图象和性质例2对于二次函数y=x2-2mx-3，有以下说法：①它的图象与x轴有两个公共点；②如果当x≤1时y随x的增大而减小，那么m=1；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，那么m=-1；④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，那么当x=2012时的函数值为-3．其中正确的说法是．〔把你认为正确说法的序号都填上〕训练：如图，抛物线y1=a〔x+2〕2-3与y2=〔x-3〕2+1交于点A〔1，3〕，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．那么以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2-y1=4；④2AB=3AC；其中正确结论是〔〕A．①②B．②③C．③④D．①④考点三、抛物线的特征与a、b、c的关系例3二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如下图，其对称轴为x=1，有如下结论：①c＜1；②2a+b=0；③b2＜4ac；④假设方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，那么x1+x2=2，那么正确的结论是〔〕A．①②B．①③C．②④D．③④训练：二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如下图对称轴为x=．以下结论中，正确的选项是〔〕A．abc＞0B．a+b=0C．2b+c＞0D．4a+c＜2b考点四、抛物线的平移例4如图，把抛物线y=x2沿直线y=x平移个单位后，其顶点在直线上的A处，那么平移后的抛物线解析式是〔〕A．y=〔x+1〕2-1B．y=〔x+1〕2+1C．y=〔x-1〕2+1D．y=〔x-1〕2-1训练：以下函数①y=x2；②y=-x2；③y=〔x-1〕2+2．其中，图象通过平移可以得到函数y=x2+2x-3的图象的有〔填写所有正确选项的序号〕．看图解题1.二次函数y=a〔x+m〕2+n的图象如图，那么一次函数y=mx+n的图象经过〔〕A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，那么一次函数y=bx+c和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是〔〕A．B．C．D．3.设A〔-2，y1〕，B〔1，y2〕，C〔2，y3〕是抛物线y=-〔x+1〕2+a上的三点，那么y1，y2，y3的大小关系为〔〕A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2第6题图4.y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如下图，给出以下结论：①b2-4ac＞0；②2a+b＜0；③4a-2b+c=0；④a：b：c=-1：2：3．其中正确的选项是〔〕A．①②B．②③C．③④D．①④5.将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为〔〕A．y=3〔x+2〕2+3B．y=3〔x-2〕2+3C．y=3〔x+2〕2-3D．y=3〔x-2〕2-36.如图，平行于x轴的直线AC分别交函数y1＝x2(x≥0)与y2＝(x≥0)的图象于B，C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DE∥AC，交y2的图象于E，那么＝.课堂训练1．二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，那么函数值y＜0时x的取值范围是〔〕A．x＜-1B．x＞3C．-1＜x＜3D．x＜-1或x＞3 第1题图第2题图第4题图2．二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如下图，假设|ax2+bx+c|=k〔k≠0〕有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是〔〕A．k＜-3B．k＞-3C．k＜3D．k＞33．设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是〔〕A．c=3B．c≥3C．1≤c≤3D．c≤34.假设二次函数y=ax2+bx+a2-2〔a、b为常数〕的图象如上图，那么a的值为〔〕A．1B．C．-D．-25．二次函数y=ax2+bx+c的图象如以下图所示，它与x轴的两个交点分别为〔-1，0〕，〔3，0〕．对于以下命题：①b-2a=0；②abc＜0；③a-2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有〔〕A．3个B．2个C．1个D．0个6.如上图，二次函数y=ax2+bx+1〔a≠0〕的图象的顶点在第一象限，且过点〔-1，0〕．设t=a+b+1，那么t值的变化范围是〔〕A．0＜t＜1B．0＜t＜2C．1＜t＜2D．-1＜t＜17.将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是〔〕A．y=〔x+2〕2+2B．y=〔x+2〕2-2C．y=〔x-2〕2+2D．y=〔x-2〕2-28.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-x-6向上〔下〕或向左〔右〕平移m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，那么|m|的最小值为〔〕A．1B．2C．3D．69.在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a〔x-3〕2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，那么以AB为边的等边三角形ABC的周长为．10.二次函数y=ax2+bx+c〔a，b，c是常数，a≠0〕图象的对称轴是直线x=1，其图象的一局部如下图．对于以下说法：①abc＜0；②a-b+c＜0；③3a+c＜0；④当-1＜x＜3时，y＞0．