有限元中的半解析法

有限元中的半解析法学院：交通学院姓名：胡光胜学号：11S032019在实际生活中，由于求解的问题复杂、规模较大，常规的有限单元法的费用较高，已经不适用。因此，我们希望找到其他的方法以减少计算工作量，降低费用。这时，半解析法具有其优势，它是一种离散与解析相结合的方法。目前，常用的半解析法有三种：有限条法；组合条---元法和有限元线法。1.有限条法〔FiniteStripMethod〕有限条法是由张佑启先生提出的一种方法，用以解决规那么形体问题。本方法具有工作量小、精度高的优点。下面将以薄板为例，介绍位移场的构造方法。如图1所示，有一矩形薄板，设每条边界的支承条件相同，图中表示了三种支承情况，用一些与边界线平行的直线将板分割成假设干窄长的条带以此组成有限元分析中的单元。下面介绍这种条带单元位移场的建立思路。图1矩形薄板与有限条离散示意图确定位移模式对于薄板来说，挠度ω可用别离变量形式表示(1)边界条件确实定本例中也可取Xm(x)满足条带两端的边界条件的梁振形函数，它是如下微分方程的解：〔2〕式中---是振型参数，由边界条件确定图1(a)所示的是一端固定一端简支的情况，那么有：〔3.1〕式中，振型参数由tg=tanh确定，具体取值见表1。表1的取值m：123≥43.92667.068510.2102≈其他对边约束条件情况振型函数Xm(x)为：(1)两端简支=mπ〔3.2〕(2)两端固定〔3.3〕由cosch=1确定，取值如下表2。表2的取值m：123≥44.730047.853210.955608≈〔3〕两端自由〔3.4〕在m≥3时，由表2中取得。〔4〕一端固定一端自由〔3.5〕由cosch=-1确定，取值如下表3。表3的取值m：123：1.8754.694≈〔5〕一端简支一端自由〔3.6〕从m=2开始，按表1取值。在以上各式中，S、T、U、V是振动理论中的克雷洛夫函数，即〔3.7〕由于振型函数的正交性，Xm(x)存在如下正交关系m≠n〔4〕确定位移场在此过程中，沿短边方向上条间节线的未知位移为参数，在满足收敛性准那么的前提下由形函数插值构造。对只有外节线的条元，设左右两侧节线位移参数矩阵为δ1m、δ2m，相应的形函数矩阵为N1、N2，那么有fm(y)=[N1N2][δT1mδT2m]T〔5〕假设为內节线的高阶条元，记内节线位移参数与形函数为δ3m、N3那么fm(y)=[N1N2N3][δT1mδT2mδT3m]T其余的可类推。假设仅以节线位移为参数时，那么fm(y)=[][ω1mω2m]T当以节线位移和转角为参数时，有fm(y)=[N1N2N3N4][ωT1mδT1mω2mδ2m]T上式中Ni为梁的Hermite函数。将fm(y)、Xm(x)带入(1)式，整理后即可得到位移场的标准形式。本例为薄板，那么条带单元的位移场为ω(x,y)=NδTe(6)本例中的思路也可用来构造二维、三维等问题的位移场，对于三维问题来说有由于任意函数均可展为完备的正交函数，因此，只要级数项数足够大，就可保证位移场沿条带长边方向趋于精确。如果有一方向可取解析解，离散仅在另外方向进行，从而使得未知量数目大大减少，二维问题降为一维、三维降为二维。如采用的是正交函数集，对一些问题由于正交性，各级数项积分不耦联，这也会减少工作量。有限条法的缺乏虽然样条法在实际中有广泛的应用，但依然有一定的局限性：〔1〕条元不可能在长边方向连接有限元或其它单元。〔2〕当结构的某一边界并非同一支承情况，如矩形板的四条边线，每条边上均同时存在多种支承情况，显然在边界条件不同的相邻条元间，由于Xm(x)不同，当然不可能保证位移间的协调性，因此，有限条将无法使用。〔3〕即使边界支承条件在同一边界完全相同，但如本例中第一局部薄板情况Xm(x)有6种情况，程序比拟繁琐。2.组合条---元法〔CombinatoryStrip-ElementMethod〕为了克服有限条的局限性，而又能保存有限条的一些优点，我们又提出了所谓的组合条---元法。这是一种将有限条和有限元的特点组合起来的方法。下面我来介绍组合条---元法的构造思路。与条元法一样，也以窄长条带为单元，但不同的是，节线的两端设置有结点。由于任一函数均可由完备函数集中的基函数来表达，可采用如下两步法构造单元位移场：〔1〕由结点位移参数，采用形函数插值构造条带单元的节线位移，这一步与有限元一样。〔2〕以上述节线位移作参数，沿条带短边方向进行多项式插值，从而构造条带的位移场。经过以上两步，即可得到〔7〕式中-----由结点位移参数构造的位移局部；-------沿长边方向由级数构造的位移局部。然后就可以按普通有限元进行分析。这种方法克服了有限条法的缺陷，币有限元减少了很多未知量。使用这种方法我们解决了平面问题、薄板问题、折板与平面壳体等的线性与非线性、静力与动力分析；并联合应用了有限元、组合条元与映射无限元求解过路面力学问题。是一种可行的方法。有限元线法〔FiniteElementMethodofLines〕有限元线法〔FEMOL〕是袁駟提出的一种以常微分方程求解器为支撑软件的新型半解析法。有限元线法的构造思路有以下几步：〔1〕建立参数FEMOL的单元映射。为适应复杂形体问题的计算，可建立母单元与子单元的映射关系。〔2〕构造参数FEMOL的变量场：单元上的变量场可由节线未知函数ui〔η〕通过ξ方向的形函数Ni(ξ)插值得到。〔8〕式中〔3〕参数FEMOL的能量泛函确实定：结构中每个单元的能量为∏e，它是η的函数。那么整个求解域的能量为：〔9〕〔4〕建立常微分方程体系：常微分方程建立后，经过一系列的处理后即可用求解器〔Solver〕来求未知节线位移函数。有限线元法中，由于引入参数单元，是可用于不规那么区域的求解；由于未知节线位移是通过解常微分方程组得到的，