其中正确的序号是11.有七张正面分别标有数字-3，-2，-1，0，l，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们反面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，那么使关于x的一元二次方程x2-2〔a-1〕x+a〔a-3〕=0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数y=x2-〔a2+1〕x-a+2的图象不经过点〔1，0〕的概率是．12.假设直线y=m〔m为常数〕与函数y=的图象恒有三个不同的交点，那么常数m的取值范围是．第二局部函数综合题1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为〔3，0〕，与y轴交于C〔0，-3〕点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.〔1〕求这个二次函数的表达式．〔2〕连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POPC，那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？假设存在，请求出此时点P的坐标；假设不存在，请说明理由．〔3〕当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的交点分别为原点O和点A，点B〔2，n〕在这条抛物线上．〔1〕求B点的坐标；〔2〕点P在线段OA上，从O点出发向A点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交与点E，延长PE到点D，使得ED=PE，以PD为斜边，在PD右侧做等等腰直角三角形PCD〔当P点运动时，C点、D点也随之运动〕．①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；②假设P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位〔当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动〕．过Q点做x轴的垂线，与直线AB交与点F，延长QF到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN〔当Q点运动时，M点、N点也随之运动〕．假设P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．3.抛物线顶点为C〔1，1〕且过原点O.过抛物线上一点P〔x，y〕向直线作垂线，垂足为M，连FM〔如图〕.〔1〕求字母a，b，c的值；〔2〕在直线x＝1上有一点，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；〔3〕对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N〔1，t〕，使PM＝PN恒成立，假设存在请求出t值，假设不存在请说明理由.4.二次函数的图象的一局部如下图．它的顶点M在第二象限，且经过点A(1，0)和点B(0，l)．(1)试求，所满足的关系式；(2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求a的值；(3)是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形．假设存在，请求出a的值；假设不存在，请说明理由．5..如图，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在y轴正半轴上，点A、C的坐标分别为〔0，1〕、〔2，4〕．点P从点A出发，沿A→B→C以每秒1个单位的速度运动，到点C停止；点Q在x轴上，横坐标为点P的横、纵坐标之和．抛物线经过A、C两点．过点P作x轴的垂线，垂足为M，交抛物线于点R．设点P的运动时间为t〔秒〕，△PQR的面积为S〔平方单位〕．〔1〕求抛物线对应的函数关系式．〔2〕分别求t=1和t=4时，点Q的坐标．〔3〕当0＜≤5时，求S与t之间的函数关系式，并直接写出S的最大值．6.某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A种产品，所获利润yＡ(万元)与投资金额x(万元)之间存在某种关系的局部对应值如下表：x(万元)122.535yＡ(万元)0.40.811.22信息二：如果单独投资B种产品，那么所获利润yＢ(万元)与投资金额x(万元)之间存在二次(1)求出yＢ与x的函数关系式．(2)从所学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示yＡ与x之间的关系，并求出yＡ与x的函数关系式．(3)如果企业同时对A、B两种产品共投资15万元，请设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？第三局部家庭作业1.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一局部，对称轴是直线x=1.①b2＞4ac；②4a-2b+c＜0；③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；④假设(-2，y1),(5,y2)是抛物线上的两点，那么y1＜y2.上述4个判断中，正确的选项是2.点A(a-2b，2-4ab)在抛物线y=x2+4x+10上，那么点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为3.二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如下图，那么以下说法：①c＝0；②该抛物线的对称轴是直线x＝-1；③当x＝1时，y＝2a；④am2+bm+a＞0(m≠-1).其中正确的选项是4.如图1，双曲线y=(k>0)与直线y=k′x交于A，B两点，点A在第一象限.试解答以下问题(1)假设点A的坐标为(4，2).那么点B的坐标为；假设点A的横坐标为m，那么点B的坐标可表示为